数学（新高考Ⅰ卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， ，则， 所以． 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，, 所以, 故选：C 3．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即， 所以． 故选：D． 6．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列不等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，因为，， 令，， 令 令令， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 又，， 的时，取最小值，所以B正确； 对于C，，因为，所以在上最小值为，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 10．设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD． 11．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（   ）（参考数据：）    A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C．若，点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【详解】已知原点在上，则，设为上任意一点， 则有，整理得． 若，则的方程为，故A正确； 若，则，代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误； 若，点在上，有， 整理得，所以，故C正确； 因为，，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即，所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程为关键. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是 . 【答案】（或） 【详解】直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为， 对函数求导得，令，解得或（舍去）， 所以切点的坐标为. 故直线的方程为，即 故答案为：（或）. 13．在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ． 【答案】 【详解】    分别取的中点，则平面，且外接球球心在直线上，由题意，． 设， 若球心在线段上，则，得； 若球心不在线段上，则，无正数解． 所以外接球体积为． 故答案为： 14．小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， . 【答案】 【详解】的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 的分布列为： 1 4 9 16 25 同理：，故：， 当时，的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 当时，的分布列为： 15 所以， 当时：的分布列为： 3 4 5 6 7 8 9 ， 当时：的分布列为： 6 7 8 9 10 11 12 ， 当时：的分布列为： 10 11 12 13 14 ， 所以：. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． (1)求证：平面． (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题可求得，且， 则，可知， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则． 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以二面角的大小为． 16．已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】(1)，； (2)2080 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故. 17．甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立. (1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率； (2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件， 则，． 设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件： ① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为， ②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为， ③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为． 则由互斥事件的概率加法公式，可得． （2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， （提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次； ②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进） ， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由已知得C的焦点为，即，所以.①     因为，由抛物线的定义可得，所以. 代入E的方程可得.②     由①②解得，，所以E的方程为. （2）设，，，. （ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为. 联立整理得，则， 所以.     联立整理得， 则，， 所以.     所以.   （ⅱ）由题意知，， 设，且直线AB的方程为. 联立整理得，显然， 则，，     所以，，，     ，     又，即， 所以为和的等差中项. 19．若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； (3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）函数是函数在区间上的1级控制数． 理由如下：因为，且，所以， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的级控制函数， 得，又，由指数函数性质得在上单调递增， 所以，即恒成立． 令，所以当，且时，恒成立， 故在上恒成立．因为，所以在上恒成立， 则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增， 故，则，由题意得，所以， 综上，可以得到实数的取值范围是． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以， 即， 可以得到． 要证，即证， 即证，即证， 令，构造， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即时，， 即成立，所以得证． 试卷第16页，共17页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列不等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 11．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（   ）（参考数据：）    A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C．若，点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是 . 13．在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ． 14．小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． (1)求证：平面． (2)求二面角的大小． 16．（15分） 已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 17．（15分） 甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立. (1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率； (2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望. 18．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 19．（17分） 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； (3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列不等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 11．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（   ）（参考数据：）    A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C．若，点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是 . 13．在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ． 14．小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． (1)求证：平面． (2)求二面角的大小． 16．（15分） 已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 17．（15分） 甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立. (1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率； (2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望. 18．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 19．（17分） 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； (3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A C D D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（或） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题可求得，且， 则，可知， 2分 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 5分 （2）取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 7分 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则． 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得；…..………..………..………..…….… .……9分 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得，…..…….…….…….…….… .……11分 则， 所以二面角的大小为．…..…….…….…….…….…….…….…….… .……13分 16．（15分） 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 2分 故； 3分 ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 5分 又，故，满足， 6分 从而； 7分 （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 10分 当时，， 当时，， 12分 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 13分 故.….…….…….…….… .……15分 17．（15分） 【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件， 则，． 设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件： ① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为， 2分 ②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为， 4分 ③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为． 6分 则由互斥事件的概率加法公式，可得． 7分 （2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3， 8分 ， 9分 ， 10分 （提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次； ②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进） ， 12分 ． 13分 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 15分 18．（17分） 【详解】（1）由已知得C的焦点为，即，所以.①     1分 因为，由抛物线的定义可得，所以. 代入E的方程可得.②     3分 由①②解得，，所以E的方程为. 5分 （2）设，，，. （ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为. 联立整理得，则， 所以.     联立整理得， 则，， 8分 所以.     所以.   11分 （ⅱ）由题意知，， 设，且直线AB的方程为. 联立整理得，显然， 则，，     所以，，，     14分 ，     又，即， 所以为和的等差中项. 17分 19．（17分） 【详解】（1）函数是函数在区间上的1级控制数． 1分 理由如下：因为，且，所以， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数． 4分 （2）由函数是函数在区间上的级控制函数， 得，又，由指数函数性质得在上单调递增， 所以，即恒成立． 6分 令，所以当，且时，恒成立， 7分 故在上恒成立．因为，所以在上恒成立， 则恒成立，即 9分 由指数函数性质在上单调递增， 故，则，由题意得，所以， 综上，可以得到实数的取值范围是． 11分 （3）因为函数在区间上存在两个零点， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以， 13分 即， 可以得到． 要证，即证， 即证，即证， 15分 令，构造， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即时，， 即成立，所以得证． 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [ D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ___ _________________ ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$