第04讲条件概率与全概率公式（4大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修三）

第04讲 条件概率与全概率公式 目录 题型归纳 1 题型01 计算条件概率 2 题型02 条件概率性质的应用 5 题型03 利用全概率公式求概率 7 题型04 利用贝叶斯公式求概率 10 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 12 分层练习 17 夯实基础 17 能力提升 26 知识点01条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 知识点02概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 知识点03全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 知识点04贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 题型01计算条件概率 【例1】（23-24高二·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件， 则，所以. 故选：A 【变式1】（20-21高二上·湖南长沙·期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则已知事件发生的条件下事件发生的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率 【分析】分别计算和，结合条件概率公式计算即可. 【详解】记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”， 所以，， 则， 故选：D 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【知识点】概率的基本性质、计算条件概率 【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3】（20-21高二上·全国·单元测试）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 【答案】（1）0.05；（2）；；. 【知识点】计算条件概率 【解析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由条件概率公式计算； （2）由条件概率公式计算． 【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.0525. （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P(A1|B)＝＝ ＝＝. 类似地，可得 P(A2|B)＝，P(A3|B)＝. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，把所求概率事件用表示后根据条件概率公式计算． 题型02 条件概率性质的应用 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】结合条件概率的性质和条件概率的公式即可完成判断. 【详解】由条件概率公式知，但是不一定等于，所以选项A错误； 根据条件概率的性质可知，所以选项B错误； 由条件概率公式可得出，所以选项C正确； 由条件概率公式可得出，所以选项D错误. 故选：C 【变式1】（21-22高二·江苏徐州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】9个球中不放回地依次取2个数，基本事件总数可以计数为：，分别求事件A与事件A、B同时发生的概率根据条件概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（20-21高二上·全国·单元测试）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.l，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱的概率（结果精确到0.01）； (2)在顾客买下的一箱中，无残次品的概率（结果精确到0.01）． 【答案】(1)0.94 (2)0.85 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】（1）先求出一箱玻璃中有i件残次品的概率（，1，2），再求查看的有i件残次品的概率，进而利用条件概率的公式求解即可； （2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃的条件下没有残次品的概率，利用条概率的公式求解. 【详解】（1）解：设事件A＝“顾客买下该箱”，事件B＝“箱中恰有i件残次品”，，1，2． ． （2）由（1）知： 题型03 利用全概率公式求概率 【例3】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为． 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式可得答案. 【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得， 即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件， 记事件：这个零件是次品， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得： . （2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【例4】（22-23高二上·江西上饶·期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 【答案】A 【知识点】计算条件概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】此人是癌症患者的概率为. 故选：A 【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.现随机抽取一人发现患有色盲症，问：其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等） 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据题意求出任意抽取一人为色盲的概率，再求出任取一人为男子且为色盲的概率即可计算. 【详解】任意抽取1人，其为男子且色盲的概率为， 任意抽取1人，其为女子且色盲的概率为， 所以任意抽取一人，其为色盲的概率为， 故随机抽取一人发现患有色盲症其为男子的概率是 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为： 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率. （2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率. 【详解】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 （2）若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 【例5】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 【变式1】（23-24高二·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 （2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 （3）在（2）的条件下. 【变式2】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)求的值： (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)可判断该黑球来自3号箱的概率最大. 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件属于全概率事件，分别计算出和，代入全概率公式即得； （2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率，根据条件概率公式分别计算再比较即得. 【详解】（1）由已知得：,而 由全概率公式可得： （2）因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：,其概率为, “小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：,其概率为, “小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：,其概率为. 综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大. 【变式3】（22-23高二上·山东日照·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中． (1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，再根据条件概率和全概率公式求解即可； （2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，再根据､､彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解. 【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，， ，，， 由全概率公式得：第次抽到填空题的概率为： ； （2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则､､彼此互斥，且， ， ，， ， ， ， ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果. 【详解】由， 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期末）同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，并且甲、乙车间的次品率依次为3%，2%，现从该厂的这批产品中任取一件，则取到次品的率为（   ） A．3.6% B．2.6% C．1.8% D．0.8% 【答案】B 【分析】考虑到次品可能来源于两个车间，根据全概率公式即可求得答案. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为. 故选：B. 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．是可能的 C． D． 【答案】BCD 【分析】ACD选项，根据条件概率公式及概率的性质判断；B选项，举出例子； 【详解】A选项，及知，A选项错误； B选项，当事件A包含事件B时，有，此时，故B选项正确； C选项，由概率的性质可知，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 6．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式即可得到方程，解出即可. 【详解】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员． 则由已知，， 所以，所以，故C正确． 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法，结合条件概型的知识求得正确答案. 【详解】解法一：一个家庭的两个小孩只有种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 由题意可知这个基本事件的发生是等可能的， 所以已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是. 解法二：设事件为“其中一个是女孩”，事件为“其中一个是男孩”， 对{(男，女)，(女，男)，(女，女)}， {(男，女)，(女，男)，(男，男)}， {(男，女)，(女，男)} 由法一知，， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 【答案】0.012 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”， 由题意可知, 所以由全概率公式知取得次品的概率为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）假定患有疾病中的某一个的人可能出现症状中一个或多个，其中： 疾病 人数 出现中一个或几个症状人数 7 750 7 500 5 250 4 200 7 000 3 500 食欲不振；胸痛；呼吸急促；发热.现从20 000份患有疾病的病历卡中统计得到下列数据：当一个具有中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较准确？ 【答案】较准确 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可. 【详解】设表示事件“患者出现中的某些症状”， 表示事件“患者患有疾病” ， 由于该问题数据很大，用事件的频率近似作为概率， 由统计数据可知，，， ，，， 所以 ， 由贝叶斯公式可得， ， ， 所以推测病人患有疾病较准确. 10．（23-24高二上·上海·课后作业）盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.求第二次取出的球是白色的概率. 【答案】 【分析】利用条件概率公式和全概率公式代入计算即可求出结果. 【详解】记事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”； 则，所以； 由题意可得； ，； 即. 所以第二次取出的球是白色的概率为 11．（23-24高二上·上海·课后作业）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%､20%､30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05､0.04､0.03和0.02.从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？ 【答案】 【分析】设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. 【详解】解：设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，其中， 根据题意，可得， 且， 所以从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率为：. 12．（22-23高二·全国·课堂例题）在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式进行求解即可； （2）利用乘法公式进行求解即可 【详解】（1）设甲中奖，乙中奖，则． 因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为． 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 ． （2）因为，所以． 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为． 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 ． 13．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大． 【答案】甲第一局选择甲和丙比赛，最终获得冠军的概率最大 【分析】结合题意，讨论出每种情况，利用全概率公式求解进行相应的比较即可. 【详解】若甲指定第一局由乙丙对战，“甲成为冠军”共有两种情况： ①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为； ②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为． 所以“甲成为冠军”的概率为． 若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜； 甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜； 甲乙比乙胜；乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 所以甲能获得冠军的概率为． 若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 ． 因为，所以甲第一局选择甲和丙比赛，最终获得冠军的概率最大． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 而，，两两互斥，和为，，，， 记第二次抽到3号球的事件为B， ． 故选:C． 2．（23-24高二上·广西桂林·期末）设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为（    ） A．0.78 B．0.82 C．0.87 D．0.49 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概率求和公式计算. 【详解】小明正点到达目的地，由两个互斥事件构成，分别为乘汽车正点到达和乘火车正点到达， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）医学上用血清甲胎球蛋白法诊断某种疾病，研究表明，这种诊断方法是可能存有误差的，且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件A：某人患病.事件B：化验结果呈阳性.根据已知得出的值，由全概率公式得出的值，即可根据条件概率公式得出答案. 【详解】记事件A：某人患病.事件B：化验结果呈阳性. 由题意可知， 所以，. 现在某人的化验结果呈阳性， 则他真的患该疾病的概率是. 故选：C. 4．（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 二、多选题 5．（21-22高二上·浙江宁波·期末）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解. 【详解】，A正确； ， 由全概率公式可知： 所以BC错误，D正确. 故选：AD 6．（23-24高二上·山东德州·期末）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 所以 ，故A正确； 因为，所以，故B正确； 所以，所以事件与事件不是相互独立，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 【答案】 / 【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故； 奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为， 奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 由全概率公式可得：. 故答案为：； 8．（23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】0.7/ 【分析】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，由条件概率和全概率公式求解即可. 【详解】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥， 根据题意得，，， 则． 故答案为：. 四、解答题 9．（20-21高二·全国·课后作业）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)问这个人迟到的概率是多少? (2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少? 【答案】(1)0.18 (2) 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合条件概率公式运算求解. 【详解】（1）设D表示“这个人迟到”，A表示“他乘火车”，B表示“他乘轮船”，C表示“他乘飞机”，则． 由全概率公式，得， 由题意可得：，，，， ， 所以这个人迟到的概率． （2）由题意可知：， 所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是． 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件后，利用全概率公式求解即可得； （2）设出相应事件后，借助组合数公式求出同学乙从箱中取出不同题目的不同概率，再利用全概率公式求解即可得. 【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，， 则； （2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”， 事件为“乙从箱中取出2道选择题”， 事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”， 事件为“乙从箱中取出2道论述题”， 则，，， 则 ， 即丙取出的第一道题是选择题的概率为. 11．（21-22高二上·山东潍坊·期末）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)分别求，，和的值； (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)，，，. (2)来自3号箱的概率最大,理由见解析. 【分析】（1）利用条件概率公式,计算即可求得，，；三式求和即得； （2）利用条件概率公式分别计算，，，最大者即为所求箱号. 【详解】（1）由已知可得, , ∴， ， ， ∴. （2），，， 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大. 12．（23-24高二上·重庆北碚·期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可； （2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可. 【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，， 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 （2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题， ，， ，， 13．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可； （2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， （i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为， （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 条件概率与全概率公式 目录 题型归纳 1 题型01 计算条件概率 2 题型02 条件概率性质的应用 3 题型03 利用全概率公式求概率 4 题型04 利用贝叶斯公式求概率 5 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 6 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 18 知识点01条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 知识点02概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 知识点03全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 知识点04贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 题型01计算条件概率 【例1】（23-24高二·辽宁鞍山·期中）有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高二上·湖南长沙·期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则已知事件发生的条件下事件发生的概率（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于随机事件，若，，，则 . 【变式3】（20-21高二上·全国·单元测试）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 题型02 条件概率性质的应用 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二·江苏徐州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，，则 . 【变式3】（20-21高二上·全国·单元测试）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.l，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱的概率（结果精确到0.01）； (2)在顾客买下的一箱中，无残次品的概率（结果精确到0.01）． 题型03 利用全概率公式求概率 【例3】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 【变式3】（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【例4】（22-23高二上·江西上饶·期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84 【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症.现随机抽取一人发现患有色盲症，问：其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等） 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 【例5】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【变式1】（23-24高二·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【变式2】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)求的值： (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【变式3】（22-23高二上·山东日照·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中． (1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，并且甲、乙车间的次品率依次为3%，2%，现从该厂的这批产品中任取一件，则取到次品的率为（   ） A．3.6% B．2.6% C．1.8% D．0.8% 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．是可能的 C． D． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是 ． 8．（23-24高二上·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）假定患有疾病中的某一个的人可能出现症状中一个或多个，其中： 疾病 人数 出现中一个或几个症状人数 7 750 7 500 5 250 4 200 7 000 3 500 食欲不振；胸痛；呼吸急促；发热.现从20 000份患有疾病的病历卡中统计得到下列数据：当一个具有中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较准确？ 10．（23-24高二上·上海·课后作业）盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.求第二次取出的球是白色的概率. 11．（23-24高二上·上海·课后作业）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%､20%､30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05､0.04､0.03和0.02.从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？ 12．（22-23高二·全国·课堂例题）在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． 13．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西桂林·期末）设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为（    ） A．0.78 B．0.82 C．0.87 D．0.49 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）医学上用血清甲胎球蛋白法诊断某种疾病，研究表明，这种诊断方法是可能存有误差的，且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二上·浙江宁波·期末）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东德州·期末）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件B与事件相互独立 D． 三、填空题 7．（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 8．（23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 四、解答题 9．（20-21高二·全国·课后作业）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)问这个人迟到的概率是多少? (2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少? 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 11．（21-22高二上·山东潍坊·期末）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)分别求，，和的值； (2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 12．（23-24高二上·重庆北碚·期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 13．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$