北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

八年级数学 第 1页 共 8页 延庆区 2024-2025 学年第一学期期末试卷 八 年 级 数 学 2025.01 考 生 须 知 1.本试卷共 8页，共三道大题，28道小题，满分 100分，考试时间 120分钟． 2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列四个图形是国际数学家大会的会标，其中轴对称图形是 （A） （B） （C） （D） 2．下列事件中，随机事件是 （A）在数轴上取一个点，它表示的数是实数 （B）画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 （C）画一个三角形，它的内角和是 180° （D）把长度分别是 6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 3．分式 3a a 有意义，实数 a的取值范围是 （A）a≠3 （B）a≠0 （C）a＜3 （D）a≥3 4．三角形的两边长分别为 3和 6，这个三角形的第三边长可以是 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 5．下列二次根式中，最简二次根式是 （A） 3.0 （B） 2 1 （C） 18 （D） 10 八年级数学 第 2页 共 8页 6．下列各式中，计算正确的是 （A） 2 3 5  （B）3 2 2 3  （C） 2 3 6  （D） 10 5 2  7．如图，在△ABC中，AB边上的高线是 （A）线段 AD （B）线段 AF （C）线段 BG （D）线段 CE 8．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线 BC上取一点 P，使得△PAB是 等腰三角形，则符合条件的点 P有 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 二、填空题（共 16 分，每小题 2 分） 9．16的算术平方根是________． 10．若二次根式 9x 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是________． 11．如图，在△ABC中，∠A=80°，点 D在边 BC的延长线上， ∠ACD=140°，则∠B的度数为________． 12．已知 035  yx ，则  yx ________． 13．一个不透明的口袋中装有 2个红球和 1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸 出一个球，摸到红球的可能性大小是________． 14．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的探究任务， 小聪想到“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的 物体‘移’到可以直接测量的位置进行测量”．于是他设计了如下 方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 AC，BD 的中点 O固定，只要 测得 C，D之间的距离，就可知道内径 AB 的长度．此方案中，判 定△AOB≌△COD 的依据是________． 八年级数学 第 3页 共 8页 15．如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，AC=4，BD=1， 则△ACD的面积是________． 16．如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，点 D关于直线 AC的对称点为 E． 连接 BE，交 AC于点 F，交 AD于点 G，连接 AE，DE． 有下面四个结论： ①点 A在线段 DE的垂直平分线上； ②△ADE是等边三角形； ③△ABG≌△AEF； ④点 P是线段 AE上的一个动点，PF＋PC的最小值等于 BF． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共 68 分，17-18 题，每小题 8 分；19-26 题，每小题 5 分；27 题 7 分；28 题 5 分） 17．计算：（1） 312 27 3   ； （2） 2 12025 2  ）（ ． 18．解分式方程：（1） 51 1 2 2 x x x     ； （2） 2 2 4 4 2 1 2      xx x x . 19．如图，BE⊥AC于点 E，DF⊥AC于点 F，且 AB=CD，AF=CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AB∥CD． 八年级数学 第 4页 共 8页 20．在证明等腰三角形的性质定理 1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理 1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B=∠C． 甲同学的方法： 证明：作∠BAC的平分线交 BC于点 D． 乙同学的方法： 证明：作 AE⊥BC于点 E． 丙同学的方法： 证明：取 BC的中点 F， 连接 AF． 请选择一种方法补全证明过程． 21．先化简，再求值： 22 4 4( 1) 2 2 a a a a a       ，其中 a= 6 +2． 八年级数学 第 5页 共 8页 22．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题： 2 2 1 1 1x x    ，甲、乙两位 同学的解答过程分别如下： 老师发现这两位同学的解答过程都有错误． 请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，分析错因，并加以改正． （1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），产生错误的原因 可能是 ； （3）写出正确解答过程． 23．如图，△ABC是等边三角形，D是 AB上一点，过点 D作 BC的平行线交 AC于点 E． （1）依题意补全图形； （2）判断△ADE的形状，并证明． 乙同学： 2 2 1 1 1x x    ①     2 1 1 1 1x x x      ① ②         2 1 1 1 1 1 x x x x x        ② ③  2 1x   ③ ④ 1 x  ④ 甲同学： 2 2 1 1 1x x    ①     2 1 1 1 1x x x      ① ②         2 1 1 1 1 1x x x x       ② ③     2 1 1 1x x     ③ ④     1 1 1x x    ④ 八年级数学 第 6页 共 8页 24．如图，OC是∠AOB的角平分线，点 D在射线 OA上，点 E在射线 OB上， 点 F在射线 OC上，连接 DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≌△OFE． 小明同学写出以下条件： ①OD=OE， ②∠ODF=∠OEF， ③∠OFD=∠OFE， ④FD=FE， ⑤∠ADF=∠BEF， ⑥∠DFC=∠EFC． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌△OFE．” （1）小明的说法________（填“正确”或“错误”）； （2）从小明写出的条件中选择一个________（填写序号），使得△OFD≌△OFE， 补全图形，并写出证明过程． 25．列方程解应用题： 远大中学组织学生到距离学校 20千米的农耕园体验农耕劳动．有一部分学生骑自行 车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发 50分钟后，乘汽车沿相同路线行进， 结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达农耕园．已知汽车速度是自行车速度 的 3倍，求自行车的速度． 八年级数学 第 7页 共 8页 26．尺规作图： 已知：如图 1，直线 MN和直线 MN外一点 P． 求作：直线 PQ，使直线 PQ∥MN． 小智的作图思路如下： ①如何得到两条直线平行？ 小智想到，自己学习线与角的时候，有 4个定理可以证明两条直线平行，其中 有“内错角相等，两条直线平行”． ②如何得到两个角相等？ 小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和 1个概念，可以得到两个角 相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的 定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”． ③画出示意图： ④根据示意图，确定作图顺序． （1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形 1（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明： （3）参考小智的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图 2中完成． （温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 图 1 在直线MN上取点A 作射线 AP 作∠PAN的平分线AB（尺规作图） 作 PQ=PA交 AB于点Q 作直线 PQ ∵ AB平分∠PAN， ∴ ∠PAB =∠NAB． ∵ PA =PQ， ∴ ∠PAB =∠PQA ( ① )． ∴ ∠NAB =∠PQA． ∴ PQ∥MN ( ② )． 图 2 八年级数学 第 8页 共 8页 27．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的高，点 E是 AB的 中点，连接 CE交 AD于点 F，过点 E作 GE⊥CE于点 E，交 DA的延长线于点 G， 交 BC于点 H． （1）依题意补全图形； （2）判断∠ECH和∠EGF的数量关系，并证明； （3）求证：EC=EG． 28．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联 三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”． 已知：在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4． （1）下列三角形中，Rt△ABC的“关联三角形”是________（填序号）； （2）若 Rt△ABC的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长 可以是 ； （3）若△DEF是 Rt△ABC的“关联三角形”，且△DEF的面积是 S， 直接写出 S的最大值． ① ② ③ ④ 延庆区 2024-2025 学年第一学期期末试卷答案 八 年 级 数 学 2025.01 一、选择题：（共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） ABAB DCDB 二、填空题：（共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分） 9． 4 10． x≥9 11．60° 12．2 13． 3 2 14．边角边 15．2 16．①②④ 三、解答题 17. (本小题满分 8分) （1） 312 27 3   3 3 3  ． （2） 2 12025 2  ）（ =72 10 + 10 =7 10 ． 18. (本小题满分 8分) （1）解：方程两边同时乘以 2 1（ ）x  ，得， 2 2 1 5（ ）x x   ． 2 2 2 5x x   ． 2 2 5 2x x   ． 4 3x  ． 3 4 x  ． 检验：当 3 4 x  时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为 3 4 x  ． （2）解：方程两边同时乘以(x+2)(x2)，得 x2+4x=2(x+2)． x2+4x=2x+4． 3x=6． x=2． 检验：当 x=2时，最简公分母(x+2)(x2)=0，原方程中的分式无意义． 所以原方程无解． 19. (本小题满分 5分) （1）证明：∵AF=CE， ∴AE+EF＝CF+EF． ∴AE＝CF． ∵BE⊥AC于点 E，DF⊥AC于点 F， ∴∠AEB =∠CFD=90°． ∴△ABE与△CDF是直角三角形． 在 Rt△ABE和 Rt△CDF中，      ， ， CFAE CDAB ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL) ． （2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 20. (本小题满分 5分) 甲同学的方法： 证明：如图，作∠BAC的平分线交 BC于点 D． ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD和△ACD中，         ， ， ， ADAD CADBAD ACAB ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴∠B＝∠C． 乙同学的方法： 证明：如图，作 AE⊥BC于点 E． ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， 在 Rt△ABE和 Rt△ACE中，      ， ， AEAE ACAB ∴Rt△ABE≌Rt△ACE(HL)． ∴∠B＝∠C． 丙同学的方法： 证明：如图，取 BC的中点 F，连接 AF． ∴BF＝CF． 在△ABF和△ACF中，         ， ， ， AFAF CFBF ACAB ∴△ABF≌△ACF(SSS)． ∴∠B＝∠C． 21. (本小题满分 5分) 解：原式= 22 2 4 4( ) 2 2 2 a a a a a a a         = 22 4 4 2 2 a a a a a       = 2 2 2. 2 4 4 a a a a a      = 2 2 2. 2 ( 2) a a a a     = 1 2a  ． 当 a= 6 +2时，原式= 6 6 6 1 226 1   ． 22. (本小题满分 5分) （1）略； （2）略； （3） 2 2 1 1 1x x        2 1 1 1 1x x x              2 1 1 1 1 1 x x x x x             2 1 1 1 x x x         1 1 1 x x x     1 1x    23. (本小题满分 5分) （1）如图； （2）△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A =∠B=∠C=60°． ∵DE∥BC， ∴∠ADE =∠B=60°， ∠AED =∠C=60°． ∴∠A =∠ADE =∠AED． ∴△ADE是等边三角形． 24. (本小题满分 5分) （1）错误； （2）条件：∠ODF=∠OEF． 证明：∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠DOF=∠EOF． 在△OFD和△OFE中，         ， ， ， OFOF EOFDOF OEFODF ∴△OFD≌△OFE（AAS）． 说明：添加的条件可以是①，②，③，⑤，⑥． 25. (本小题满分 5分) 解：设自行车的速度为 x千米/时，则汽车的速度为 3x千米/时，由题意得： 60 50 3 2020  xx ， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意． 答：自行车的速度为 16千米/时． 26. (本小题满分 5分) （1）如图； （2）①等边对等角； ②内错角相等，两条直线平行； （3）略． 27. (本小题满分 7分) （1）如图； （2）数量关系：∠ECH=∠EGF； 证明：∵GE⊥CE于点 E， ∴∠GEF =∠CEH=90°． ∴∠ECH+∠GHD=90°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90°． ∴∠EGF+∠GHD=90°． ∴∠ECH =∠EGF． （3）证明：连接 DE． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B=∠ACB=45°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠DAC=∠DAB=45°． ∴∠B =∠DAB． ∴DA =DB． ∵点 E是 AB的中点， ∴∠AED=90°，∠ADE=∠BDE=45°． ∴∠ADE =∠EAD． ∴EA=ED． ∵∠GEF=∠AED=90°， ∴∠AEG =∠DEC． 在△EDC与△EAG中，         ， ， ， AEDE AEGDEC EGAECD ∴△EDC≌△EAG(AAS)． ∴EC=EG． 28. (本小题满分 5分) （1）①③； （2）2，4， 32 ； （3） 33 .