新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

克州2024-2025学年度第一学期期末质量监测试卷 高二年级·数学主观题答案 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共计12分。 12. 16； 13.； 14. 2（满足皆可） 四、解答题：本大题共5小题，共计58分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（7分）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程． 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即，-----------1’ 所以圆心到的距离，---------------2’ 所以；-------------3’ （2） 因为弦被平分，所以， 又因为，所以，-----------6’ 所以，即.------------------7’ 16.（9分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． （1）证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)， 故1＝(0，1，1)，＝(－，1，－1)． -----------2’ 因为E·1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， -----------3’ 所以B1E⊥AD1. -----------4’ （2）假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，其中z0∈[0，1]，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)． 又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)，＝(a，0，1)，＝(，1，0)， 所以得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．-----------7’ 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝. 又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. -----------9’ 17（9分）已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为. (1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线的斜率分别为k2,k3.求证：k2·k3为定值. 【详解】（1）设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则， -----------2’ 化简得，即， -----------3’ 所以轨迹是长轴长､短轴长分别为的椭圆； -----------4’ （2） 设直线的方程为， 与联立得，， -----------5’ 设，则， -----------7’ 所以 ； -----------9’ 18.（12分）已知等差数列{an}满足a1+a3=8,a4-a2=4. (1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn; (2)记数列的前n项和为Tn,若Tn>,求n的最小值. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d. 依题意有 -----------2’ 解得 -----------3’ 所以an=2n,Sn=n2+n. -----------5’ (2)由(1)得==-, -----------6’ 所以Tn=++…+ =++…+ =1-. -----------9’ 因为Tn>,即1->, 所以n>99.又n∈N*, 所以n的最小值为100. -----------12’ 19.（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，-----------2’ 由题意，该抛物线焦点到准线距离为， -----------3’ 所以该抛物线的方程为； -----------4’ （2）设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 所以直线的斜率， -----------7’ 当时，； -----------8’ 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，；-----------11’ 综上，直线的斜率的最大值为. -----------12’ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 2 页 克州 2024-2025 学年度第一学期期末质量监测试卷 高二年级·数学 时间：120 分钟 满分：100 分 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共计 24分.每小题给出的四个选项中 只有一个选项是正确的。 直线 3 4 0x y   的倾斜角是（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 .如图，空间四边形 OABC 中，OA a   ，OB b   ，OC c   ，点 M 在OA  上，且 2OM MA ，点 N 为 BC 中点，则MN   （ ） A. 1 2 1 2 3 2 a b c     B. 2 1 1 3 2 2 a b c      C. D. .曲线方程 2 2 4 0x y Ex y     表示一个圆的充要条件为（ ） A． 15E  B． 15E  C． 2 15E  D． 2 15E  .已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 n2＋n ，那么 1 10 是它的 ( ) A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 5.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比 q 的值为 ( ) A. - 1 2 B. -1 C. - 1 2 或 1 D. - 1 2 或 -1 6.下列说法中正确的是( ) A．已知 F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 B．已知 F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到 F1，F2 两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点 F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到两点 F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点 M(5，3)到 F1，F2 两点的距离之和的点的轨迹是 椭圆 7.已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2 分别为(－ 5，0)和( 5，0)，点 P 在双曲线上，且 PF1⊥PF2， △PF1F2 的面积为 1，则双曲线的方程为( ) A. x2 2 － y2 3 ＝1 B. x2 3 － y2 2 ＝1 C. x2－ y2 4 ＝1 D． x2 4 －y2＝1 .如图，二面角 l   的棱上有两个点 A，B，线段 BD 与 AC 分别在这个二面角的两 个面内，并且都垂直于棱 l．若 4AB  ， 6AC  ， 8BD  ， 2 17CD  ，则平面 与 平面 的夹角大小是（ ） A.30。 B.45。 C.60。 D.90。 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15分.每小题给出的四个选项中， 都有多个选项是正确的，全部选对的得 5分，部分选对得部分分（选对一个得 2 分，2 个得 4分），选错或不答的得 0 分。 9.若 , ,a b c   构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. B. a  ，a b   ， a b   C. a b   ， a b   ， c  D. a b   ，a b c     ，c  10.已知圆 O 的直径 4AB  ，动点 M 与点 A 的距离是它与点 B 的距离的 2 倍,则（ ） A．点 M 的轨迹是以（-6,0）为圆心，半径是 24 的一个圆 B．点 M 的轨迹是以（6,0）为圆心，半径是 24 的一个圆 C．点 M 的轨迹与圆 O 相交 D．点 M 的轨迹与圆 O 相切 1 1 1 2 2 2 a b c     cbbcb  ，， 2 2 1 3 3 2 a b c     第 2 页 共 2 页 11.已知等比数列{an}的公比 q＝－ 2 3 ，等差数列{bn}的首项 b1＝12，若 a9>b9 且 a10>b10，则以下结论正确的 有( ) A．a9·a10<0 B．a9>a10 C．b10>0 D．b9>b10 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 4 分，共计 12分。 12．已知各项均不为 0 的等差数列{an}，满足 022 11273  aaa ，数列{bn}是等比数列，且 77 ab  ，则 86bb ＝ __________； 13.已知平面 的一个法向量为 (2n  ，3，5)，点 ( 1A  ， 3 ，0) 是平面 上的一点，则点 ( 3P  ， 4 ，1) 到平 面 的距离为 ； 14.记双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的离心率为 e，写出满足条件“直线 2y x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 ______________． 四、解答题：本大题共 5小题，共计 49分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（7分）圆 2 2 8x y  内有一点  1, 2P  ，AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦 (1)当 3π 4   时，求 AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 AB 的方程． 16.（9分）如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，E 为 CD 的中 点． (1)求证：B1E⊥AD1. (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 B1AE？若存在，求 AP 的长； 若不存在，请说明理由． 17.（9 分）已知轨迹E上任一点  ,G x y 与定点  2,0F 的距离和G到定直线 : 3 2l x  的距离的比为 3 3 . (1)求轨迹 E的方程，并说明轨迹表示什么图形？ (2)设点    0, 1 , 0,2A B ，过点A 且斜率为 1k 的动直线 l与轨迹 E交于 ,M N 两点，直线 ,BM BN 的斜率分别 为 k2,k3,求证：k2·k3 为定值。 （分）已知等差数列{an}满足 a1+a3=8,a4-a2=4. 求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn; 记数列 1 �� 的前 n 项和为 Tn,若 Tn> 99 100 ,求 n 的最小值. （分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 到准线的距离为 2 （1）求 C 的方程; （2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 9PQ QF   ，求直线OQ斜率的最大值。 第 1 页 共 2 页 克州2024-2025学年度第一学期期末质量 测监 高二年级 答题卡 ·数学 考号： 学校： 班级：姓名： 座号： 注 意 事 项 1.　答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2.　客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 3.　主观题必须使用黑色签字笔书写。 4.　必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 5.　保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 一.选择题(24分)↩ 二.多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部 分选对得部分分（选对一个2分，2个4分，全对5分），选错或不选得0分.） 三.填空题（每小题4分，共12分） 12 13 14 ↩ 四.解答题(49分)↩ 15 (7分）↩ 16 (9分）↩ ​ 17 (9分） ​ ↩ ↩ ↩ 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 18 (12分）↩ 19 (12分）↩