精品解析：广东省江门市新会区2024—-2025学年九年级上学期数学期末试题

2024-2025学年广东省江门市新会区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100℃时，水沸腾 B. 篮球队员罚球线上投篮一次，未投中 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( ) A. d＜6 B. d＝6 C. d＞6 D. d≤6 4. 若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( ) A. a≤0 B. a≥0 C. a＞0 D. a＜0 5. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 为响应政府号召，加强防疫物资储备，我州某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为(　　) A. 80(1+x)2＝340 B. 80+80(1+x)+80(1+2x)＝340 C. 80(1+x)3＝340 D. 80+80(1+x)+80(1+x)2＝340 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则 （ ） A. 160° B. 100° C. 80° D. 20° 8. 如图，从一张直径是2的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形，若剪出的扇形恰好可以围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是（　　） A. π B. C. D. 9. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 13. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 14. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 _______米．（结果保留） 15. 如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为3，则k的值为 _______． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 关于x的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由； （2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 18. 甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜概率． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标． 20. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 21. 某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； （3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 23. 在中，，，点D边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市新会区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100℃时，水沸腾 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，符合题意； 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意； 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意； 、掷一次骰子，向上一面的点数为6，是随机事件，不合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( ) A. d＜6 B. d＝6 C. d＞6 D. d≤6 【答案】A 【解析】 【分析】由直线l与半径为6的⊙O相交，可得圆心O到直线l的距离小于圆的半径，据此即可得答案. 【详解】∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜6， 故选A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离d与圆的半径R的大小关系判定直线与圆的位置关系：当d＞R，直线与圆相离；当d=R，直线与圆相切；当d＜R，直线与圆相交． 4. 若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( ) A. a≤0 B. a≥0 C. a＞0 D. a＜0 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围． 【详解】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解， ∴x﹣4＝±， ∴a≥0， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点． 5. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 6. 为响应政府号召，加强防疫物资储备，我州某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为(　　) A. 80(1+x)2＝340 B. 80+80(1+x)+80(1+2x)＝340 C. 80(1+x)3＝340 D. 80+80(1+x)+80(1+x)2＝340 【答案】D 【解析】 【分析】根据二、三月份的产量月平均增长率为x，即可求得二、三月份的产量，再根据第一季度总产量是340万只，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为： 80+80(1+x)+80(1+x) 2＝340． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，用含有x的代数式表示出二、三月份的产量是解决本题的关键． 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则 （ ） A. 160° B. 100° C. 80° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角与圆心角的关系即可求． 【详解】解：∵ ∴， 又∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴； ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理．解题关键是掌握圆周角定理及推论． 8. 如图，从一张直径是2的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形，若剪出的扇形恰好可以围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是（　　） A. π B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接BC，该圆锥底面圆的半径为r，先推出AB=AC，∠BAC=90°，从而得到BC是圆O的直径，∠ABC=∠ACB=45°，求出AB的长，从而求出的长，再求出底面圆半径即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接BC，该圆锥底面圆的半径为r， 由题意得△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°， ∴BC是圆O的直径，∠ABC=∠ACB=45°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，求弧长，圆锥底面圆面积，90度角的圆周角所对的角是直径等等，熟知相关知识是解题的关键． 9. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，即可得解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为， 故答案为：． 13. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． 14. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 _______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式进行计算，即可解答，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， ∴水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是米， 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为3，则k的值为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：12． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 关于x的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由； （2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个实数根，理由见解析 （2），方程的另一个根为2 【解析】 【分析】（1）求出的值，再根据根的判别式判断即可； （2）把代入方程，求出m的值，再解方程求出即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根． 理由∶∵关于x的一元二次方程中， ，，， ∴， ∵无论m为任意实数，， ∴原方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 18. 甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出树状图，即可得到答案； （2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，得出概率． 【小问1详解】 解：由题意得： 共有9种情况，分别是：． 【小问2详解】 解：由（1）得 其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有，共3种， ， 甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率为 【点睛】本题考查了树状图法求概率的问题，解题的关键是画出树状图． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1； （2）-3≤x＜0或x≥2； （3）P的坐标是（-5，0）或（3，0）． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得； （3）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数y=的图象经过B（2，3）， ∴m=2×3=6． ∴反比例函数的解析式为y=． ∵A（-3，n）在y=上，所以n==-2． ∴A的坐标是（-3，-2）． 把A（-3，-2）、B（2，3）代入y=kx+b．得： ，解得， ∴一次函数的解析式为y=x+1； 小问2详解】 解：由图象可知：不等式kx+b≥的解集是-3≤x＜0或x≥2； 【小问3详解】 解：设直线与x轴的交点为D， ∵把y=0代入y=x+1得：0=x+1， x=-1， ∴D的坐标是（-1，0）， ∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（-3，-2），B（2，3）， ∴DP×2+DP×3=10， ∴DP=4， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是（-5，0）； 当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0）， 即P的坐标是（-5，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力． 20. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为， 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 21. 某商家出售一种商品成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； （3）售价应定为每千克25元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键． （1）根据利润销量一件的利润列出关系式即可； （2）把函数关系式化成顶点式求解即可； （3）把代入关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴w与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为； ∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元； 【小问3详解】 解：当时，可得， 解得：， ∵， ∴舍去， ∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出取值范围； （3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）①或3；②或或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． 小问2详解】 解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 23. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $