浙江省宁波市九校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024-2025学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列求导正确的(    ) A. B. C. D. 2.直线的倾斜角的度数为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数在处有极大值，则a的值为(    ) A. B. 1 C. 3 D. 1或3 4.已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是(    ) A. B. C. D. 5.已知正项数列的前n项积为，满足，则时的n的最小值为(    ) A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 6.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点作垂直于x轴的直线交双曲线M于P，Q两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的周长是(    ) A. B. C. D. 7.在如图所示的试验装置中，正方形框 ABCD的边长为2，长方形框 ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线AC和BF上移动，且始终保持，则MN的长度最小时的取值为(    ) A. B. C. D. 8.已知，方程有实数根，则的最小值为(    ) A. B. C. D. e 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，，则下列选项中正确的是(    ) A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于x的方程有2个不同的根当且仅当 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，下列命题正确的是(    ) A. 若椭圆C上存在一点P使，则椭圆离心率的取值范围是 B. 若椭圆C上存在四个点P使得，则C的离心率的取值范围是 C. 若椭圆C上恰有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是 D. 若任意以椭圆C的上顶点为圆心的圆与椭圆C至多3个公共点，则椭圆C的离心率的取值范围是 11.已知定义域为上的函数满足，且，记，则下列选项中正确的有(    ) A. B. 当时， C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知和分别是等差数列与等比数列的前n项和，且，，，则          . 13.已知底面重合的两个正四面体OABC和ODBC， G为的重心，记，，，则向量用向量，，表示为          . 14.已知函数，对任意，恒成立，则实数a的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在平面直角坐标系xOy中，圆心为的圆C与y轴相切，动直线l过点 当时，直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程; 圆C上存在点M满足，求实数m的取值范围. 16.本小题15分 已知数列的前n项和满足，，令 证明：数列为等比数列; 求数列的前n项和 17.本小题15分 如图五面体ABCDE中，四边形 ABDE是菱形，是以角A为顶角的等腰直角三角形，点M为棱AB的中点，点N为棱CD的中点 求证：平面MCE 若点E在平面ABC的射影恰好是棱BC的中点，点 P是线段ME上的一点且满足，求平面BNP与平面ABC所成角的余弦值. 18.本小题17分 已知F是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为 求抛物线C的方程; 过动点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，，直线PF与抛物线交于M，在第一象限 ①求证：点P在定直线上; ②记，的面积分别为，，当时，求点P的坐标. 19.本小题17分 对定义在数集D上的可导函数，若数列满足，其中为的导函数，则称为在D上的“牛顿列”. 若为的“牛顿列”，，求的通项公式; 若为的“牛顿列”，其中，，求证：， 若为的“牛顿列”，求证：且，，其中r为的唯一零点. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】本题考查导数的运算法则的应用，是基础题． 直接利用导数的运算法则求解判断即可． 【解答】解：对于 ，故A错误； 对于 ，故B错误； 对于，故C错误； 对于，故D正确. 故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【解答】 解：将直线化为斜截式方程为，斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又， 所以 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的极值与其导函数的关系，属于中档题. 先对函数进行求导，然后根据，再根据函数的单调性进行检验即可确定最后答案. 【解答】 解：求导函数，可得， 函数在处有极大值， ，即，即， 解得或， 当时，，由得或，函数单调递增，由得，函数单调递减，所以在处取得极小值，不合题意，舍去； 当时，，由得或，函数单调递增，由得，函数单调递减，所以在处取得极大值，符合题意， 故 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题. 利用空间向量基底的定义即可判断. 【解答】解：因为 ， ， ， 所以向量 ， ， 均与向量 共面，不能构成基底， 而 与向量 不共面，可以构成基底， 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等差数列的判定，通项公式，属于中档题. 由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项，进而得到的通项， 再由，即可求得正整数n的最小值. 【解答】 解：为正项数列的前n项积，， 当时，，， 时，，又， ，即， 是首项为3，公差为2的等差数列，且 由，得， 若，则，， 所以正整数n的最小值为2025， 故选 6.【答案】C  【解析】本题考查双曲线的概念与几何性质，属于中档题. 首先根据双曲线的概念与几何性质，分别求出，和，设三个内切圆半径分别为，利用面积法求出它们的值，计算的三边长，即可求出其周长. 解：如图所示：依题意，，， 所以， 设，，的内切圆的半径分别为， 在中，由面积法可知：，所以， 在等腰三角形中，内心在线段上， 由面积法可知：，所以， 设与x轴交于点E，则， 所以， 所以的周长为 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二面角，考查二次函数的最值，属于较难题. 延长AN交EF于点G，作，垂足为H，可证明，为二面角的平面角为，得，根据二次函数的性质即可求解. 【解答】解：延长AN交EF于点G，作，垂足为H， 易证 又因为， 所以， 所以∽，则，所以 因为，， 所以为二面角的平面角为， 计算得， 另外∽，所以， 化简得，， 且， 因为，，，平面BCH，平面BCH， 所以平面BCH， 又平面BCH， 所以平面BCH， 又平面BCH，所以， 又，平面ABEF，平面ABEF，， 所以平面ABEF， 又平面ABEF， 所以， 所以， 所以 ， 所以时，MN最小. 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查点到直线的距离，利用导数研究函数的最值，属于较难题. 因为方程有实根，把实根看成一个常数，而为变量，从而将关于x的方程转化为关于的方程，因为的几何意义为点到原点O的距离的平方，点P的坐标为，点P在直线上，求点到直线的距离的平方即的最小值. 【解答】 解：设方程的实根为，则， 即， 设点，则点P在直线上， 设点到直线的距离为d， 则，， 设，可知在单调递减， 设 当，，在上单调递增， 设，则在上单调递增，又，， 所以当且仅当时，，即，垂线段最短 所以， 当时取等号，所以的最小值为 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查导数的应用，考查导数的几何意义和函数与方程，属于一般题. 利用导数求出单调性和极值，作出图像，然后对选项逐个判断即可. 【解答】 解：因为函数，，则， 令，即，解得或舍， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 则时，函数有极小值即最小值，即， 可得函数的大致图像，如图所示， 对于A、函数在区间递减，在递增，故A错误； 对于B、又，则函数在的值域为，故B正确； 对于C、，，则函数在点处的切线方程为，即，故C正确 对于D、关于x的方程有2个不同的根，则和的图像有两个不同的交点， 由图像可知，，故D错误 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率，圆与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形，属于难题. 对于A，由余弦定理及椭圆的定义即可判断； 对于B，由以原点为圆心，为直径的圆与椭圆有四个交点，即可得到不等式，从而求出离心率的取值范围； 对于C，根据两种形式的等腰三角形，即可得到不等关系，从而求出离心率的取值范围； 对于D，先求出圆与椭圆有四个交点时所满足的条件，从而求出圆与椭圆C至多3个公共点时，离心率的取值范围. 【解答】 解：对于A，设，， ，则， ， ，当且仅当时，等号成立， ，， ，椭圆离心率的取值范围是 故A正确； 对于B，椭圆C上存在四个点P使得， 则以原点为圆心，为直径的圆与椭圆有四个交点， ，， ，， ，即离心率的取值范围是， 故B不正确； 对于C，①当点P与短轴的顶点重合时， 构成以为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰 ②当构成以为一腰的等腰三角形时， 根据椭圆的对称性， 只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足为等腰三角形即可， 则或， 当时，则有是椭圆的上顶点， ，，即， ； 当时，则有，是椭圆的右顶点， ，， 综上所述，椭圆的离心率取值范围是， 故C正确； 对于D，假设圆与椭圆的公共点有4个，设椭圆的上顶点为A， 由对称性可知仅有两个交点M，N在y轴左侧的椭圆上， 满足， 由，得2， ， 记直线AM，AN的斜率分别为，，且，，， 则，， ， ， ，，，， ， 上式关于，的方程有解，， ，， ，， 即以椭圆C的上顶点为圆心的圆与椭圆C有4个公共点， 则， 若以椭圆C的上顶点为圆心的圆与椭圆C至多3个公共点，则0， 故D正确， 故选 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查数列与不等式，考查裂项相消法求和，考查抽象函数的性质，属于难题. 在中，令求出，令，再取倒数可得，即，根据等差数列的通项公式求出，再逐项分析即可. 【解答】 解：在中， 令，得， 故，解得 在中，令，得， 取倒数得， 令，得 因为， 所以，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列， 所以 因为，所以 对于A，， 所以 ， 故A正确； 对于B，当时， ，故B正确; 对于C，， ， 时，， ， 所以，故C错误； 对于D， ， 所以 ， 故D正确. 12.【答案】9或18  【解析】【分析】 本题考查等差、等比数列的综合应用，属于基础题. 求出公差和公比，由等差数列的求和公式即可求解. 【解答】 解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，，， 得，解得或 则或 13.【答案】  【解析】解：设点A在平面OBC的投影为H， 则 故， 所以 因为G为的重心， 所以 ， 所以 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究恒成立与存在性问题，以及两个函数互为反函数的性质，属于拔高题. 根据已知对式子进行变形，再利用两个函数互为反函数的性质以及导数，研究函数的单调性以及最值进行求解. 【解答】 解：函数，对任意，恒成立，， 所以 ，即 对任意的正实数x恒成立， 因为函数 与函数 互为反函数，且 ， 所以 对任意的正实数x恒成立，即 ， 令 ，则 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 ，所以 ，结合， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： . 15.【答案】解：当时，圆心C为，圆C的方程， 则圆心C到直线l的距离为， 若直线l的斜率不存在时，则，此时直线l与圆C相切，不符合题意， 若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为即， 则，得，解得或， 所以直线l的方程为或 记圆C的半径为r，则，设， 由得，化简得：，即， 所以M的轨迹为圆，记圆心为，半径为， 圆C上存在点M满足，即圆C和圆有公共点， ， 因为，则， 实数m的取值范围为  【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题。 由题意可求得圆心C到直线l的距离为，再讨论直线l的斜率是否存在，利用点到直线的距离公式计算求解即可； 由题M的轨迹为圆，记圆心为，半径为，再利用圆与圆有公共点，计算即可求解. 16.【答案】解：当时，， ， ，， ， ，， 当时，， 是等比数列； 由有是等比数列，且公比为2，首项为， ， ，即， 则， 记， ， 两式相减得，， ， 数列的前项和为  【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，构造新数列，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 直接利用数列的递推关系式的应用和构造新数列的应用求出数列为等比数列； 利用的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法和分组法的应用求出数列的和． 17.【答案】解：证明：取ED的中点F，连接FN，FB，如图所示， 是CD的中点，，而平面MCE，平面MCE，平面MCE，  菱形ABDE，且，M，F分别是AB，ED的中点， 且BM， 四边形MBFE是平行四边形， ，而平面MCE，平面MCE，平面MCE， 又，BF、平面BNF， 平面平面MCE，而平面BNF， 平面 因为点E在平面ABC的射影恰好是棱BC的中点， 所以取BC的中点O，连接EO，AO，则平面ABC， 因为是以角A为顶角的等腰直角三角形，所以 故以O点为坐标原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，              根据，所以，可设， 则，，，，， ， 所以，， ， ，， 平面ABC的法向量为， 设平面BPN的法向量为， ，取 设平面BNP与平面ABC所成角，则，， 所以平面BNP与平面ABC所成角的余弦值为  【解析】本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，面面平行的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题。 取ED的中点F，证明平面平面MCE即可； 取BC的中点O，以O点为坐标原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的向量求法即可. 18.【答案】解：由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即， 故抛物线C的标准方程为； ①证明：设，，，， 则， 即，同理，， ，则直线AB的方程为，即 ，， ， 所以点P在定直线上. ②解：设，，由①有直线，直线， 联立，则，， ，则，， ， 因为M，A在第一象限，所以， ， 两式相乘，可得， ， ，， 或， 或，，， 故  【解析】本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于较难题. 抛物线中过焦点最短的弦长为通径，求解即可； ①直线AB的方程为，求解即可； ②设，，由①有直线，直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可. 19.【答案】解：，，则， 则为等差数列，公差为， 所以 ，，则，则，同号. 又，所以， 又，则 又假设存在，，则，这与矛盾! 所以，， 这样， 所以， ，，则，且在R上单调递增. 又，，则在R上有唯一零点r，故 这样，   【解析】本题考查了基本初等函数的导数公式，等差数列的通项公式，函数零点存在定理，数列与不等式，属于难题。 利用等差数列的通项公式即可 利用即可； 利用和不等式的放缩即可。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$