江西省宜春市丰城市丰城中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期初三期末考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共6小题，共18分） 1．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．（a+3b）2＝a2+9b2 C．2a4÷a2＝2a2 D．2a2+3a2＝5a4 2．2024年春运嘉兴南站旅客发送量约121万人次．数据121万用科学记数法表示为（　　） A．1.21×106 B．12.1×106 C．1.21×105 D．1.21×102 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，△ABC是等边三角形，点P是边AC上的一个动点，点P关于AB，BC 的对称点分别是点P1，P2，连接P1P2在点P从点A运动到点C的过程中，P1P2的长度（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 5．《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．如图①，在△ABC中，∠C＝60°，点D是边BC的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→C→D的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图②所示，点Q是曲线部分的最低点，则AB的长为（　　） A．3 B．3 C．12 D．6 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7．分解因式：xy2+6xy+9x＝　 　． 8．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝　 　． （8） （9） （11） 9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　 cm． 10．已知a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，若a2﹣2a﹣ab＝4，则k＝ 　 　． 11．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．图1是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2是由该七巧板拼摆成的“叶问蹬”图，其中点C，D分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2中抬起的“腿”的高度（点A到BE的距离）是 　 　． 12．如图，在▱ABCD中，AB＝2，，∠B＝45°，点E在射线BC上，当△ADE为等腰三角形时，∠AED的度数为 　 　． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：； （2）解不等式组：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．“庆元旦，迎新年”，某班组织庆祝元旦活动，活动中有个抽签决定奖项的环节．抽签箱中有1号，2号，3号3个号签，抽到1号签获得一等奖，抽到2号签获得二等奖，抽到3号签获得三等奖．（抽到的签不放回）甲、乙、丙三位同学在活动中表现活跃，主持人宣布他们获得抽签机会． （1）事件“甲获得一等奖”是 　 　事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）甲同学认为先抽的获得一等奖的机会更大，乙同学认为后抽的获得一等奖的机会更大，丙同学认为先抽和后抽获得一等奖的机会一样大．你同意谁的观点，请说明理由． 16．为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知购买1本甲种和1本乙种数学课外读物共需108元，购买1本甲种和2本乙种数学课外读物共需180元． （1）求甲、乙两种数学课外读物的单价； （2）该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 17．请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD． （1）如图①，以等边三角形ABC的边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F． （2）如图②，以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．2024年，是中国共产党成立第103周年，意义非凡．某校为了解本校学生党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，解答下列问题： 课题 ××学校学生对党史知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x（分） 频数 各组总分（分） A 60≤x＜70 5 325 B 70≤x＜80 7 525 C 80≤x＜90 n 950 D 90≤x≤100 7 660 调查结论 …… （1）上述表格中，n＝ 　 　，所抽取学生成绩的中位数落在 　 　组； （2）求所抽取学生成绩的平均分； （3）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于90分的学生有多少名？ 19．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60 ） 20．如图，BE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点F是EC的中点，连接FO并延长至点D，交⊙O于点A，连接BD，∠D＝∠E． （1）证明：DB为⊙O的切线； （2）若∠D＝30°，AF＝6． ①求BF的长； ②求阴影部分的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，AC⊥x轴，垂足为C，AB边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． （1）求直线AB和反比例函数的表达式； （2）点E是反比例函数的图象上一点，若S△ADE＝S△ADC求点E的坐标． 22．已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0） （1）当a＝1时，求抛物线C1的顶点坐标． （2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长； （3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 六、（本大题共12分） 23．课本再现： （1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．则DE与BC的关系是 　 　． 定理证明 （2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． 定理应用 （3）如图（2），在四边形ABCD中，点M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，BA，CD的延长线交于点E．若∠E＝45°，则∠MPN的度数是 　 　． （4）如图（3），在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AF，点M是线段CF的中点，求旋转过程中线段BM长的最大值和最小值。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D A D 7.　 x（y+3）2　．8.　1　．9.　（55） .10.　﹣2　．11.　4　．12.　15°或75°或90°　． 13. （1）5；（2）x＜1． 14. a+1，． 15.（1）　随机　，（2）先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由： 用树状图表示甲、乙、丙三人抽奖所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的都有2种， 所以无论先抽还是后抽，获得“一等奖”的概率都是， 因此先抽和后抽获得一等奖的机会一样大． 16.解：（1）设甲种数学课外读物的单价是x元，乙种数学课外读物的单价是y元， 根据题意得：，解得：． 答：甲种数学课外读物的单价是36元，乙种数学课外读物的单价是72元； （2）设购买m本甲种数学课外读物，则购买（50﹣m）本乙种数学课外读物， 根据题意得：36m+72（50﹣m）≤2520， 解得：m≥30，∴m的最小值为30．答：至少可购买甲种数学课外读物30本． 17.（1）如图所示，CD即为所求；（2）如图，CD即为所求． 18.（1）11；C；（2）82分；（3）280名 19.（1）52cm，（2）28°． 20.（1）证明：∵点F是EC的中点，点O是EB的中点，∴OF∥CB，∴OF⊥CE， ∴∠E+∠EOF＝90°，∵∠D＝∠E，∠BOD＝∠EOF，∴∠D+∠BOD＝90°， ∴DB⊥OB，∴DB为⊙O的切线； （2）解：①设⊙O的半径为R，∵∠D＝30°，∴∠E＝30°，由（1）知∠EFO＝90°， ∴OFOER，∴AFR＝6，∴R＝4，EFOF＝2CF， ∴BCBE＝4，∴BF2； ②由①知，OB＝4，∴BD＝4，∠BOD＝60°，∴阴影部分的面积＝△BOD的面积﹣扇形AOB的面积OB•BD8π． 21.（1）由条件可知AC∥OD，，∴，∴BO＝1， ∴OC＝2∴A（2，6），B（﹣1，0）， 设直线AB为y＝ax+b，代入点A（2，6），B（﹣1，0）坐标得： ，解得，∴直线AB解析式为：y＝2x+2， ∵反比例函数的图象经过A，∴k＝12，∴反比例函数的表达式为； （2）如图，连接CD，CE，当E在A的右边时， 当CE∥AB时，则S△ADE＝S△ADC，设直线CE为y＝2x+n，而C（2，0）， ∴4+n＝0，解得：n＝﹣4，∴直线CE为y＝2x﹣4， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时，∴； 如图，当E在A的左边时，如E′，连接DE′，AE′，EE′交AD于H， 当H为EE′的中点时，则SADE′＝S△ADE， 设H（x，2x+2），，而，由中点坐标公式可得： ，整理得：m2+4m﹣6＝0，解得：，（不符合题意，舍去）∴， ∴， 综上：E的坐标为：或． 22.（1）当a＝1时，抛物线C1：y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， ∴抛物线C1的顶点坐标为（2，﹣7）； （2）∵y＝ax2﹣4ax﹣3＝ax（x﹣4）﹣3， ∴抛物线C1过定点（0，﹣3）及（4，﹣3）， ∴当m＝﹣3时，直线y＝﹣3与抛物线C1相交所得的线段EF的长度都不变， 此时E（0，﹣3），F（4，﹣3）， ∴EF＝4； （3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设抛物线抛物线C2上任意一点（x，y）， ∵点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y）， 把（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣4ax﹣3得：﹣6﹣y＝ax2﹣4ax﹣3， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣ax2+4ax﹣3＝﹣a（x﹣2）2+4a﹣3， ∴Q（2，4a﹣3）， ∵y＝ax2﹣4ax﹣3＝a（x﹣2）2﹣4a﹣3， ∴P（2，﹣4a﹣3），∴PQ∥y轴，而EF⊥y轴，∴EF⊥PQ， 根据题意可得EF与PQ为正方形的对角线， ∴EF＝4＝PQ，∴4＝|（4a﹣3）﹣（﹣4a﹣3）|，∴a＝±． 23.（1）DE∥BC且；（2）证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE， 连接CF， ， ∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△AED≌△CEF（SAS），∵AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AB∥CF，∵AD＝BD，AD＝CF，∴BD＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，． （3）∵点M，P分别为AD，BD的中点，∴MP∥AB，∴∠MPD＝∠ABD， ∵点N，P分别为BC、BD的中点，∴PN∥CD，∴∠BNP＝∠C， ∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ABD+∠DBC+∠PNB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠EBC+∠C＝180°﹣∠E＝135°． （4）如图，延长CB至点H，使BH＝CB，连接FH，连接AH， ∵CM＝ME，CB＝BH，∴，由勾股定理得，， ∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝3，∴点F在以点A为圆心，3为半径的圆上（不与点E重合），∴当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2；当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8． 故：BM长的最大值为4，最小值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城中学2024-2025学年上学期初三期末考试 数学 答题卡 姓名： 贴 条 形 码 校区： 班级： 考场号： 座位号： 注 意 事 项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准号证号，在规定的位置贴好条形码。 2.考生务必将自己使用的试卷类型(A或B)在规定的位置用2B铅笔选择填涂。 3.选择题必须使用2B铅笔填涂，填空题必须使用签字笔答题；字体工整，笔记清楚。 4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并交上。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 15． 16． 17. 四.（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 19. 第一部分 选择题部分 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1     2     3     ■ 4     5     6     请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 第二部分 客观题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.________________ 8.__________________ 9.__________________ 10.________________11._________________ 12.___________________ 三．（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 20． 五.（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 22. 六.（本大题12分） 23. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$