江西省2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

绝密★启用前： m江西省2024一2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 议卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范国：选择性必修第一册。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 :4考生必须保持答题卡的垫洁。考孩结来后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知随机变量x-N(80,2),且P(X≥120)=0.21，则P(40<X<80)=1的而 A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.79 2.若随机变量X-B(3,0.6),则DK= A.0.4 B.0.6 C.0.72 D.1.8 3.如图，在四面体0ABC中，D为BC的中点，3A花=2A⑦，且P为OG的中点，则O驴= W市行强性头划情首完(【 那关耳益”武到 419811月2 9'(81行。 ,习一第中城限土角习动为( Ai+若丽+若0c 瓶期为 c+i-证 D.20A-108+0c 3 4.直线希+场=1与圆子+=625的公共点个数为 A.0 B.1 C.2 D.无法判断 三已知双曲线C过点(3,6)，且与双曲线写-=1有相同的渐近线，则C的方程为 g方 高二数学第1页（共4页） 6.二项式(2+6)的展开式中有理项的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C:(x-4)2+(y-5)2=41-m有三条公切线，则m= A.5 B.16 C.32 D.36 8.在正方体ABCD-A,BC,D,中，空间中一动点P满足4(A店+而)=+A(0≤1,0≤≤1)， 则直线D,P与直线A,C,所成角正弦值的取值范围为 A2利 c停 传9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量A元=(2,0，-1)，C2=(0,1,1),则 A.IACI=5 B.C铜方向上的单位向量的坐标为列0，号哥 C.A花.ci=1 。成在正上的投影数量为 10记5=传-)meN则 A.若S的展开式中存在常数项，则n是7的倍数 B.若S的展开式中存在常数项，则n是6的倍数 C.若m是奇数，则第项一定是S的展开式中系数最大的项 2 D,若n是偶数，则第二+1项是S的展开式中二项式系数最大的项 山.已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文 的评定分为两个等级：合格，不合格评定为合格可以获得0,2学分，评定为不合格不能获得学 分：若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为号，若评定为合格，则下一次评定为合格的餐 率为号已知包括小明与小刚在内共a+1(。>2)名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活 动结束后，这n+1名同学排队依次提交研学论文，则 么若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得04学分的概率为号 且者小第一次评定为合格，则小刷第三次评定为合格的概率为号 C,若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文则有(a-2)·(a-1)川 种提交顺序 D.若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有(n-1)·a!种提交 顺序 高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线4：r-y-2025=0,4:(3a-2)x+a时+1=0(a0)满足4⊥42，则a=_ 13,根据下表数据得到y关于x的线性回归方程方=2.2x-a,则a= 1234 1458 14,现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同 的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球4个白球2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中 一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法：若2个红球之间恰好有白球和 黑球各1个，则共有种不同的放法.（用数字作答，第一空2分，第二空3分） ， 四、解答题：本题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证 15.(13分)已知点A(1,0)是抛物线Cy=2pr(P>0)上一点，F为C的焦点，且AFl=2.M与 (1)求C的准线方程： （(2)若点A位于第一象限，求C在点A处的切线I的方程。 业州55石 10年0的 16.(15分)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m,n分别 为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离做型随机变量X=m-. (4)求P(X=0)和PX:1)的值；，度n体3 (2)求X的分布列和数学期望 国营礼么收中支并刘单2县长1+号富侧，理0互号0 文密过作实年形罗型一品过，表学棋样果只一是共到高某底写1 指边市积收示利，行上得山解什合以明品合汗，易合：世带个两共宝 示的的 17.(15分)如图，三棱锥P-ABC的棱BC上存在一点D,使得平面PAD⊥底面ABC,点E在棱AD 上，且PE⊥AD,PD⊥平面PAB. (1)证明：AB⊥平面PAD; (2)若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值. 11一)+任一.家空和维不业不明小电中在站写 空提华算·1一)许程，静男不的部的文个而交到的小师评个，中体名而为一上净0 高二数学第3页（共4页） 1退（分已知椭圆后+长-1(e>6>0)的左焦点为(-1,0），过F且斜率不为0的直线1交 E于A,B两点，过点A,B分别作1的垂线，交E于M,N两点.当I的斜率不存在时，四边形AMNB 的面积为6. 卷话学造三福 (1)求E的方程： (2)求4F的取值范围； 样运行R和行0以天，长6，卡去净为 (6)证明品-卧 那年度三 年一有有点能到4学 生草山生年积学名记标在手之州州54生保，身3 男世及千金的转品的共生千程好冰3计，易4内去，出司 春，奇：土子铁法有其第行相线利法老作科生以礼省年，西示子有单机， 19.(17分)对于样本空间中的随机事件A和随机事件B,定文：S.P(8A表示在事件A发生的条 P(BIA) 日件下事件B的发生强度，乙B表示在事件发生的条件下事件B的发生强度某著名生 P(BIA) 物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水"的关系，随机调查了某地区100位上 班族，统计数据如下表所示 患有配胖症不意有肥胖症合计 ù，书一1量头代活 经常喝 016 40 .中 不经常喝 18 52 50面阳步.新E 合计 100 (1)完善上述列联表并判新是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅 快乐水”之间有关联： SP(AIB)P(AIB) (2)证明：立PB`P(AB (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐 水”，利用调春的样本数据，估计的值 n(ad-be)? 附状=(a+b)G+a+e(6+d其中n=a++c+d PX≥k)0.1Q.050.010.0050.001 27063.8416.6357.87910.828 融件天国 状身衣的5域，逊0西用年=-远甲里.(0,8到A任)项取日之 高二数学第4页（共4页）江西省2024—2025学年第一学期期末考试 高二数学参考答案及评分细则 1.【答案】B 【解析】由X~N(80,2),得4=80.且120+40=24，故P(40<X<80)=P(80<X<120)=0.5-P(X≥120)= 0.5-0.21=0.29.故选B. 2.【答案】C 【解析】因为X~B(3,0.6),故DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.故选C. 3.【答案】A 【解析1由题意可得0亦-0+d)=2+3×号市+号×（证+函）=+名0成 i+右（成-0i)=名可i+名0+若0证故选A 4.【答案】C 【解折1由题意可得直线号+行=1，即4杯+3-120=0，设圆心到直线的距离为d,则4=一120=24<25，故 4+3 直线与圆相交，公共点个数为2.故选C. 5.【答案】D 【解析】双曲线C与双曲线号-子=1有相同的渐近线，则C的方程可设为号-广=A(A≠0)，将(3,6)代入方 程，利号-6=A与A=一3，所以G的方程为站-药-1放选D 6.【答案】B 【解析】二项式(2+v6)展开式的通项为T1=C2宁×6位=4C3亡，k=0,1,2,3,4.其中当k的值分别为0,2， 4时，T1为有理项，共有3项.故选B 7.【答案】C 【解析】由(x-1)2+(y-1)2=4得圆心C,(1,1),,=2,由(x-4)2+(y-5)2=41-m,得圆心C(4,5),2= √41-m.41-m>0,故m<41,因为C,与C2有三条公切线，即两圆相外切，所以C,C21=1+2,即 √(4-1)+(5-1)了=2+41-m,可得、√41-m=3,解得m=32,经检验32<41.故选C. 8【答案】B 【解析】不妨设该正方体的棱长为1，如图，以A为坐标原点，AB,AD,A4,所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角 坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),4,(0,0,1),C(1,1,1),D,(0,1,1),可得=(1,0,0)，4D=(0,1,0), 4=(0.0,1),由题可得币=4A正+aAi+,可得P(44,）,可得D,产=(4,4-1，-1)，A,C=(1,1,0), 使直线DP与直线AG所度的角为成0eD.,引则m0=1一（产G-忌 IDP.A.Cl 24-1 24-11 三2丝-一，当且仅当=1时等号成立，令t=24- 2×m+(u-1)+(p-1了2×、m+(4-1)了√(24-1)+1 高二数学第1页（共5页） 1e-i周reo,六春高琴理=n组 √(2μ-1)+3 仅当v=0时等号皮立，可得om0≥0，所以0≤0≤受，即0e?引，故所成角正弦值的取值范周为 [受小故选B 9.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【常折1因为1花=v240+(-,5故A正确：因为高-0之少-琴.哥引即洞方向上的单位 向量的坐标是0号放B正确花，函=(2.0-)，(0,1，)=-1，放C错误：由配 ACI 0-山.-20，-》-放D正确故选ABD. 5 10.【答案】AD(每选对1个得3分) 【解析】易得该二项式展开式的通项为T1=C·(x)·(-1)·(x5)-·=C:·(-1)·x,对于AB,若 存在常数项，则xr“是常数，即5n=7r,因为r,n为正整数，故n是7的倍数，故A正确，B错误：对于C,设n= 2+1(keN).则=k+1,第”项为C(-1)·,其系数为(-1八，不能确定正负，放C错 误：对于D,设n=2+2(keN).则号+1=+2，第号+1项为C(-1)·x"-,其二项式系数C:最 大，故D正确.故选AD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】对于A,若小明第一次评定为不合格，则小明获得04学分的（率为×号-号放A正确：对于B,设 事件A=“第i次评定为合格”，由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为P(A,》=P(A,A)P(A)+ P国)P石)=号×号+号×号-号放B正确：对于C,先排小明，有C种方式.再排小刚有C,种方 式，最后排其余所有人，有A种方式，则一共有C-C-A:=(n-1)(m-2)·(n-1)！种方式，故C错误： 对于D,无限制时，排序方式有(n+1)!种方式，小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其 余n-1人排序，有2·！种方式，所以一共有(m+1)！-2·!=(n-1)·!种方式，故D正确.故 选ABD. 12.【答案】1 【解析】由4112.得a(3n-2)-a=0,解得a=0(舍去)或a=1. 高二数学第2页（共5页） 13.【答案】1 【解析1=1+2+3+4. 4 =名458-号所以号=22x号-，解得a=1 4 14.【答案】17283840（第一空2分，第二空3分） 【解析】由题意可将把8个小球放人卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题，先排红球和黑球 共有A种方法，再排其中1个白球有C种方法，最后排剩余的3个白球有A足种方法，所以共有AC}=24× 3×24=1728种不同的放法，若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球、1个黑球放人2个红 球中间，有CCA种方法，2个红球的放法有A种，再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4 个小球进行全排列有A种，所以共有CCA号A号A=2×4×2×2×120=3840种不同的放法. 15.解：(1)因为抛物线C:y2=2x(p>0),A(1,o)为C上一点， 所以AF川=1+号=2，所以p=2,(3分) 可得C:2=4x,所以C的准线方程为x=-1,(5分) (2)因为点A(1,y)在C上，所以后=4， 又因为点A位于第一象限，所以。=2，故A(1,2),(7分) 易得切线1的斜率存在且不为0，故设1-2=x-1)(40),联立2=(-)《9分) ly'=4x. 可得2-4y+8-4=0,4=16-4k(8-4)=0,即2-2k+1=0,解得春=1，(12分) 所以切线1的方程为x-y+1=0.(13分) 【评分细则】 若第二问的最终答案写成其他形式不扣分。 16,解：(1)由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的点数中大的点数与小的点数的差，(1分) 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，(3分) 其中得到的点数中点数之差为0的可能情泥有6种，故PX=0》一名=右(5分)） 其中得到的点数中大的点数与小的点数的差为1的可能情况有10种，放P(X=1)一号是（7分) (2)由题意可得X的可能取值有0,1,2,3.4,5，(8分) 由)同理可得PX=2)=第号=3)=名-合 61 PX=4)-第-PX=5)-品-812分) 可得分布列如下： 0 1 2 3 4 5 2 (13分) 6 18 9 6 9 18 故=0x名+1×名+2 2 +3 135 +4 6 +5 1818(15分) 【评分细则】 第二问的概率计算正确一个得1分，最终的期望值计算正确得2分. 17.(1)证明：因为平面PAD⊥底面ABC,平面PADn平面ABC=AD,PE⊥AD,所以PE⊥平面ABC.(2分) 又ABC平面ABC,所以AB⊥PE,(3分) 高二数学第3页（共5页） 又因为PD⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以AB⊥PD.(5分) 又PE∩PD=P.PE,PDC平面PAD.所以AB⊥平面PAD.(6分) (2)解：由(I)知AB⊥平面PAD,ADC平面PAD,所以AB⊥AD, 以点A为坐标原点AB,AD所在直线分别为x,y轴，过点A垂直底面ABC的直线为：轴.建立如图所示的空间 直角坐标系。 因为PD⊥平面PAB,APC平面PAB,所以AP⊥PD.(8分) 又AP=PD,所以AD2=AP2+PD2=2AP2=4,得AP=2.(9分) 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(-1,30),P(0,1,1). 放D0=(0,-1,1),AP=(0.1,1),AC=(-1,3,0).(10分) 依题意，平面PAB的一个法向量为D=(0,-1,1).(11分) 设平面PAC的一个法向量为n=(a,b,c), 则n0即+0。取6=1，则n=3.-B分) MC.n=0,1-a+36=0, 设平面PAB与平面PAC的夹角为0， 所以（币，m）=nX后2，(4分） 2 因此平面PB与平面P4C夹角的余弦值为朵（15分) 【评分细则】 使用空间向量法没有在图中建系的扣1分. 18.(1)解：由题意可得a2-b2=2-1,①(1分) 且当1的斜率不存在时，不纺设4-1.号)，叫-1，-。 所以A12公.由题意易得2×2公=6,2(2分 联立①②解得 2=44分） 62=3, 故E的方程为后，苦=(5分 2)解：设1则=++-属+P+3-子.5，(？分) 又因为点A在E上，且1的斜率不为0，则x∈(-2,2)，故AF∈(1,3).(9分) （6)E明：设风...由2)可得，要E品-即若共20分) 设直线AM和NB的斜率为k,则AM的方程为y=(x一x,)+y1: 得3x2+42(x-x,)2+8y,(x-x1)+4-12=0,(11分) y=(x-x）+y1 高二数学第4页（共5页） 即(3+4k2).2+8k(y1-x1)x+(4k-3)x2-8xy=0, 放5-4状-38，放与=4：3-8 3+4k2 3+462 同理可得= 4-3)x-86,(13分) 3+4k2 代人院授 4x 4+x 并整理得16+12+4-3石-8h,16+12+4-3-8g14分) 当1的斜率存在时的方程为y=-之x+).故万=一名+》=一名+1， 4+1 4+x3 代入其中.得16+20+4+5元16k+20+4#+5压(15分) 显然左右两式均等于心+5放品-（6分) 当！的斜率不存在即k=0时，等式显然成立， 综上.品=证（分 【评分细则】 1,第二问的范围写为闭区间扣2分： 2.第二问用二级结论得到a-c<AF|<a+c,扣2分： 3.第三问如用其他方法证明，过程只要合理即酌情给分。 19.(1)解：完善列联表如下 患有肥胖症 不患有肥胖症合计 经常周 16 32 48 (2分) 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 根据列联表数据可得7.10×34×32：16×18.0-10.256>7.879.（5分 50×50×48×52 39 所以有9.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水“有关联.(7分) a正别油兴器兴需骨·品··得兴8：品分 8恩骨·品需品：品分剂 左，右两边民开相明故受-份·用证分 （3)解：由样本数据可得PA1B)=号P(A1品又Pr1)=子，Pr八1)云(6分 做2兴8需-品m分剂 【评分细则】 1第一问若式子列对，结果算错整问可给到4分： 2.第二问的证明若使用其他方法，如果证明过程严谨合理也酌情给分. 高二数学第5页（共5页）