精品解析：河北省沧州市献县河2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年第一学期九年级期末学情质量评估 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，分别在的边，上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点，，下列说法：①，②，③，④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，在其内部放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______． 14. 若二次函数的图象沿轴向左平移（）个单位长度后经过坐标原点，则_____． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，于点D，． （1）求的长； （2）求的面积． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出取何值时，． 19. 如图，在中，D是边上一点，且， （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 20. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） （1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； （2）求教学楼的高度． 21. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理），B（信息技术），C（酒店管理），D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为______； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 22. 汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．“刹车距离”与刹车时速度有以下关系式：（a，b为常数，且）．某车辆测试结果如下． 速度 10 15 刹车距离 3 7.5 （1）求y与x之间的函数解析式． （2）某次刹车时的速度为，与前方静止障碍物的距离为，问此次刹车后是否会发生撞，请通过计算说明理由． 23. 如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 24. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期九年级期末学情质量评估 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 3. 一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，共有12个球， ∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为． 故选：C． 4. 如图，点，分别在的边，上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了补充条件使两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用相似三角形的判定方法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故选项不符合题意； B、添加时，仍无法判断与相似， 故选项符合题意； C、∵， ∴，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵，， ∴， 故选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识点，解答本题的关键是熟知圆周角定理的相关知识． 先根据对顶角得出，再由三角形内角和定理结合可知，再根据圆周角定理，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， 又， ， 故选：D． 6. 如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出，进而求出，通过解即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 由旋转得， ∴， 解得：． 故选：C． 7. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最大值为， 故选A． 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定和性质．首先根据，可得，根据相似三角形对应边成比例可得，所以可得，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可求的长度． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ．   故选： A． 10. 如图，在中，，于点，，下列说法：①，②，③，④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握相关结论是解题关键．证，即可判断①；设，则，可推出，求得 ，，即可判断②；由②得：，即可判断③；由②得：，即可判断④； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 设，则， ∴，解得， ∴，， ∴，故②正确； 由②得：，故③正确； 由②得：，故④错误； 故选：C 11. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 12. 如图，在中，，在其内部放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是找到相似三角形，用含的式子表达对应边．根据题意可推出，得到，即，即可求解． 【详解】解：， ，，，， ，， ， 又， ， ，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故选：A． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 14. 若二次函数的图象沿轴向左平移（）个单位长度后经过坐标原点，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，确定新的抛物线的解析式，再根据新的抛物线过原点，代入，求解即可． 【详解】解：沿轴向左平移（）个单位长度得到：， ∵新的抛物线过原点， ∴， ∴或（舍去）； 故答案为：3． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，由勾股定理可得，进而求得，利用特殊角的三角函数值可得，再根据“阴影部分的面积”，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，矩形的性质，勾股定理，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，求扇形面积，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，于点D，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）432 【解析】 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键． （1）根据正切的定义求解即可得； （2）先利用勾股定理可求出的长，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出取何值时，． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求反比例函数解析式，数形结合是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，求出，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）先根据点B的纵坐标是，求出，由，，结合函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ． 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， 由图象得：当或时，． 19. 如图，在中，D是边上一点，且， （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）27 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴的面积． 20. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） （1）无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； （2）求教学楼的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用， （1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出； （2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， ∵ ∴在中， ∴ ∴ ∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为； 【小问2详解】 解：在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 21. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理），B（信息技术），C（酒店管理），D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为______； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）100；补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，列表法或画树状图法求概率： （1）用C（酒店管理）专业的人数除以所占百分比，可求出被调查的学生总人数，再求出B（信息技术）专业的人数，补全条形统计图即可； （2）用A（旅游管理）专业的人数占比求解即可； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即本次被调查的学生有100人， B（信息技术）专业的人数为人， 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共2种， 恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 22. 汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．“刹车距离”与刹车时速度有以下关系式：（a，b为常数，且）．某车辆测试结果如下． 速度 10 15 刹车距离 3 7.5 （1）求y与x之间的函数解析式． （2）某次刹车时的速度为，与前方静止障碍物的距离为，问此次刹车后是否会发生撞，请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）此次刹车后不会发生撞， 理由如下： 由（1）得， 当时，由 ∴此次刹车后不会发生撞． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解a、b值即可； （2）先根据函数关系式求得刹车距离，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得，， y与x之间的函数解析式为：； 【小问2详解】 略 23. 如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵与相切于C， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质等知识． （1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，再根据推出，即，即可证明结论； （2）由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长，即可得到半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ， ∴半径的长为． 24. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，则，四边形是矩形，根据，表示出，进而求得的长，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，进而根据得出纵坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得， 解得： ∴； 【小问2详解】 当时， 解得： ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵P为抛物线第三象限上的一个动点，设点P的横坐标为t， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则，四边形是矩形， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴， 即 ∵四边形是矩形，，当时，则 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $