精品解析：陕西省西安市阎良区2024-2025学年上学期九年级数学期末质量检测试题

阎良区2024～2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 圆心角是，半径为的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 4. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和点关于原点对称，则的值为（） A. 1 B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 7. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 （非选择题，共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 事件“若a是实数，则”属于__________事件．（填“随机”或“必然”） 10. 若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是________（写出一个即可）． 11. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°． 12. 将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为_____． 13. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 一个不透明的盒子中装有蓝色幸运星和红色幸运星共68颗，这些幸运星除颜色不同外其他都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回摇匀，通过大量重复试验后发现摸到红色幸运星的频率稳定在，请估计盒子中红色幸运星的颗数． 16. 已知二次函数（m为常数），求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点． 17. 如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点逆时针旋转得到，点，，的对应点分别为点，，，请画出． 19. 某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．假设这两名同学选择哪种书籍不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等． （1）乙同学随机选取一种，恰好选中B：文学类的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 20. 如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 21. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 22. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交于N，求线段的最大值． 23. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F． （1）若，，求线段的长； （2）求证：． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 26. 【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阎良区2024～2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称的定义．把一个图形绕着某一点旋转能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形，这个点是对称中心，据此，逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 圆心角是，半径为的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长公式（是扇形的圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：， ∴弧长， 故选：B ． 3. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 4. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板， ∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：， 故选：D． 5. 已知点和点关于原点对称，则的值为（） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标、代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：C． 7. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 第二部分 （非选择题，共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 事件“若a是实数，则”属于__________事件．（填“随机”或“必然”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键． 一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：∵绝对值总是非负的，即， 当，即 a 是非零实数，那么 总是成立． 当，那么 ，此时不成立． ∴当a是实数时，并不总是成立， ∴若a是实数，则”属于随机事件， 故答案为：随机． 10. 若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一， 【详解】一元二次方程有整数根， 则整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 11. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移以及二次函数的性质，设经过平移后新抛物线的解析式为，配方为顶点式，得出最小值为，结合题意，即可求解． 【详解】解：设经过平移后新抛物线的解析式为， ∵ 抛物线开口向上，最小值为 ∵新抛物线的最小值为1， ∴ 解得： 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，如图， ，， ， 由旋转可知，， ，即， 在和中， ， ， ， 当最短时，最小， 垂线段最短， 当点与点重合时，最短，即为的长， ，，， ， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键； 方程整理后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 15. 一个不透明的盒子中装有蓝色幸运星和红色幸运星共68颗，这些幸运星除颜色不同外其他都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回摇匀，通过大量重复试验后发现摸到红色幸运星的频率稳定在，请估计盒子中红色幸运星的颗数． 【答案】17颗 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用总数乘以频率即可得出答案． 【详解】解：（颗）， 答：估计盒子中红色幸运星的颗数为17颗． 16. 已知二次函数（m为常数），求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点． 【答案】证明：∵， ∴二次函数的图象与x轴总有两个公共点． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此证明二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】略 17. 如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，掌握圆的特征是解题的关键．作的垂直平分线交于O，再以O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点逆时针旋转得到，点，，的对应点分别为点，，，请画出． 【答案】如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，解题的关键是数形结合．利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点，，，再依次连接可得到； 【详解】略 19. 某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．假设这两名同学选择哪种书籍不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等． （1）乙同学随机选取一种，恰好选中B：文学类的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确得到所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果，从中找到满足条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：乙同学从四类书籍中随机选择一种，恰好选中B：文学类的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 乙同学 甲同学 B C D E A B C 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 所以甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 20. 如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为， 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，即可表示出矩形面积，求出即可． 【详解】解：设，则； 根据题意列方程的， ， 解得，； 当，， 当，，而墙长，不合题意舍去． 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，． 21. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得所对的弦长为．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接，测得．求这个盏口半径的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盏口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盏口半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盏口半径OB的长为． 22. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交于N，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求解． （2）先求得直线的解析式，然后根据与y轴的平行可设点，，则，依据二次函数的性质即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：将代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令得，， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入得 ， ∴． 直线的解析式为：． 因平行于y轴，且点N在直线上，点M在抛物线上， 故设点，， ， 当时，的值最大， 最大值为：． 23. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F． （1）若，，求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质及勾股定理求出和的长，由旋转的性质得出，由勾股定理可得出答案； （2）由旋转的性质得出，证出，则可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的切线． ， ， ， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 25. 某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 【答案】（1） （2） 能通过该拱门， 理由：设，则， ，， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门的． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中得应用，要吃透题意，建立函数模型，结合实际得出结果． （1）由题意可得，抛物线过点和，根据待定系数法即可求出结果． （2）设，则，根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线过点和， 把上述两点坐标代入函数表达式得：， 解得：， 函数表达式为：． 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】（1）如图1，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，与相交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】（2）如图2，某公园有一圆形水池，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为100元，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【答案】（1）4；（2）元 【解析】 【分析】（1）由知，当最小时， 最大，求出此时的，即可求解； （2）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答； 本题考查了垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，过点M作交于点，交于， ∵，是半径，为定值， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当时，最小，此时最大， 即当点P运动到时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4． （2）如图2，连接，连接并延长交于点，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴的面积为定值，且， ∴当点C到距离最大时，的面积最大，即此时四边形的面积最大， ∴当经过圆心O（点C在的位置）时，四边形的面积最大， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴修建和两座小桥的总成本为：（元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $