广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题

2024-2025学年广东省江门市高二上学期调研测试（一）数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为(    ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 2.直线的倾斜角为    A. B. C. D. 3.已知，，且，则    A. B. C. 11 D. 4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为    A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 5.在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则点到直线AE的距离为    A. B. C. D. 6.某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为(    ) A. B. C. D. 7.已知点，分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段，的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为    A. B. 2 C. D. 8.如图，在棱长为1的正四面体四个面都是正三角形中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量单位：结果如下： 93  106  117  101  80  85  104  90  90  116 下列说法正确的是    A. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98 C. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D. 该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104 10.已知抛物线的焦点为F，O为原点，点为抛物线C上一动点，则下列说法正确的是    A. 抛物线C的准线方程是 B. 若，则 C. 过点的直线与抛物线交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则 D. 点Q是直线上一动点，则的最小值是 11.已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为    A. 若，，，则 B. 若，则 C. 若，，，，则不论取何值，P，A，B，C四点都共面 D. 若，，，则点O到平面ABC的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数据9，15，13，11，12的方差是          . 13.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点为B，点关于yOz平面的对称点为D，若，则          . 14.江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面图，点F为半椭圆的焦点，过原点O的直线l交于点A，交于点B，则的最大值为          ;点P是上一点，点N是半圆与x轴的交点如图2所示，点，则的最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线，圆C经过三点，， 求直线l与圆C的方程; 求直线l被圆C所截得的弦长. 16.本小题15分 U盘，全称 USB闪存驱动器，它是一种使用 USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过 USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的 U盘，其中银色 U盘4个，黑色 U盘3个，从中任取2个U盘. 求取出的2个U盘都是黑色U盘的概率; 如果是4个银色U盘， n个黑色U盘，已知取出的2个U盘都是银色的概率为，那么n是多少? 17.本小题15分 如图，在直三棱柱中，，，， N是的中点，F是的中点. 证明：平面 求直线BC与平面所成角的余弦值. 18.本小题17分 已知点是双曲线的一个焦点，且过点 求双曲线C的渐近线方程; 直线与双曲线C相交于A，B两点，若，求的面积; 直线与双曲线C有唯一公共点Q，过点 Q与直线垂直的直线分别交x轴、y轴于点，，当Q运动时，求点的轨迹方程. 19.本小题17分 已知椭圆，短轴长为2，离心率为，过点的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆的右顶点三点不共线如图 求椭圆的标准方程; 证明：直线AD与BD的斜率之积为定值; 以椭圆的长轴为旋转轴，将椭圆旋转，得到椭圆如图2所示，椭圆在平面xOy内，椭圆在平面xOz内，椭圆上是否存在定点P，使得平面平面PAD恒成立?若存在，求 P的坐标;若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分层抽样，考查运算求解能力，属于基础题. 根据题意结合分层抽样计算即可. 【解答】 解：依题意，女队员应抽取的人数为人. 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角，也考查了直线与斜率的关系及其应用，属于基础题. 由题意，求出直线的斜率，进而得到其倾斜角. 【解答】 解：将直线一般式方程化为 ， 所以直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为 ， 则 ， 又  所以  故选 3.【答案】B  【解析】【分析】本题考查空间向量垂直和空间向量的模，属于基础题. 由题意可得，求出x的值，可得出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【解答】解： 因为，，且， 则，解得，则， 所以， 因此， 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题. 判断两圆心之间的距离d与的关系，可精确判断，且便于计算. 【解答】解：圆的圆心半径， 圆，即，圆心，半径， 两圆心距离两圆相交， 故选A 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查棱柱的结构特征，考查空间距离问题，属基础题. 依题意， 在中，，利用等面积法求解即可. 【解答】解：依题意，在中，， 设点 到直线 AE的距离为d， 得 ，得  故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题． 从一箱中随机抽取2盒，基本事件总数，能中奖包含的基本事件个数，由此能求出能中奖的概率． 【解答】 解：16盒牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶， 从一箱中随机抽取2盒，基本事件总数， 能中奖包含的基本事件个数， 则能中奖的概率为 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求双曲线的离心率，属于中档题. 由题意，不妨设，进而求得 F 的中点坐标， 代入双曲线方程化简整理可得关于e的方程，解方程求得 【解答】解：由题意，不妨设， 所以 F 的中点坐标为 ， 代入双曲线，可得， 则 ， 因为， 所以 ， 即， 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的求法，考查直线与直线所成角的向量求法，考查投影向量，考查运算求解能力，属于中档题． 以作为基底，设向量与的夹角为，利用向量法求得夹角的余弦值，再由投影向量的定义可得. 【解答】 解：以作为基底， 则， 设向量与的夹角为， 则直线AM和CN夹角的余弦值等于   又和均为等边三角形， 所以 所以 所以直线AM和CN夹角的余弦值为， 在方向上的投影向量为， 所以 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查样本数字特征，属于基础题. 将数据从小到大排列，然后对选项逐个判断即可. 【解答】 解：将数据从小到大排列为：80，85，90，90，93，101，104，106，116，117， 对于A、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为，故A错误； 对于B、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数为，故B正确； 对于C、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为，故C正确； 对于D、因为， 则该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为，故D错误 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点、准线，抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，抛物线中的弦长问题，属于较难题. 利用上述知识逐项判断即可. 【解答】 解：由，，所以焦点，准线方程为，所以选项A错误； ，所以y0，选项B正确; 由过点直线斜率存在，设直线的方程为，即， 联立得，消去y得， 设1，所以，解得， 代入得，满足题意， ，x1x2，所以，所以选项C正确； 由题意可知与抛物线没有公共点，设直线，且与抛物线相切， 代入，得，，解得， 所以得直线， 直线与直线的距离为， 所以的最小值是，选项D正确 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查了空间向量的相关概念，空间向量的数量积即基本运用，综合性较强，属于较难题． 理解仿射坐标的概念，利用空间向量的数量积、夹角公式等运算即可求解． 【解答】 解：对于A，若已知 ， ， 则          ， ，A正确； 对于B，因为，， ， 所以，B错误； 对于C，因为，，，， ， 则，则不论取何值，P，A，B，C四点都共面，C正确； 对于D，，，， ， 设平面ABC法向量， 解得其中一解为， 所以平面ABC的一个法向量为， 在上的投影长为， 即点O到平面ABC的距离为，D正确. 故选 12.【答案】4  【解析】【分析】 本题考查方差的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 根据方差公式计算即可. 【解答】 解：数据9，15，13，11，12的平均数为， 则方差为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量平行的应用，属于基础题. 首先得到B和D的坐标，然后根据可求 【解答】 解：由题意可得：，， 因为，所以， 解得：，所以，解得： 14.【答案】 ；   【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，椭圆定义，圆的性质，属中档题. 对于图知OA为定值，从而设椭圆部分点的坐标及椭圆的标准方程，通过构造函数求得OB的最小值； 对于图注意到N点是椭圆部分的右焦点，从而将转化为可解决. 【解答】 解：对于图，， 设，则， 则， 则当时，有最大值2，从而有最大值， 所以的最大值为； 对于图，，易得N是椭圆的右焦点， 则， 所以， 如图， 当P，F，M共线，且F在线段PM上时，取最大值， 易求得，从而是大值为  15.【答案】解：由题意，联立解得，即交点坐标为， 直线l与直线相互垂直，则直线l的斜率， 则直线l的方程为，化简得， 所以直线l的方程为， 设圆的一般方程为， 可得方程组 所以圆C的方程为 由圆C的方程，即， 可知圆心C的坐标为，半径为， 圆心C到直线的距离， 由于，所以直线l与圆C相交，设交点为A，B， 则， 所以直线l被圆C所截得的弦长为   【解析】本题考查求直线、圆的方程，考查圆的弦长，属于一般题. 求出交点坐标和斜率，由点斜式即可求直线方程，利用待定系数法即可求圆方程; 求出圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求解. 16.【答案】解：用1，2，3，4表示4个银色U盘，用a，b，c表示3个黑色U盘， 则该试验的样本空间可表示为共21个样本点， 设事件“两次取出的都是黑色U盘”， 则，共有3个样本点，故 设事件“两次取出的都是银色U盘”， 则，共有6个样本点， 故，， 由可知当时，样本点个数为21，n越大，样本点个数越多， 故，又因为，故n取1， 若，则用1，2，3，4表示4个银色盘，用a表示1个黑色U盘， 则，不满足题意， 若，则用1，2，3，4表示4个银色U盘，用a，b表示2个黑色U盘， 则， ，满足题意，故  【解析】本题考查古典概型，属中档题. 列出样本空间及符合题目的样本点，根据古典概型的概率公式计算即可; 根据古典概型的概率公式列方程可求得样本空间的样本点个数为15个，由可知当时，样本点个数为21，n越大，样本点个数越多，故，又因为，所以逐一检验，时的样本点个数即可. 17.【答案】解以A为原点，AC，AB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.故，，，， 故，，，  ，，  ，， 又因为， 平面 故平面  ，，，，故，，， 设是平面的一个法向量， 则 令，所以是平面的一个法向量， 设直线BC与平面所成的角为， 则，，， ， 故直线BC与平面所成的角的余弦值为   【解析】本题考查线面垂直的判定，线面角，属于中档题. 建立空间直角坐标系，推出，，即可证明； 求出平面的法向量，利用，，即可求解. 18.【答案】解：由双曲线的定义可知， 所以，，即双曲线C的渐近线方程为； 由可知双曲线的标准方程为， 设，， 由题意，联立方程组得，消去 y得①， ，， 由 ， 解得，即， 当时，代入①式得，解得或，即，， 则的面积， 当时，代入①式得，解得或2，即，， 则的面积， 所以，综上所述，的面积为或， 将直线代入， 化简得， 由，解得， 所以点Q的横坐标为， 将代入可得，， 由此点Q的坐标为， 由此过点Q与垂直的直线的方程为， 所以，，即点， 由，可得点G的轨迹方程为  【解析】本题考查双曲线的方程与性质，考查轨迹方程的运用，属于较难题. 由双曲线的定义可知，所以，，即可求出双曲线C的渐近线方程； 由题意，联立方程组得，消去 y得，利用，求出m，进而可求的面积； 将直线代入，化简得，由，解得，求出点Q的坐标为，进而求出点，即可求出点G的轨迹方程. 19.【答案】解：，所以， 由，得，， 所以椭圆的标准方程为 若直线l的斜率不存在，即l的方程为 可得，， 则，，得 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为， 点，， 将 代入得， 化简得， 所以有，， 又由，， 则， ， ， 所以， 由此可得直线AD与BD的斜率之积为定值; 在空间直角坐标系中，，设，， 则，， 设平面PAD的法向量为 ，  令，则，， 所以有，  同理可得平面PBD的法向量为，  由平面平面PBD， 所以， 又由  所以有， 在平面xOz内，由椭圆，则有，所以得， 解得，，存在这样的定点，  【解析】本题考查椭圆的方程，椭圆中的定值问题，属于难题. 根据短轴与离心率，即可求解； 分直线l的斜率存在与不存在，结合韦达定理求解； 建系，根据空间向量法求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$