精品解析：四川省泸县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

泸州市泸县二中2024-2025学年上期高二期末测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可. 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行，可得向量存在倍数关系，设，根据坐标相等即可进行求解. 【详解】由，知，使得， 即， 所以，解得，所以． 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质及求和公式进行计算即可. 【详解】由，得，得. 故选：D 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 7. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率. 【详解】由题意得，，令，则 ∵，∴， 即，∴，, 在△中，， 在△中，， ∴， ∴. 故选：A. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10. 已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 渐近线方程为 D. 点到渐近线的距离为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程得，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D. 【详解】由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 离心率，故B正确； 渐近线方程为，故C错误； 渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 点与平面的距离为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用空间向量相关公式求解线线角，点到平面的距离，面面角和线面角的大小. 【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， A选项，则， 故， 故， 故直线与所成的角为； B选项，设平面的法向量为， ， 令得，，故， 故点到平面的距离为，正确； C选项，因为平面平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 显然， 故直线与平面所成的角为，正确. D选项，设平面的法向量为， ， 令，则，故， 平面的法向量为， 故 故平面与平面所成的角不为， 故选: ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值. 【详解】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 13. 几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到，从而求出，得到离心率. 【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为， 故， 设圆半径为，则， 设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故， 故，所以. 故答案为： 14. 数列的前项和为，__________ 【答案】2600 【解析】 【详解】 , , ， ， ， ， ， ， …………………….， . 【点睛】提供一个数列，有时提供通项公式，有时提供递推公式，有通项公式求数列的和可根据通项公式采用相应的方法求和，求和方法主要有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，也有时时根据数列的递推公式，借助前2项的值，推出后面的项的值，求数列的和时要观察数列各项的值的性，有时具有周期性，有时奇数项、偶数项分别具有一定的规律，然后再求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆关于直线对称，且过点. （1）求证：圆与直线相切； （2）若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 【答案】（1）证明：圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切. （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设圆心到直线l的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，即，满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得 ， 所以直线l的方程为或． 即或． 16. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 依题意得，解得. 故数列的通项公式是 【小问2详解】 由（1）知，. 所以 . 17. 已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． （1）求的值； （2）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解； （2）直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，且， 则． 【小问2详解】 由（1）知抛物线，焦点，直线，． 联立，得， 设， 则， ． 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【小问1详解】 因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. 【小问2详解】 因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. 【小问3详解】 设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市泸县二中2024-2025学年上期高二期末测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 52 D. 66 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 渐近线方程为 D. 点到渐近线的距离为3 11. 已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 点与平面的距离为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面与平面所成的角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 13. 几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________. 14. 数列的前项和为，__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆关于直线对称，且过点. （1）求证：圆与直线相切； （2）若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 16. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． （1）求的值； （2）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $