微专题突破练25：抽象函数与嵌套函数-2025届高三数学二轮复习

微专题25抽象函数与嵌套函数 一、单选题 1.(2024重庆调研)已知定义在R上的函数x)满足3)=一2,且h(x)=一x2+f (3x)为奇函数,则一3)=() [A14 [B】-2 [C10 [D]2 2.(2024常州检测)函数x)的定义域为R,且1十x)=一1一x),2十x)=2一x), 则x)是( ) [A」偶函数,又是周期函数 [B」偶函数,但不是周期函数 [C]奇函数,又是周期函数 [D]奇函数,但不是周期函数 3.(2024 商洛联考)若定义域为R的函数x)满足x十2)为偶函数,且对任意, x2∈[2,十∞),x1≠x2,均有f(x2)一f(x1)x2一x1>0,则关于x的不等式f x)7)的解集为() IA1(-3,7) [B1(0,7) [C1(-3,5) [D1(-1,5) 4.(2024洛阳二模)已知fx)是定义在R上的奇函数,若f1as4 alcol(x+f32)为 偶函数且1)=2,则2022)+2023)+2024)=() [AJ-2 [B]0 [c12 [D]4 5.已知x)是R上的奇函数,1十x)=1一x),当龙,x2∈[0,1],且≠x为时,f (x1)一f(x2)x1一x2>0,则当一3≤x≤1时,不等式yx)>0的解集为() A[-1,0)U(0,1] [B1[-3,-2)U(0,1] [c](-2,-1)U(0,1] D](-2,0)U(0,1] 6.(2024青岛模拟)x∈R,x)+x+3)=1一x/x+3),-1)=0,则f2024)的 值是() [A12 [B]1 [C10 [D]-1 7.(2024 吕梁模拟)已知函数x)满足十)十x一)=23x),1)=32,则下 列结论不正确的是() [A10)=3 [B1函数2x一1)关于直线x=12对称 [C]fx)+f0)≥0 [D]x)的周期为3 8.(2024漳州模拟)已知函数x)=nx一f1x一x+1+1,x≤0,则函数g(x)=f ()一1)的零点个数为() [AJ3 [B]5 [c16 [D]8 二、多选题 9.(2024安庆二模)已知定义在R上的函数x),满足对任意的实数x,y,均有f (x十y)=x)+y)一1,且当x>0时,x)1,则() [A10)=1 [B1f1)+-1)=1 [C]函数x)为减函数 [D]函数y=x)的图象关于点(0,I)对称 10.(2024济南质检)已知函数x)的定义域为R,且x+y)=x)+y)+1,1)=0, 则( IA10)=-1 [B]x)有最小值 Ic12024)=2023 [D]x)十1是奇函数 11.已知函数fx)=x2ex,x<1,ex2),x之1,方程[/x)]P-2aw)=0(a∈R)有两个不 等实根,则下列说法正确的是( ) [A点(0,O)是函数x)的零点 [B]3x1∈(0,1),x2∈(1,3),使f)Pfx2) [C]x=一2是x)的极大值点 ID]a的取值范围是alvs4 alcol(Cf2e28)Ufe2),+oo) 三、填空题 12.(2024淄博模拟)已知定义在R上的函数x),f(x)为x)的导函数,f(x)定义域 也是R,x)满足x+1012)-1013一x)=4x+1,则∑2024:=f()= 13.(2024 重庆诊断)已知定义域为(0,+∞)的减函数x)满足y)=x)十y),且 2)=-1,则不等式x+2)+x+4)>一3的解集为 14.函数r)=lals4alco10f1e川x+1,若g(x)=2f(x)-(2a+3)x)+3a有4个零 点,则a的取值范围是 参考答案 1.A[因为h(x)=-x2+3x)是奇函数, 所以1(-1)+h1)=0, 即-1+-3)-1+f3)=0, 又3)=一2,所以一3)=4.故选A] 2.A[法一因为1十x)=-1-x), 所以x+2)=一1一(x+1]=一-x) 因为2十x)=2一x), 所以2一x)=一机一x), 即2十x)=一x), 所以fx十4)=一x+2)=x), 所以x)是以4为周期的周期函数, 则x十2)=x一2) 因为2十x)=2一x), 所以x一2)=2一x), 所以x)=一x),x)是偶函数.故选A 法二因为1十x)=一1一x) 所以x)的图象关于(1,0)中心对称, 因为2+x)=2一x) 所以x)的图象关于直线x=2对称, 所以x)是以4为周期的周期函数, 则x十2)=x-2) 又2+x)=2-x),所以x一2)=2-x), 所以x)的图象关于y轴对称,x)是偶函数.故选A] 3.A(x十2)为偶函数,图象关于y轴对称,所以x)的图象关于直线x=2对称. 依题意可知,x)在[2,十∞)上单调递增, 则在(一∞,2)上单调递减 由于w)7),所以x-2<7-2, 即一5<x一2<5,解得一3<x7, 所以不等式x)7的解集为(一3,7)] 4.D[因为x)是定义在R上的奇函数, 所以一x)=一x),且0)=0. 又fias4 alco.1(x+f32)为偶函数, falvs4alcol(-x+f32))=falvs4\allcol(x+f32)), 则x+3)=一x),则x十3)=一x), 则x十6)=一x+3)=x) 所以x)是以6为周期的周期函数, 由1)=2,得2)=1)=2, 2022)=6 337)=0)=0, 2023)=6 337+1)=1)=2, 2024)=6 337+2)=2)=2, 所以2022)+2023)+2024)=4.故选D.] 5.D[因为fx)是R上的奇函数,1十x) =1一x), 所以函数的图象关于原点对称且关于x=1对称, 当,x2∈[0,1],且x1≠2时, f(x1)-f(x2)x1-x2>0, 即函数在0,1]上单调递增,2)=0)=(一2)=0,其大致图象如图所示, 则当-3≤x≤1时,不等式x)0可转化为x>0,f(x)>0)或x<0,f(x)<0,) 即x>0,0x≤1)或x<0,-2<x<0,) 即0<x≤1或一2<<0.故本题选D] 6.B[由题意知x∈R,x)+十3)=1一xx十3),-1)=0, 令x=一1,则-1)+2)=1一-12),∴.2)=1 显然x)=一1时,一1十x十3)=1十x十3)不成立,故x)≠一1, 故fx+3)=1-f(x)1+f(x), 则fx+6)=1-f(x)1+f(x)1-f(x)1+f(x)=fx), 即6为函数)的周期, 则2024)=f337 6+2)=2)=1,故选B.] 7.D[法一令x=1,y=0, 则21)=231)0),解得0)=3,A正确: 令x=0,则y)+-y)=230)y)=2y),所以y)=一y),即x)是偶函数, 所以函数2x一1)关于直线x=12对称,B正确: 令y=x,则2x)十0)=23(x)≥0,令t=2x,则)十0)≥0,所以x)十0)≥0, C正确; 令y=1,则x+1)十x-1)=x),① 所以x+2)+x)=x+1),② ①②联立得x+2)=一x-1), 所以fx十3)=一x),十6)=一x+3)=fx),即x)的周期为6,D错误. 法二构造函数x)=3cos 3x,满足1)=32,且x十y)十fx一y)=3cos 3(x十 y)+3cos 3x-y)=6cos 3xcos 3y =23x)y),0)=3cos0=3,A正确: f2x-1)=3cos 3(2x-1) =3 cos alvs44 alcol(f2m 3)=3cosf2 rc2)), 因为f2x-1)表示y=3cos2 3x的图象向右平移12个单位,且y=3cos2 3x的图 象关于y轴对称,所以2x一1)关于直线x=12对称,B正确: 由余弦函数的图象和性质可知x)十0)=3cos 3x十1≥0,C正确: x)的周期T=2 3=6,D错误.故选D.] 8.B[依题意,函数g(x)=x)一1)零点的个数,即为方程优x)一1)=0解的个数, 令x)一1=1,则0=0, 当D0时,lnt-1t=0,令h(0=nt-1t,0, 函数y=lnt,y=一1t在(0,十∞)上单调递增, 于是函数()在(0,十∞)上单调递增, 又h(1)=一1<0,(e)=1-1e>0,则存在∈(1,e),使得hi)=0: 当t≤0时,-t+1十1=0,解得t=0或一2, 作函数x)=nx一f1x一k+1+1,x<0的大致图象,如图. y=x) 又x)一1=t,则x)=t+1, 当=0时,)=1,由y=x)的图象知,方程f)=1有两个解: 当t=一2时,x)=一1,由y=x)的图象知,方程x)=一1有两个解; 当1=1,1∈(1,c)时,x)=十1,由y=)的图象知,方程x)=4十1有一个 解。 综上所述,函数g(x)=x)一1)的零点个数为5] 9.ACD[对于A,令x=y=0,则有0)=0)+0)一1,故0)=1,故A正确: 对于B,令x=1,y=一1,则有0)=1)+一1)-1,故1)+-1)=2,故B 错误; 对于C,令y>0,则有x+y)一x)=y)一1,其中x十y2x,y)一1<0, 令=x十y,2=x,即有对x1,x2∈R, x1Px2,灯)一x2)0恒成立, 即函数x)为减函数,故C正确; 对于D,令y=一x,则有x一x)=x)十一x)一1,又0)=1,故x)十一x)=2, 故函数y=x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确] 10.ACD[对于A,令x=y=0,可得0)=一1,A正确: 对于B,令x=,y=x2一1,且x1<x2, 则十x2一)=x)十2一)十1, 可得x2)一x)=x2一)+1, 若x>0时,x少一1时,2)一)>0,此时函数x)为单调递增函数: 若x0时,x)大一1时,x2)一)0,此时函数x)为单调递减函数, 所以函数x)不一定有最小值,B错误: 对于C,令y=1,可得x+1)=fw)+1)+1=x)+1,即x+1)-x)=1, 所以2)-1)=1,3)-2)=1,…,2024)-2023)=1, 各式相加得2024)一f1)=2023,所以2024)=1)+2023=2023,C正确: 对于D,令y=一x,可得0)=x)+一x)+1,可得x)+1+一x)+1=0, 即一x)十1=一[x)+1],所以函数x)十1是奇函数,D正确] 11.BC[当x<1时,x)=x2e, 则fx)=(2+2x)ex=x(x+2), 当x∈(-∞,一2),(0,1)时,x)>0,x)单调递增, 当x∈(一2,0)时,f(x)0,x)单调递减, 且-2)=4e2,0)=0: 当x≥1时,x)=exx2,则f(x)=ex(x一2)x3, 当x∈(1,2)时,fx)0,fx)单调递减, 当x∈(2,十∞)时,f(x)>0,x)单调递增, 且f1)=e,2)=e24,且x)≥0恒成立, 画出函数图象如图. -2 2 对于A,由函数图象可得0是函数x)的零点,故A错误; 对于B,由图可得x)∈(0,e),2)∈fe24,e,故31∈(0,1),∈(1,3), 使)》>x),故B正确: 对于C,由图可得x=一2是x)的极大值点,故C正确: 对于D,方程x)2-2ax)=0(a∈R)等价于x)=0或x)=2a, 由图可得x)=0有1个实数根x=0, 所以方程[x)2一2ax)=0(a∈R)有两个不等实根等价于x)=2a有1个非零实根, 则由图可得4e22a<e24或2ae, 即2e2<ae28或a>e2,故D错误.J 12.4048[对x+1012)-1013一x)=4x+1两边同时求导得 f(x+1012)+/1013-x)=4, 即f(x)+f(2025-x)=4, 则f(1)+f(2024)=4,f(2)+f2023)=4,…,f(1012)+f1013)=4, 则∑2024,=f0=4 1012=4048.] 13.(-2,0)[因为fy)=x)+y)且f2)=-1, 令x=y=2,则4)=22)=一2, 令x=4,y=2,则8)=4)十2)=-3, 所以不等式十2)+x+4)>-3=8), 即x+2>0,x+4>0,f(x+2)(x十4))>f(8), 即x+2>0,x+4>0,(x+2)(x+4)<8, 解得一2<x<0, 所以不等式的解集为(一2,0)] 14.\alvs4lallcol(1,f732))Ulalvs4lallcol(f(32),2)[g(x)=2f(x)-(2a+3)x) +3a=0, 可得2x)-3][x)-a4=0, 解得x)=32或x)=a,如图所示. y=a y= y=fx) 由图可知,直线y=32与函数x)的图象有两个交点, 又因为函数g(x)有四个零点,故直线y=a与函数x)有两个零点,且a≠32, 所以1<a<2且a≠32, 因此,实数a的取值范围是 alvs4allcol(1,32))Ulalvs4alcol(f(32),2).]