山东省淄博市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

高一数学试题 第1页（共12页） 参照秘密级管理★启用前 2024─2025 学年度第一学期高一教学质量检测 数学详解 一． 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. A 2.A．3.D．4.C 5.A．6.B．7.D. 8.B． 二． 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选 不全的得部分分，有选错的得 0 分． 9.AC 10.ABC 11.ABD 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 答案：12. 7 2 ，13. 2 2 3 − ， 14. 5 1 4 a  四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（13 分）函数 ( ) 3 1 ln 1 x f x ax x − = + + ． （1）证明：函数 ( )f x 的图象是中心对称图形； 6′：定义域 2′；奇函数证明 3′；结论 1′（有结论就给分） （2）若 0a = ，根据定义证明函数 ( )f x 的单调性．7′： 法一：直接证明； 取值作差 1′→变形 1′(简单的对数运算)→定号 4′→ 结论 1′ 法二：间接证明：对数比大小转化为真数比大小 取值作差 1′→变形 3′→定号 2′→ 结论 1′ 证：由 1 0 1 x x −  + 可得函数 ( )f x 的定义域为 ( )1,1− ，定义域关于原点对 称 ……2 分 ( ) ( )3 3 1 1 ln ln 1 1 x x f x ax ax f x x x + − − = − = − − = − − + Q ……5 分 备注： ①定义域只列式或者写成范围的扣 1 分； 高一数学试题 第2页（共12页） ②只写对 ( ) 1f x− 的表达式给 分 ；只有 ( ) ( )f x f x− = − 无中间过程的给 1 分 . （还可以这样证明 ( ) ( ) 3 3 1 1 ln ln ln1 0 1 1 x x f x f x ax ax x x − + − + = − + + = = + − …5 分） 所以函数 ( )f x 为奇函数，其图象的对称中心为 ( )0,0 . ……6 分 (2) 法一： 当 0a = 时， ( ) 1 ln 1 x f x x − = + ，其定义域为 ( )1,1− 对 ( )1 2, 1,1x x  − 且 1 2x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 2 1 2 11 ln ln 1 1 xx f x f x x x −− − = − + + ……7 分 ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 ln 1 1 x x x x − + = + − ……8 分 不等式性质比大小① 因为 1 21 1x x−    ， 所以 ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x− + = + − −  + − − = + − 即 ( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1x x x x− +  + − ……10 分 又 ( )( )1 21 1 0x x+ −  所以 ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x − +  + − ， ……12 分 不等式性质比大小② 1 21 1x x−   Q 1 21 1 0x x −  −  , 2 11 1 0x x+  +  ……10 分 1 2 1 1 1 x x −   − , 2 1 1 1 1 x x +  + ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x − +   − + ……12 分 高一数学试题 第3页（共12页） 作差法比大小③ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 11 1 1 1 1 1 2 2 0x x x x x x x x x x x x x x− + − + − = + − − − + − − = −  即 ( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1x x x x− +  + − ……10 分 又 ( )( )1 21 1 0x x+ −  所以 ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x − +  + − ， 即 ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 ln 0 1 1 x x x x − +  + − ， ……12 分 所以 ( ) ( )1 2 0f x f x−  ，即 ( ) ( )1 2f x f x ． 所以函数 ( )f x 在区间 ( )1,1− 上单调递减． ……13 分 法二： 当 0a = 时， ( ) 1 ln 1 x f x x − = + ，其定义域为 ( )1,1− 令 ( ) 2 1 1 g x x = − + + ， ( )1 2, 1,1x x  − 且 1 2x x ， ( ) ( ) 1 21 2 1 2 1 1 1 1 x x g x g x x x − − − = − + + ……7 分 1 2 2 2 1 1 1 1x x     = − + − − +    + +    ……9 分 ( ) ( )( ) 2 1 1 2 2 1 1 x x x x − = + + ……10 分 备注：作差后直接得出最后形式的不扣分.. 因为 1 21 1x x−    ，所以 ( )( )1 21 1 0x x+ +  ， 2 1 0x x−  所以 ( ) ( )1 2g x g x ， 高一数学试题 第4页（共12页） 故 ( ) ( )1 2f x f x ． ……12 分 所以函数 ( )f x 在区间 ( )1,1− 上单调递减． ……13 分 不用定义证明，而是利用增减运算或复合函数增减性做简单判断，结果对的得 1′， 例如： 做法一： ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1f x x x= − − + ，减—增=减，所以函数 ( )f x 在区间( )1,1− 上单调递减． 做法二： ( ) 1 2 ln ln 1 , 1 1 x f x x x −   = = −  + +  ( ) 2 1 1 t x x = − + 在 ( )1,1− 上单调递减， lny t= 在 ( )0,+ 上单调递增，所以函数 ( )f x 在区间 ( )1,1− 上单调递减． 16．（15 分）已知函数 ( ) ( ) π cos 0, 0,| | 2 f x A x A      = +       的部分图象如图 所示． (1) 求 ( )f x 的解析式． 8′：求值 2′； 求值 3′（列式 1分，求值 2分）； A 求值 2′，解析式 1′ (2) 当 π π , 3 6 x    −    时，求函数 ( )y f x= 的最大值和最小值． 7′： 单调性： π 2 3 x + 范围 1′，增区间 1′，减区间 1′，三个求值一个一分，结论 1分 高一数学试题 第5页（共12页） 整体代换： π 2 3 x + 范围 1′，最大值 3′，最小值 3′ 【详解】（1）由图可知 ( )f x 的最小正周期： π 5π 2 ( ) π 12 12 T   =  − − =    ， ………………………1 分 则 2π πT  = = ，解得 2 = ． ………………………2 分 求 法一：代入零点：因为 ( )f x 的图象经过点 π ,0 12       ，所以 π π cos 0 12 6 f A      = + =        ， ………………………3 分 因为 π | | 2   ， π π 2π ( , ) 6 3 3 +  − ， 所以 π π 6 2 + = ， π 3  = ． ………………………5 分 （也可以 π π cos 0 12 6 f A      = + =        ， π , , 6 2 3 k k Z k k Z      + = +  = + 即 ， ,因为 π | | 2   ，令 0k = ，得 π 3  = ） 求 法二:代入最值点：当 6 x  = − 时，所以 π cos 1 3    − + =    ，……………3 分 因为 π | | 2   ， π 5π π ( , ) 6 63 − +  − ，所以 π 0 3 − + = ， π 3  = …………………5 分 （也可以 π cos 1 3    − + =    ， π 2 , , 33 2k k Z k k Z     − =  = + 即 ， ,因为 π | | 2   ，令 0k = ，得 π 3  = ） 求 法三：平移变换法： π | | , 2  Q 将 cos2y A x= 向左平移 π 6 个单位 ……3 分 高一数学试题 第6页（共12页） cos2 cos 2 6 3 y A x A x      = + = +        ，所以 π 3  = …………………5 分 求 法四：第一零点法 π 2 , 12 π , 2 3 | | 2      + =  =Q ………………………5 分 因为 ( )f x 的图象经过点 ( )0,1 ，所以 ( ) π 0 cos 0 1 3 f A   = + =    ， 所以 2A = ． ………………………7 分 故 ( ) π 2cos 2 3 f x x   = +    ． ………………………8 分 备注：解析式只写结果的而且正确的得 1 分。 （2）求最值 法一：利用单调性 因为 π π , 3 6 x    −    ，所以 π π 2π 2 , 3 3 3 x   +  −    ………………9 分 当 π π 2 0 3 3 x−  +  ，即 π π 3 6 x−   − 时， ( )f x 单调递增； ………10 分 当 π 2π 0 2 3 3 x +  ，即 6 π π 6 x−   时， ( )f x 单调递减． ………11 分 因为 π 1 3 f   − =    ， π 2 6 f   − =    ， 2π 1 3 f   = −    ， ………14 分 函数 ( )y f x= 的最大值为 2 ，最小值为 1− . ………15 分 法二：利用整体代换 因为 π π , 3 6 x    −    ，所以 π π 2π 2 , 3 3 3 x   +  −    ………………9 分 高一数学试题 第7页（共12页） 当 π 2 0 3 6 x x  + = ，即 =- , max 2y = ………………12 分 当 π 2 2 3 3 x  + = ，即 6 x  = ， min 1y = − . ………………15 分 备注： ① π 2 0 3 6 x x  + = 和 =- 有 1 个不扣分，都没有扣 1 分. ② π 2 2 3 3 x  + = 和 6 x  = 有 1 个不扣分，都没有扣 1 分. ③不管用哪个方法，若用图像代替了中间过程，结果只要正确，不扣分. 17．（15 分）已知函数 ( ) 1( 0xf x a a= +  且 1)a  的图象恒过定点 A ，且点 A 在函 数 ( ) ( )2logg x x a= + 的图象上． (1)若 ( ) ( ) 3 2 f x f x− − = ，求 x的值 ; (2)若函数 ( )y f g x=   在区间 2 6， 上的图象总在 1y kx= + 图象上方，求实数 k 的 取值范围． 【详解】（1） ( ) 1( 0)xf x a a= +  ， 当 0x = 时， ( ) 2f x = ， 则函数 ( )y f x= 图象恒过定点 ( )0 2A ， ， ………………2 分 又 ( )0 2AQ ， 在函数 ( )y g x= 图象上， 则 22 log a= ，得 4a = ………………4 分 由 ( ) ( ) 3 2 f x f x− − = ，则 3 4 4 2 x x−− = ， 令 4 0x t=  ，则 1 3 2 t t − = ， 即 22 3 2 0t t− − = ， ( )( )2 1 2 0t t+ − = ， 高一数学试题 第8页（共12页） ∵ 𝑡 > 0， 2t = ， 即 4 2x = ，得 1 2 x = ． ………………6 分 （2） ( ) ( ) 2 2 4 log 4 log ( 4) 24 1 4 1 ( 4) 1 x x f g x x + + = + = + = + +   ，……7 分 函数 ( )y f g x=   在区间[2,6]上的图象总在直线 1y kx= + 图象上方， 则 2( 4) 1 1x kx+ +  + 在区间[2,6]上恒成立，（ 11）4x（ 2 +++ kx ） 即 ( )2 8 16 0x k x+ − +  在区间[2,6]上恒成立， （ 016)8(2 +−+ xkx ） 8 分 法一：令 ( ) ( )2 8 16h x x k x= + − + ，则 ( ) 0minh x  ， 函数 ( )y h x= 的对称轴为 4 2 k x = − ， 4 2 2 k − ① ，即 12k  ， ( )y h x= 在区间[2,6]上单调递增， ( )min( ) 2 36 2 0h x h k= = −  ， 则 18k  ，又 12k  ， 12k  ； ………………10 分 2 4 6 2 k  − ② ，即12 20k  ， 函数 ( )y h x= 在 2 4 2 k  −    ， 上单调递减，在区间 4 6 2 k  −    ， 上单调递增， 则 ( ) 2 2( ) 4 ( 4) 8 4 16 4 0 2 2 2 4 min k k k k h x h k k     = − = − + − − + = − +         ， 则0 16k  ，又12 20k  ，所以12 16k  ； ………………12 分 4 6 2 k − ③ ，即 20k  ， ( )y h x= 在区间[2,6]上单调递减， ( ) 06( ) 100 6minh x h k= = −  ，即 50 3 k  ， 高一数学试题 第9页（共12页） 又 20k  ，无解， ………………14 分 综上所述，实数 k 的取值范围为 ( )16−， ． ………………15 分 讨论时，等号没有扣 2 分 法二： ( )2 8 16 0x k x+ − +  在区间[2,6]上恒成立， 等价于不等式 16 8k x x −  + 对于任意 [2,6]x 恒成立， ………11 分 其中 16 16 2 8x x x x +   = ， ………………………13 分 当且仅当 4x = 时等号成立； 故只需 8 8k −  ，即 16k  即可， 实数 k 的取值范围为 ( )16−， ． ………………………15 分 18．（17 分）已知函数 2( ) 2 3f x ax x= − + ， aR ． (1) 若关于 x的不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( , )m n ，求4m n+ 的最小值； (2) 解关于 x的不等式 ( ) ( 1) 4f x a x+ +  ． 解：(1) ( ) 0f x  的解集为 ( , )m n ，则 0a  ， 且 ,m n 是方程 2 2 3 0ax x− + = 的两根， …………………….2 分 则 4 12 0 2 3 a m n a mn a   = −    + =   = ，所以 1 0 3 a  ， 0, 0m n  ，不写扣一分 且 1 1 2 3 m n m n mn + + = = ……………………5 分 所以 3 1 1 3 4 27 4 (4 )( ) (5 ) 2 2 2 n m m n m n m n m n + = + + = + +  ， ……………8 分 高一数学试题 第10页（共12页） 当且仅当 4n m m n = ，即 9 9 , 4 2 m n= = 时等号成立， 8 27 a = ,满足题意.不写扣一分 所以4m n+ 的最小值 27 2 . ……..…9 分 （2）由 ( ) ( 1) 4f x a x+ +  得 2 ( 1) 1 0ax a x+ − −  ， …………10 分 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 0ax a x x ax+ − − = + −  或写出两个根也给 1 分 …………11 分 ①当 0a = 时, 1 0x− −  ，所以 1x  − ， …………12 分 ②当 0a  时， 1 1 a −  ，不等式解得 1 1x x a  − 或 ； …………13 分 ③当 1 0a−   时， 1 1 a  − ，不等式解得 1 1x a   − ； …………14 分 ④当 1a  − 时， 1 1 a  − ，不等式解得 1 1 x a −   ； …………15 分 ⑤当 1a = − 时， 1 1 a = − ，所以不等式无解； …………16 分 综上，当 1a  − 时，不等式的解集 1 ( 1, ) a − 当 1a = − 时，不等式的解集为 当 1 0a−   时，不等式的解集为 1 ( , 1) a − 当 0a = 时,不等式的解集为 ( , 1)− − 当 0a  时，不等式的解集为 1 ( , 1) ( , ) a − −  + . …………17 分 19．（17 分）已知集合 *A  ，若集合 A 中存在三个元素 , ,a b c ，同时满足： ① a b c  ；②a b c+  ；③a b c+ + 为偶数，则称集合 A 具有性质 P ． 已知集合  1,2,3, , 2nC n= L *( N , 4)n n  ，对于集合 nC 的非空子集 B ，若 nC 中 存在三个互不相同的元素 , ,x y z ，使得 , ,x y y z z x+ + + 均属于 B ，则称集合B 是集 合 nC 的“期待子集”． （1）若集合  1,2,3,5A = ，判断集合 A 是否具有性质 P ，并说明理由； 高一数学试题 第11页（共12页） （2）若集合  3,4,B d= 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 4C 的“期待子集”； （3）已知集合M 是集合 nC 的非空子集，证明：“集合M 是集合 nC 的‘期待子集’” 是“集合M 具有性质 P ”的充要条件． 解析：（1）集合  1,2,3,5A = 不具有性质 P ， …………1 分 理由如下： （i）从集合A 中取三个元素1, 2,3，不满足条件② …………2 分 （ii）从集合A 中取三个元素1, 2,5 ，不满足条件② …………3 分 （iii）从集合A 中取三个元素 2,3,5，不满足条件② …………4 分 （iv）从集合A 中取三个元素1,3,5，不满足条件②③ …………5 分 综上所述，可得集合  1,2,3,5A = 不具有性质 P . （2）证明：由3 4 d+ + 是偶数，得实数 d 是奇数， …………6 分 （i）当 3 4d   时，由 3 4d +  ， 得1 3d  ，即 2d = ，不是奇数不合题意， （ii）当3 4 d  时，由3 4 d+  ， 得 4 7d  ，即 5d = ，或 6d = （不为奇，舍）， 因为3 4 5 12+ + = 是偶数，所以集合 {3,4,5}B = ， …………8 分 令 3, 5, 4x y y z z x+ = + = + = ，解得 1x = ， 2y = ， 3z = ， 显然  4, , 1,2,3,4,5,6,7,8x y z C = ， 所以集合 B 是集合 4C 的“期待子集”得证. …….......10 分 （3）证明：先证充分性： 当集合M 是集合 nC 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 , ,x y z ，使得 , ,x y y z z x+ + + 均属于M ， 不妨设 x y z  ，令a x y= + ，b x z= + ， c y z= + ， 则 a b c  ，即满足条件①， …………11 分 因为 ( ) ( ) ( ) 2 0a b c x y x z y z x+ − = + + + − + =  ， 所以a b c+  ，即满足条件②， …………12 分 高一数学试题 第12页（共12页） 因为 2( )a b c x y z+ + = + + ， 所以a b c+ + 为偶数，即满足条件③， …………13 分 所以当集合M 是集合 nC 的“期待子集”时，集合M 具有性质 P . 再证必要性： 当集合M 具有性质 P ，则存在 , ,a b c ，同时满足① a b c  ；②a b c+  ； ③ a b c+ + 为偶数， 令 2 a b c x c + + = − ， 2 a b c y b + + = − ， 2 a b c z a + + = − ， …………15 分 则由条件①得 x y z  ， 由条件②得 0 2 2 a b c a b c x c + + + − = − =  ， 由条件③得 , ,x y z 均为整数， 因为 ( ) 0 2 2 2 c c b ba b c c a b c z c a c b + − −+ + + − − = + − =  = −  ， 所以0 x y z c    ，且 , ,x y z 均为整数，所以 , , nx y z C ， 因为 , ,x y a x z b y z c+ = + = + = ，所以 , ,x y x z y z+ + + 均属于M ， （以上三条写出两条即可满分） 所以当集合M 具有性质 P 时，集合M 是集合 nC 的“期待子集”. ……...17 分 综上所述，集合M 是“集合 nC 的‘期待子集’”是“集合M 具有性质 P ”的充要条 件. 参照秘密级管理★启用前 2024一2025学年度第一学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 将 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={←10,1，B={yp=x+1,x∈A,则AnB= A.{01 B.{-1,0} c.{o,1v2 D.{-0l2 2.命题“x≥1，x2≥1”的否定是 A. 3x21,x2<1 B.3x<1,x2<1 棉 C.3x≤1，x2≥1 D.3x<1,x2≥1 3.tan2025°= A. B. 2 c.-1 D.1 2 2 4.下列函数零点不能用二分法求出的是 A.f(x)=x3-1 B.f)=x+14 C.f(x)=x2+2W2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1 5.已知扇形的周长为4，则该扇形面积的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-o,0)上单调递减，a=f(0.5), ()co.) 则 A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c 高一数学试题 第1页（共4页） C③扫描全能王 3亿人都在用的归播APP 7.已知9e(0,m,且sin0+cos0= ，则下列结论正确的是 5 A.sin.cos=12 5 B.sin0-cos0=_7 5 C.tan0=-3 4 D.sin0.cos0-cos20=_21 25 8.已知x>0,y>0,x+4y=5,若不等式x2+5y2-m2xy+6my恒成立，则 实数m的取值范围是 A,1≤m≤5 B.m≤1或m≥5 C.3-V5≤m≤3+√3 D.m≤3-√3或m≥3+√3 二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全 的得部分分，有选错的得0分. 9.已知非零实数a,b,且a>b,则下列不等式一定成立的是 A.ea<eb B. >1 、1 b ab ab D.a+a2>b+b2 10.已知函数f(x)的定义域为R,f(y)=对(y)+f(x),则 A.f(1)=0 B.f(-)=0 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是单调函数 「-x2-2x+1,x<0 11.已知函数f(x) ,则 1og2xl,x>0 A.若方程f(x)=a有四个不同的实根，则其中两个负根之和为-2 B,若方程f(x)=a有四个不同的实根，则其中两个正根之积为1 C.若方程f(x)=a有三个不同的实根，则a的取值范围为(0,1) D.方程f(x)=3一x的两根之积小于1 高一教学试题 第2页（共4丙） CS扫描全能王 】亿人都在用的目播AP时 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2025+1gv2+1gv5+Ine2- 13. x2+(1-a)x-2a+6,x<1 14.已知函数f(x)= a+1+2x,x21 ,对于x,x2∈R且x≠x2,都 有）-f凶）<2成立，则a的取值范围为 X1-x2 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 15.(13分)函数f()=h-+ax 1+x (1)证明：函数f(x)的图象是中心对称图形： (2)若a=0,根据定义证明函数∫(x)的单调性. 16.（15分)己知函数 f(x)-Ac0s(@x+p)4>0.o>O.lpkz 的部分图象 如图所示. ()求f(x)的解析式： 回)当x[晋君引时求福豪y=因的大值和最道 高一数学试题 第3页（共4页） C③扫描全能王 3亿人都在用的归播ApP 17.(15分)已知函数f(x)=a+l(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在函 数g(x)=log2(x+a)的图象上. 四若f()-f(刘=弓，求x的值 (2)若函数y=f[g(x)]在区间[2,6]上的图象总在直线y=a+1上方，求实数k的 取值范围 18.(17分)已知函数f(x)=ax2-2x+3,a∈R. (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(m,n),求4m+n的最小值： (2)解关于x的不等式f(x)+(a+1)x>4. 19.(17分)己知集合AsN,若集合A中存在三个元素a,b,c,同时满足： ①a<b<c;②a+b>c;③a+b+c为偶数，则称集合A具有性质P. 已知集合Cn={1,2,3,,2n}(n∈N,n24),对于集合Cn的非空子集B,若Cn中 存在三个互不相同的元素x,y,2,使得x+y,y+z,z+x均属于B,则称集合B是集 合Cn的“期待子集” (1)若集合A={1,2,3,5},判断集合A是否具有性质P,并说明理由： (2)若集合B={3,4,d具有性质P,证明：集合B是集合C4的“期待子集”： (3)已知集合M是集合Cn的非空子集，证明：“集合M是集合Cn的‘期待子集'” 是“集合M具有性质P”的充要条件。 高一数学试题 第4页（共4页） C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe