山东省青岛第十九中学2024-2025学年高三上学期期末模块检测数学试题

青岛十九中2024-2025学年度第一学期期末模块检测 高三数学试题 2025.01 说明：1.“本试卷分第I卷和第I1卷。满分150分。答题时间120分钟。 2.请将第I卷题目的答案造出后用B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上：第II卷用黑 色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作度。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1己知M,N为R的子集，且MON=o,则(CM）nN=() A.O B.M C.N D.R 3.若复数z满足：z(1-i)=1+i,则z3=() A.1 B.-1 C.i D.-i 3.已知角0的终边过点(3,4)，则im6=() A青 C.7 D 4.已知直线1：y=红+1，椭圆C:子+少=1，则k=0是1与C相切的（) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知某圆锥的侧面积为√π，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为() A,15 B.30 C.459 D.60 6.已知双击浅C:苦-茶-1e>06>0)的右能点为R过点F作重直于：错的直楼，从刀 分别是I与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点若M是线段FW的中点，则C的渐近线方 程为() A.y=土x B.y C.y= 3 D.y= 7,已知函数()-0m(回>0)，若/x+引为偶函数：且/问在区间0，对内仅有两个零点， 则w的值是() A.2 B.3 C.5 D.8 高三数学第1页（供4页） 8.设数列{a}满足a=1,a2=4,a。+aa2=2血.+2，若[x)表示大于x的最小整数，如[2)=3， [-2.1)=-2,记6= n(n+l 则数列{也，}的前2024项之和为（) A.4050 B.4049 94048 D.4047 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，进对但不全的得部分分，有选错得0分) 9.记等差数列{a.}的前n项和为Sn,若ao=9,S0=200,则() A.a1=1 B.{an}是递增数列 C.当n=4时，Sn取得最小值 D.若Sn>0,则n的最小值为11 10.已知显：(x-3)+y2=1,C2:x2+0y-a)2=16,则下列结论正确的有() A.若圆C和圆C,外离，则a>4 B:若圆C和圆C外切，则a=士4 C.当a=0时，圆C和圆C有且仅有一条公切线 D.当a=-2时，圆C和圆C,相交 11.己知函数f(x)=n(cosx)+sm2x,则（) A.f(x)=f(-x) B、)在（受引单词递端 C.∫(x)有最小值 D.)的最大值为-血2 第11卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2日有i5满是，6-空66a-列-子，同一 13.若动直线4：m-y-m+3=0,圆C:(x-2)+(y-4)2=3,则直线4与圆C相交的最短弦长 为 高三数半第2页（共4页） 4、已知双曲线苦景=0>06>0的左、右焦点分别为斤，B,若过点的直线与双线 的左、右两支分别交于A,B两点，且AF日BF=2N5.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2√2 的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 已知函数f(x)=ar3+bx+2在x=2处取得极值-14. (1)求曲线y=f(x)在点（山，f()处的切线方程： (2)求函数f(x)在[-3,3]上的最值. 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为AC的中点，若2 bcosC=2a+c. (1)求∠B: (2)若a+c=6,求BD的最小值. 17.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,二面角A-CD-P为直二 面角. (1)求证：PB⊥PD: (2)求四棱锥P-ABCD体积的最大值： (3)当四棱锥P-ABCD体积最大时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.， 高三数学第3页（共4页） 18.(17分) 如国，由部分精圆号+芳=-e>b87≤0和部分双击战号苦=020，组成的击线C落 为“盆开线”.曲线C与x轴有A(2,0)B(-2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为 4 (1)求出部分椭圆方程和部分双曲线方程： (2)设过点(1,0)的直线1与C相切于点M,求点M的坐标及直线1的方程： (3)过A的直线m与C相交于点P、AQ三点，求证：∠PBA=∠QBA, 19.(17分) 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“D数 列” (1)已知等差数列{a,}的首项为l,其前n项和Sn满足对任意的n∈N广都有S。<2m2+元n(1>0), 若数列{an}为“D数列，求数列{a}的通项公式： (2)已知等比数列{c}的首项G和公比9均为正整数，若数列{c,}为“D数列"，且G>4, 二G<,设久十fG>0eN,若数列也也为D数列，求实数t的取值范围 高三数学第4页（共4页） 青岛十九中2024-2025学年度第一学期期末模块检测 高三数学试题答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 0 D A C A B BD BCD ABD 12. 13.2 14,2 15.【详解】(1)因f(x)=ax3+bx+2,故f(x)=3ax2+b 由于∫(x)在x=2处取得极值-14，故有 f(2)=12a+b=0 f(2)=8a+2b+2=-14' 12a+b=0 a= 化简得 4a+b=-8' 解得 b=-12' 所以a=1,b=-12 则f(x)=x3-12x+2,f'(x)=3x2-12,故f()=-9,f'()=-9. 所以曲线y=f(x)在点(（1f(包)处的切线方程为：y-(9)=-9(x-1),即9x+y=0. (2)f(x)=x3-12x+2,f'(x)=3x2-12, f"(x)20解得x≤-2或x≥2：'(x)≤0解得-2≤x≤2， 即函数f(x)在[-3，-2]上单调递增，【-2,2]上单调递减，[2,3]上单调递增， f(-3)=11f(-2)=18,f(2)=-14,f(3)=-7, 因此f(x)在[-3,3]的最小值为f(2)=-14.最大值为f(-2)=18 16.【详解】(1)解：由2 cosC=2a+c, 利用正弦定理可得：2 sin BcosC=2sinA+sinC, 2cos Bsin C+sinC=0, 28=2π simC≠0，cosB=- (2)由D为AC的中点，：BD=BA+BG), 高三数学试题答案第1页（共4页） :.4BD'=BA'+BC2+2BA-BC=c+a+2accosB=(a+c)2-3ac, 又：a+c≥2Wae,acsa+ 4 面a+f=9,⑩ 当且仅当a=c=3时，1D列取最小值号， 17.【详解】(1)由题意知平面PCD⊥平面ABCD, 又平面PCD∩平面ABCD=CD,BC⊥CD,BCc平面ABCD, 所以BC⊥平面PCD因为PDc平面PCD,所以BC⊥PD 又因为PC⊥PD,BCOPC=C,PCc平面PBC,BCc平面PBC, 所以PD⊥平面PBC因为PBc平面PBC,所以PD⊥PB. 2)体职最大 (3)取CD中点为O,连结PO取AB中点为E,连结OE. 四棱锥体积最大时，PC=PD,点O是CD中点，所以PO⊥CD】 又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,POC平面PCD, 所以PO⊥平面ABCD.因为点O、E分别是CD、AB的中点，所以OE∥AD,则OE⊥CD 则0P=2CD=l,0E=4D=2. 以点O为坐标原点，OD,OE,OP所在直线分别为x,',:轴，如图建立空间直角坐标系D-z, 则0(0,0,0)，D(10.0),C(-1,0,0),B(-12,0),P(0,0,),E(0,2,0),A(1,2,0),P=(-1,-2,1), ǖ=(-2,0,0)，P℃=（-1,0，-1) 设n=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量， 元.4P=-x-2y+z=0 取y=1,则z=2,所以n=(0,L,2)是平面PAB的一个法向量. i.AB=-2x=0 设直线PC与平面P4B所成的角为9，则s血6=os(PC》 -2L而 5×25 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 5 高三数学试题答案第2页（共4页） 18.【详解】(1)由题设可得V云+5×a2-6 a 40=2.b=5, 故精圆为想为：苦+号-0≤0，双自线方程为号--02。 43 （2》由图可知，切点M在双曲线-号=10≥0上. 43 设M(6,,则k=3没，则切线1的方程为：华义=1， 4yo 43 因为直线1过点(10)，所以，=4， 将飞=4代入号-苦=0≥0，得%=3， 所以，M(4,3),直线1的方程为：x-y-1=0. 法二：设直线联立也可. (3)由题意可得P?的斜率存在且不为零，故设方程为：y=k(x-2), 联文4-方=10≥0)整理得：6-4)2+16kx-162-12=0, y=k(x-2) [△=256-43-4-16-19>0即k5且k-5 3-42≠0 解得：x=2或x=8+5,即Q 8k2+612k 4k2-3 42-3'42-3 联立 后+号=00理得：6+-+16-120， y=k(x-2) 8k2- 8歇2-612k 解得：x=2或x ,即P 4k2+ 4+3'4h2+3 12k 12k 所以kp+kg= 4±3+4-3=0， 8k2-6 8k2+6 +2 4k2+3 4k2-3 +2 所以kP=-kQ,所以∠PBA=∠QBA. 高三数学试题答案第3页（共4页） 19.【详解】(1)设停差数列{a,}的公差为d,则d≥4，由4=1，得3n=n+n-Dd. 2 由愿意得，n+m-d<2n2+n对neN均成立， 当n=1时，上式成立.当m22时，d<4+22+D,又>0：d54,d=4 n-l ∴等差数列{an}的通项公式为an=1+(n-l)×4=4r-3 (2)等比数列{c,}得C.=G9,由于数列{心n}为“D数列”，且9为正整数，q≥2， ∴C1-Cn=g(c,-c)>C-c4 ∴在数列{c,-Ca}中，S-G为最小项，由数列{c}为“D数列可知， 要c1-c.≥4对neN恒成立，只需9-G≥4又C3-G<5,即c-9=4. G>9,G(q-1)=4,S∈N,qeN,∴9=4.q=2. 当9=4,9=2时，6，=2”，则6=-6=护 (a+10-2m2a+) 令dn=b1-b(neN) -乱品}a (n+2(n+1) 2n+3 x3 2n+1 =号x3”×、42+8+6 ->0 (m+3n+2)2 (n+2n+1)2 (n+3)(n+2(n+1 ∴数列{dn}为递增数列，即d,>d,>dn2>>d、 若数列{b}是“D数列”，则对任意的π∈N都有b-b24, 即dn≥4对任意的r∈N恒成立 4=4-内24，即23之4，解得25 2×(2+1)2x0+) 高三数学试题答案第4页（共4页）