河南省开封市2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题

2024一2025学年第一学期期末调研考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生 号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对 应的答题区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知点B是点A(1,2,3)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB| A.√5 B.√10 C.13 D.5 2.设a∈R,则“a=0”是“直线x十2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的 平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用矩形ABCD截 某圆锥得到的椭圆E与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为2：1，则椭圆E的离心率 为 A号 B号 c 4.△ABC中，A(一5,0)，B(3,2),C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高， 则直线CD的方程为 A.x+4y+3=0B.4x+y+3=0 C.x-4y+5=0 D.4x-y+5=0 5.已知直线l与圆0：x2+y2=5相交，且直线1被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程 可能是 A.x+2y+5=0B.x十2y+√5=0C.x+2y+2=0 D.x+2y+√2=0 6.已知数列{an)的首项a1=3,且满足a+1=2a。一1，则下列是这个数列中的项的是 A.191 B.193 C.1023 D.1025 7.如图，在平行六面体ABCD一A1B,C1D1中，AB=AD=AA1=1, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则下列直线与平面BDDB, 垂直的是 A.AC B.AC C.AC D.AD 高二数学第1页（共4页） CS扫描全能王 】亿人都在用的归播AP时 8.已知等差数列{a.}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A,B,C,则 A.A+B=C B.A+C=2B C.2A+C=3B D.3(B-A)=C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知经过A(0,2),B(一m,一1)两点的直线1的一个方向向量为(1，m),则直线l的倾斜角 可能为 A君 B. c号 晋 10.平面内与两定点A,(一a,0),Az(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨 迹，加上A,,A2:两点所形成的曲线C可以是 A.若m=一1，C是圆心在原点的圆 B.若m<一1，C是焦点在x轴上的椭圆 C.若一1<m<0,C是焦点在x轴上的椭圆 D.若m>0,C是焦点在x轴上的双曲线 11.已知数列{F.}满足：F1=1,F十F十F十…十F=F.Fm+1,则 A.3F,=F2十F。 B.F<FF C.F.=F。-1十Fm-2(n≥3) D.F1十F,十F5十…十F2a+1=Fm+2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆C的圆心在x轴上，且经过A(0,1),B(2,1)两点，则圆C的标准方程为 。=2则n= 13.已知等比数列{a,}的公比为-，前n项和为S,若=沿 14.已知A,B为双曲线C的左，右顶点，点M在C上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角 形，写出C的一条渐近线方程 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记 0A=a,0i=b,0t=c. (1)用a,b,c表示向量AN; (2)求|AN 高二数学第2页（共4页) CS扫描全能王 3亿人那在用的目猫AP白 16.(15分) 已知{an}是等差数列，且a1十aa十a6=15,a:十a4十a6=21. (1)求{a.}的通项公式； （2>设数列6，-a者61十6：+b十…十6，<号求满足条件的最大整数 anQn+l 17.(15分) 已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于点M,且直线AM的 斜率与直线BM的斜率的差是2. (1)求点M的轨迹方程； (2)若经过点F(o,)的直线1与点M的轨迹相交于C,D两点，0CL0D,0为坐标原 点，求线段CD的长， 18.(17分) 如图，在直三棱柱ABC-A:B,C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2,M是AB的中点， 已知平面BCCB,与平面A1CM的夹角为答 (1)求AA1的长； (2)若N是B,C1的中点，P是BC1与B,C的交点，Q是线段A1N上一点， 且PQ∥平面A,CM. 0*给品。 (ii)求直线PQ到平面A,CM的距离. 高二数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的目播AP时 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，利用公式 e'=ax十by'0(其中a,b,c,d为常数)，将点 y'=cx+dy, P(x,y)的坐标变换为点P'(x',y),我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变 换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表 称为二阶矩阵，矩 d 阵通常用大写英文字母A,B,…表示.依据以上信息，处理以下问题： 1已知点P,(2,0按照二阶矩阵A=日。】 变换n次得到点P.,求点P,的坐标； (2)如图，将点P(x,y)绕原点O按逆时针旋转a角得到点P'(x',y)(到原点距离不 变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵B; p(x'y) P(x,y) (3)如图，y轴与直线y一是x是函数y=3z x十】所对应的曲线C的两条渐近线，判断⊙ 是否为双曲线，若是请给予证明，若不是请说明理由， 高二数学第4页（共4页） CS扫描全能王 】亿人都在用的目猫APP1 2024--2025 学年第一学期期末调研试卷 高二数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．  2 21 2  x y 13．5 14．    或y x y x 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） （1）  1 1 1 1= = = + + +2 4 4 4AN ON OA OM OA OB OC OA             a b c ；………5分 （2）   2 22 1 1= = + + 4 4 AN AN        a b c 2 2 2 1 1 1 1 1 11= + + + = 16 16 8 2 2 16          a b c b c a b a c ，………11 分 所以 11= 4 AN  ………13 分 16.（15 分） （1）由 1 3 5+ + 15a a a  得 3 33 15 =5a a ， ，………2分 由  2 4 6 1 3 5+ + 21 15a a a a a a     得3 =6 =2d d， ，………4分 所以    3+ 3 =5+2 3 2 1na a n d n n     ；………7分 （2）   1 1 1 1 1 1= = = 2 1 2 +1 2 2 1 2 +1n n n b a a n n n n       ,………10 分 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + 1 + + + + 2 3 3 5 5 7 2 1 2 +1n b b b b n n                                 1 11 2 2 +1n       ，………12 分 由 1 1 101 2 2 +1 21n       ，解得 1 1 2 +1 21n  ，2 +1 21n  ，即 10n  ，………14 分 所以满足条件的最大整数 n为 9.………15 分 17.（15 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B B D C D 题号 9 10 11 答案 BC ACD ACD 2 （1）设  M x y， ，则 = +1AM yk x ， = 1BM yk x  ，………3 分 所以  =2 1 +1 1 y y x x x     ，化简得  2= +1 1y x x   ；………6 分 （2）易知直线 l的斜率存在，记为 k，设直线 l的方程为： 3+ 4 y kx ，    1 1 2 2C x y D x y， ， ， ，………7分 联立 2+1, 3, 4 y x y kx       得 2 1+ 0 4 x kx  ，所以 1 2 1 2 = 1= 4 x x k x x      ， ， ① ………10 分 因为OC OD ，所以 0OC OD     即 1 2 1 2+ =0x x y y ，………11 分 即 1 2 1 2 3 3+ + + =0 4 4 x x kx kx        ，整理可得    2 1 2 1 23 91 + + + =04 16k x x k x x ， 将①带入，得 216 5=0k  ，即 2 5= 16 k ，………13 分 所以  22 21 2 1 2 1 2= 1 = 1 4CD k x x k x x x x     2 2 2 21= 1 1 =1 = 16 k k k   . ………15 分 18.（17 分） （1）如图，分别以 1, ,AC AB AA x y z    为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 -A xyz， ………1分 记 1=AA a，则        12,0,0 0,2,0 , 0,1,0 0,0,C B M A a， ， ，  1,1,0BC D中点 因为 1BB ABC平面 ， AD ABC平面 ，所以 1BB AD ， 又 AD BC ， 1 =BB BC B ，所以 1 1AD BCCB平面 ， 所以 (1,1,0)AD  uuur 为平面 1 1BCCB的一个法向量， ………3分 又    1= 2,0, , = 2,1,0 ,CA a CM  uuur uuur 设 ( , , )x y zn 为平面 1ACM的法向量，有 1 0, 0, CA CM     uuur g uuur g n n 则 2 0, 2 + 0, x az x y      令 1x  ，所以平面 1ACM的一个法向量 2(1,2, ) a n ， ………5 分 所以 1cos , =AN uuur n 2 3 4| || | 5 2 AD AD a    uuur uuurn n ， 1 3cos , =cos = 6 2 AN  uuur n ，解之 =2a ， ………7分 (2) （i）由第（1）问可知    1,1,1 1,1,2P N， ， 设 1 1=AQ AN   ，则  , , 2Q  ， ，  1, 1,1PQ     uuur ………9分 因为 1PQ ACM∥平面 ，所以PQ  n，由第（1）问可知 (1, 2,1)n 所以  =3 1 +1=0PQ    n ， ………10 分 解之得 2= 3  ，所以 11 1 1 2= = 3 AQAQ AN AN   ； ………12 分 （ii）因为 1PQ ACM∥平面 ，所以点P到 1ACM平面 的距离即为直线PQ到 1ACM平面 的距离， ………14 分 3  1,1,1CP   uur ，所以点P到 1ACM平面 的距离为 2 6= | | 36 CP  uur n n ， 即直线PQ到 1ACM平面 的距离为 6 3 . ………17 分 19.（17 分） （1）记  nnn yxP , ，由题意得      ， ， 021 00 1 1 y x 即 )2,0(1 P ，………2分      ， ， 00 210 2 2 y x 即 )0,2(2 P ；………3分 （2）设OP OP r   ， POx   ，则 cosx r  ， siny r  ， P Ox      ，………4分 故  cos cos cos sin sin cos sin             x r r r x y ，  sin sin cos cos sin sin cosy r r r x y              ，………6分 所以坐标变换公式为 cos sin sin cos x x y y x y            ， ， 该变换所对应的二阶矩阵为 cos sin sin cos B            ；………9 分 （3）曲线C是双曲线.………10 分 证明：考虑双曲线的图象关于两条渐近线的夹角的角平分线对称，设 y轴与直线 xy 4 3  的角平分线与 y轴 所夹的锐角为 ， y轴与直线 xy 4 3  所夹的锐角为  ，则  2 ，………11 分 易知 5 4sin, 5 3cos   ，由于 5 3cos1cos2 2   ，所以 5 52cos  ， 5 5sin  ，……12 分 设 x xy 1 4 3  图象上任一点 ),( yxP 绕原点逆时针旋转 后得到点  ,P x y   ， 由（2）可知： 2 5 5 cos sin 5 5= sin cos 5 2 5 5 5 B                     ，………13 分 所以         ， ， yxy yxx 5 52 5 5 5 5 5 52 ' ' 即         ， ， '' '' 5 52 5 5 5 5 5 52 yxy yxx ………14 分 代入 x xy 1 4 3  ，得 2 2=4 +4y' x' ，旋转后对应曲线方程为： 1 4 2 2  xy ，………16 分 即曲线C绕原点逆时针旋转 后为焦点在 y轴上，对称中心为坐标原点的双曲线， 所以曲线C是双曲线.………17 分