精品解析：天津市和平区天津市第十九中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级数学学科期末学情调研 一、填空题 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 3. 设方程的两根为， 则 的值为（ ） A. 5 B. C. D. 4. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家欢迎，某电商平台1月份平均日销量为2000个，随着冬奥会的开幕，“冰墩墩”供不应求，3月份平均日销量达到3380个，设1至3月份冰墩墩日销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　） A. 70° B. 55° C. 35.5° D. 35° 6. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 8. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 11. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 13. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为__． 14. 已知点， ， 都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是______（用“”表示） 15. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 16. 如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 17. 如图， 点P是正方形内一点， 连接、、，若，，，则正方形的面积为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 _____； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） _____． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 m 0 （1）根据表格填空：该二次函数图象与x轴的交点坐标是 和 ； （2）求这个二次函数的解析式； （3）m的值为 ； （4）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，请直接写出新的抛物线解析式． 21. 已知内接于，，，D是上的点． （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，，垂足为E，求的大小． 22. 某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）求每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）若商场要每天获得销售利润不低于2000元，求该商品销售单价y（元）的范围． 23. 已知，的半径为5．在中，，，点A在上． （1）如图1，的顶点C在上，，分别交于D，E两点，连接，．求的大小和的长； （2）如图2，的顶点C在外，且边与相切于点M，边与相交于点N，连接，，求和的长． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 25. 已知抛物线（a，b，c为常数）． （1）若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； （2）若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级数学学科期末学情调研 一、填空题 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程 的一个根是2， ∴把代入得，解得， 故选：C． 3. 设方程的两根为， 则 的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题可利用根与系数的关系，先化为一般式求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】解：由可知， 其二次项系数，一次项系数， ∴， 故选：C． 4. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家欢迎，某电商平台1月份平均日销量为2000个，随着冬奥会的开幕，“冰墩墩”供不应求，3月份平均日销量达到3380个，设1至3月份冰墩墩日销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据1月份及3月份生产的冰墩墩的平均日产量，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设1至3月份冰墩墩日产量的月平均增长率为， 依题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　） A. 70° B. 55° C. 35.5° D. 35° 【答案】D 【解析】 【分析】连接OB，由圆周角定理与推论易知答案. 【详解】连接OB， ∵点B是弧AC的中点， ∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得， ∠D=∠AOB=35° 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论. 6. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴AD：AB=AE：AC=1：3， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3，故A错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 8. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由抛物线可得出抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：，进而可得出函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小，即可判断． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为：， ∴函数的最大值为3，且当时，y随x的增大而减小， 故选：D． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 11. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴，故选项正确； ∵是的外角， ∴， ∴，故选项不正确； ∵为旋转角， ∴，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； 故选：． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题 13. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到相同颜色的球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 第二次 第一次 红球1 红球2 红球3 白球 红球1 （红1，红2） （红3，红1） （红1，白） 红球2 （红2，红1） （红3，红2） （红2，白） 红球3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，白） 白球 （白，红1） （白，红2） （红3，白） ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的球有6种情况， ∴两次都摸到相同颜色的球概率为， 故答案为：． 14. 已知点， ， 都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是______（用“”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∵点， ， 都在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 【答案】 【解析】 【详解】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD=CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴∠ABD==60°， ∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=， ∴a=2cm． 故选A． “点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 16. 如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过作轴于，根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， 四边形是矩形． 故答案为：． 17. 如图， 点P是正方形内一点， 连接、、，若，，，则正方形的面积为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，由旋转的性质可求，，，可求的长，在中，由勾股定理可求的长，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为13， 故答案为：13． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 _____； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） _____． 【答案】 ①. 直径 ②. 如图，取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，即可求解； （2）取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【详解】（1）∵∠CAB=90°， ∴BC为⊙O的直径， 故答案为 直径； （2）略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解； （2）先化为一般式，再利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴． 20. 抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 m 0 （1）根据表格填空：该二次函数图象与x轴的交点坐标是 和 ； （2）求这个二次函数的解析式； （3）m的值为 ； （4）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，请直接写出新的抛物线解析式． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由表中数据直接得出当时的值，于是得解； （2）设该二次函数的解析式为，然后把代入，解方程求出的值，即可得到该抛物线解析式； （3）把代入二次函数解析式求值即可； （4）将二次函数解析式化为顶点式，再利用平移的规律即可得解． 【小问1详解】 解：由表中数据得：当时，；当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标是和， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵该二次函数图象与x轴的交点坐标是，， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 即：； 【小问3详解】 解：把代入，得： ， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的新抛物线表达式为： ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，求二次函数的函数值，把化成顶点式，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 21. 已知内接于，，，D是上的点． （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，，垂足为E，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可； （2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案． 【小问1详解】 解：， ． 四边形是的内接四边形， ． ， ； 【小问2详解】 解：连接． ， ． ． ． ． 22. 某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）求每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ 最大利润是多少？ （3）若商场要每天获得销售利润不低于2000元，求该商品销售单价y（元）的范围． 【答案】（1） （2）当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元 （3）商场要每天获得销售利润不低于2000元，该商品销售单价y（元）的范围 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）根据利润等于2000元，列出方程求出相应的x值，进而根据二次函数性质求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：由（1）得：． ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元． 【小问3详解】 解：由（1）得：当时，得 解得：， ， ∵， 所以，商场要每天获得销售利润不低于2000元，该商品销售单价y（元）的范围 23. 已知，的半径为5．在中，，，点A在上． （1）如图1，的顶点C在上，，分别交于D，E两点，连接，．求的大小和的长； （2）如图2，的顶点C在外，且边与相切于点M，边与相交于点N，连接，，求和的长． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形及三角形的内角和定理得，点C在上，且，在中，由勾股定理得：，从而得；然后利用圆内接四边形的性质及解直角三角形即可求解； （2）如图，连接，过点O作于点H，由切线性质得于点M，即，证四边形为矩形，得，，即，又由垂径定理得，即，从而利用勾股定理即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点C在上，且， ∴为直径， ∵的半径为5， ∴， ∴在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形内接于圆，且， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点H， ∵切于点M，且为半径， ∴于点M，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，且过圆心， ∴，即； 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； ∴在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，切线的性质定理和矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求的长； （2）如图②，若α＝120°，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1）5 （2）(，) （3）(，) 【解析】 【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标； （3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． 【小问1详解】 如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′， ∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形， ∴AA′＝BA＝5； 【小问2详解】 作O′H⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′， ∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， ∴∠HBO′＝60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°， ∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝， ∴OH＝OB+BH＝3+＝， ∴O′点的坐标为(，)； 【小问3详解】 ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′， ∴BP＝BP′， ∴O′P+BP′＝O′P+BP， 作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②， 则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（0，﹣3）， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0）， ∴OP＝， ∴O′P′＝OP＝， 作P′D⊥O′H于D， ∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°， ∴∠DP′O′＝30°， ∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝， ∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝， ∴P′点的坐标为(，)． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系． 25. 已知抛物线（a，b，c为常数）． （1）若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； （2）若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 【答案】（1）①②当面积最大时，此时 （2） 【解析】 【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另即可求出抛物线与x轴的交点坐标；②连接并长，过P作轴，交丁点Q，设，求出的函数解析式，则，根据两点之间的距离公式求出，再根据，即可得出，利用二次函数的性质可得出当时，面积有最大值，进一步即可求出点P的坐标． （2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵是抛物线的对称轴，且 ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴时， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． ②连接并延长，过P作轴，交于点Q， 设， ∵点， ∴的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，面积有最大值， 此时． 【小问2详解】 ∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $