第07讲 二项分布与超几何分布(5大知识点+7大题型+分层练习)-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修三）

第07讲 二项分布与超几何分布(5大知识点+7大题型+分层练习) 目录 题型归纳 1 题型01 二项分布的均值 2 题型02 利用二项分布求分布列 3 题型03 二项分布的方差 4 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 4 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 5 题型06 超几何分布的均值 6 题型07 超几何分布的方差 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 知识点01伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 知识点02二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 知识点03二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 知识点04超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 知识点05超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布 题型01二项分布的均值 【例1】（23-24高二下·浙江衢州·期末）设随机变量，则的数学期望为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（    ） A．8 B．10 C．5 D．6 【变式2】（23-24高二下·四川宜宾·期末）若随机变量，且，则 ． 【变式3】（23-24高二下·北京大兴·期末）设随机变量，则 ． 题型02 利用二项分布求分布列 【例2】（23-24高二上·北京昌平·期末）某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【变式1】（22-23高二下·重庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二下·广西玉林·期末）设随机变量，若，则p的值为 . 【变式3】（23-24高二下·广东清远·期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”. (1)若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望; (2)若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率. 题型03 二项分布的方差 【例3】（23-24高二下·重庆·期末）设随机变量，则（    ） A．3 B．4 C．12 D．13 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 【变式3】（23-24高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例4】（21-22高二下·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）若随机变量，且，则 ． 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期末）一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分. (1)若摸球100次. ①求的数学期望； ②求X的数学期望； (2) 当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值. 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 【例5】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二下·广西玉林·期中）技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 【变式3】（20-21高二下·广东广州·期末）一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么 （1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的概率； （2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差． 题型06 超几何分布的均值 【例6】（22-23高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ． 【变式3】（22-23高二上·安徽宿州·期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则 ． 题型07 超几何分布的方差 【例7】（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（21-22高二下·山西吕梁·期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.求X的分布、期望与方差. 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 3．（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 二、多选题 5．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的最小号码服从超几何分布 B．取出的白球个数服从超几何分布 C．取出2个黑球的概率为 D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 6．（23-24高二下·安徽马鞍山·期中）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用表示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 8．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知随机变量，若期望，方差，则的值为 ． 四、解答题 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知随机变量，若，，求的值． 10．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 11．（22-23高二下·天津·期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 12．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个． (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； (2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望． 13．（22-23高二下·江苏镇江·期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，而且每位体检人患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. (1)若选择方案甲，设5人中呈阳性患者人数记为，求的分布列及数学期望； (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.（参考数据：） 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 3．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）下列选项中正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，则 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 6．（23-24高二下·吉林通化·期中）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（    ） A． B． C．X的数学期望 D．X的方差 三、填空题 7．（20-21高二下·江苏镇江·期末）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次． 8．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 四、解答题 9．（23-24高二下·重庆长寿·期末）已知6名学生中，有4名男生，2名女生.现从这6名学生中任意抽取3名学生去参加一个趣味活动. (1)求抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率； (2)求抽出的3名学生中女生人数的分布列. 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 11．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 12．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 13．（22-23高二下·山东烟台·期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二项分布与超几何分布(5大知识点+7大题型+分层练习) 目录 题型归纳 1 题型01 二项分布的均值 2 题型02 利用二项分布求分布列 4 题型03 二项分布的方差 7 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 9 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 13 题型06 超几何分布的均值 16 题型07 超几何分布的方差 18 分层练习 22 夯实基础 32 能力提升 32 知识点01伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 知识点02二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 知识点03二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 知识点04超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 知识点05超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布 题型01二项分布的均值 【例1】（23-24高二下·浙江衢州·期末）设随机变量，则的数学期望为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式，代入运算得解. 【详解】， . 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（    ） A．8 B．10 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】一枚骰子，出现6点的概率为， 则在30次试验中成功的次数X服从, 故均值为, 故选：C 【变式2】（23-24高二下·四川宜宾·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值 【分析】利用二项分布的均值公式计算即得. 【详解】因，由可得，解得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·北京大兴·期末）设随机变量，则 ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 题型02 利用二项分布求分布列 【例2】（23-24高二上·北京昌平·期末）某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 【变式1】（22-23高二下·重庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据知即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即，即可求解. 【详解】根据 知，即为独立做6次试验，发生了4次的概率， 即. 故选：B 【变式2】（22-23高二下·广西玉林·期末）设随机变量，若，则p的值为 . 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解. 【详解】，由于， 所以， 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·广东清远·期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”. (1)若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望; (2)若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为；(2). 【知识点】二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆馅的概率，再求出的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望. （2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解. 【详解】（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率， 的可能取值是，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个， 2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为， ， ， 因此， 所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率. 题型03 二项分布的方差 【例3】（23-24高二下·重庆·期末）设随机变量，则（    ） A．3 B．4 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】二项分布的方差 【分析】利用二项分布的方差求解即可. 【详解】由题意得，故. 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的方差 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由于，故. 故选：C 【变式2】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 【答案】3 【知识点】二项分布的方差 【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】随机变量， 则. 故答案为：3. 【变式3】（23-24高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数． (1)求X的分布列； (2)求X的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由求解即可； （2）由二项分布的数学期望及方差公式求解． 【详解】（1）解：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为， 且每次是否正面朝上相互独立，所以， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）根据（1），所以，． 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例4】（21-22高二下·广东云浮·期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 整理得，即， 又，且，所以， 故选：B 【变式1】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键 【变式2】（22-23高二下·河南驻马店·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据二项分布的期望公式得，进而根据二项分布概率公式计算即可. 【详解】因为随机变量，且， 所以，解得， 则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期末）一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分. (1)若摸球100次. ①求的数学期望； ②求X的数学期望； (2)当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值. 【答案】(1)①；② (2)当摸球次数时，的概率取得最大值 【知识点】均值的性质、二项分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）①分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解；②分析可知，结合期望的性质运算求解； （2）设摸到白球的次数为，可得，，列式求最值即可. 【详解】（1）①由题意可知：每次摸到黑球的概率均为，即得1分的概率均为， 则，所以的数学期望； ②因为， 所以X的数学期望. （2）设摸到白球的次数为，则摸到黑球的次数为，则， 则， 由题意可得：， 解得，且，可得， 所以当摸球次数时，的概率取得最大值 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 【例5】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】利用二项分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选：C. 【变式1】（22-23高二下·广西玉林·期中）技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为X，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 【答案】 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可. 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案为： 【变式3】（20-21高二下·广东广州·期末）一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么 （1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的概率； （2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差． 【答案】（1） （2） 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题、计算条件概率 【分析】（1）利用条件概率的定义求解即可；（2）先求出一次取出1个球，取得红球的概率，确定随机变量X的可能取值，利用二项分布的数学期望和方差的公式求解即可． 【详解】（1）在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是红色的概率为 （2）由题意可知，一次取出1个球，取得红球的概率为 取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，）， 所以E（X）＝np＝3×＝， D（X）＝np（1﹣p）＝3×． 题型06 超几何分布的均值 【例6】（22-23高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】超几何分布的均值 【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 且，，， 因此，. 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】超几何分布的均值 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ． 【答案】3 【知识点】超几何分布的均值 【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得. 【详解】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，， 所以. 故答案为：3 【变式3】（22-23高二上·安徽宿州·期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则 ． 【答案】/3.4 【知识点】超几何分布的均值 【分析】根据超几何分布的期望公式，和期望的性质可求出结果. 【详解】由题意可得：服从超几何分布，． 所以. 故答案为：． 题型07 超几何分布的方差 【例7】（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 【变式1】（多选）（21-22高二下·山西吕梁·期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 【答案】ACD 【知识点】超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】假设次品为件，由求得次品及次品率，再分别求的，即可得出结果. 【详解】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件， ，则次品数为2件，B错误； 这10件产品的次品率为，A正确； 10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2， ； 则，C正确； ，D正确. 故选：ACD. 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）从一副去掉大小王牌的52张扑克牌中任取5张牌，用X表示其中黑桃的张数.求X的分布、期望与方差. 【答案】答案见详解 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】根据超几何分布的性质，进行求解即可. 【详解】52张扑克牌中有13张黑桃，39张非黑桃， X的可能取值为0,1,2,3,4,5. ， ， ， ， ， . 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P ， . 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【答案】(1)分布列见解析 (2)期望；方差 【知识点】超几何分布的方差、超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： （2）期望； 又， 方差 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用超几何分布求解. 【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件,即解得设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B, 故选：C. 2．（23-24高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式直接求解即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以. 故选：B 3．（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】B 【分析】先由二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质即可求出. 【详解】由题意抽到的次品数X服从二项分布，方差， 而， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】随机变量，由，得，解得， ，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：C 二、多选题 5．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的最小号码服从超几何分布 B．取出的白球个数服从超几何分布 C．取出2个黑球的概率为 D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 【答案】BC 【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断C，D. 【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数， 即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确； 对于，取出2个黑球的概率为，故C正确； 对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小， 总得分最大的概率为，故不正确. 故选：. 6．（23-24高二下·安徽马鞍山·期中）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用表示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案． 【详解】设“向右下落”，则“向左下落”，且， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 于是． 所以，A正确； ， ， 所以，B错误； ，C错误，D正确 故选：AD． 三、填空题 7．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 8．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知随机变量，若期望，方差，则的值为 ． 【答案】40 【分析】根据二项分布的期望和方差公式得到方程组，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：40 四、解答题 9．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知随机变量，若，，求的值． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得. 【详解】因为随机变量， 所以，， 两式相除可得， 解得. 10．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，均值为1 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 （2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 11．（22-23高二下·天津·期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解， （2）根据分布列即可求解概率. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为, 所取小球为1白3黑时， 所取小球为2白2黑时， 所取小球为3白1黑时， 所取小球为4白时， 所以，随机变量的分布列为 5 6 7 8 随机变量的均值为： （2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为 12．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个． (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； (2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解可得； （2）根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望. 【详解】（1）该学生通过自主招生初试的概率， （2）该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4， 则，，， 所以的概率分布列为 2 3 4 ． 13．（22-23高二下·江苏镇江·期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，而且每位体检人患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. (1)若选择方案甲，设5人中呈阳性患者人数记为，求的分布列及数学期望； (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.（参考数据：） 【答案】(1)分布列见解析，期望为0.5 (2)305元 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解分布列，由二项分布的期望公式即可求解期望， （2）由方案乙中，检查费用为元，则，因此，即可求得方案乙的平均化验费用． 【详解】（1）方案甲中，呈阳性患者人数服从二项分布．所以的分布列如下： ；； ；； ； 0 1 2 3 4 5 所以 （2）方案乙中，若记化验次数为，则的可能取值为1，6． 因为5人都不患病的概率为， 所以， ， 从而， 若记方案乙中，检查费用为元，则， 从而可知， 即方案乙的平均化验费用为305元 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解. 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 【答案】C 【分析】对于A，根据直接计算即可；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据直接计算即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，则，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即，即，解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在次射击中击中目标的次数， ，故D不正确. 故选：C 3．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 4．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 二、多选题 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）下列选项中正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，则 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 【答案】ABD 【分析】根据二项分布方差公式，以及方差的性质，即可判断A；代入超几何分布的期望公式，即可判断B；根据二项分布的概率，结合不等式，即可求解，判断C；根据和事件概率公式，以及条件概率公式，即可判断D. 【详解】A.，，，故A正确； B.为超几何分布，所以，故B正确； C.设最有可能击中次，则，， 则， 得，即或，故C错误； D.，则， ，故D正确. 故选：ABD 6．（23-24高二下·吉林通化·期中）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则（    ） A． B． C．X的数学期望 D．X的方差 【答案】ACD 【分析】由题意可知5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，故可确定，即可判断A；由此可计算，即可判断B；利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C，D. 【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 7．（20-21高二下·江苏镇江·期末）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次． 【答案】4 【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案. 【详解】投篮命中次数， 设最有可能命中次，则 ，，． 最有可能命中4次． 故答案为：4. 8．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/ 【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值. 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二下·重庆长寿·期末）已知6名学生中，有4名男生，2名女生.现从这6名学生中任意抽取3名学生去参加一个趣味活动. (1)求抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率； (2)求抽出的3名学生中女生人数的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为求抽到1名女生，2名男生的概率； （2）首先确定，再根据随机变量的意义，求概率，再列出分布列. 【详解】（1）抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率，即抽出的3名学生是2名男生和1名女生的概率为： ； （2）设抽出的3名学生中女生人数为，则可能取值为0，1，2.               的分布列如下 0 1 2 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)，; 【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差； （2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，得， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 ； . （2）依题意，得， 则，. 11．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【分析】（1）方案一就两次独立重复试验，求抽一次中奖后，按二项分布求解即可；方案二的所有可能取值为0，1，2，注意计算第二次的时候数量较少，按照分步计数原理作乘即可. （2）由（1）知方案二抽奖中奖2次的概率为，中奖2次的人数服从二项分布，则，通过单调性找最值即可. 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 12．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)7 【分析】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 13．（22-23高二下·山东烟台·期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算； （2）根据期望公式结合与之间的关系分析运算. 【详解】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为，则， 则， 所以甲只生产10件产品即结束考核的概率. （2）由（1）可知：，， 可得随机变量的期望， 故， 由题意可得：，或， 则 ， 故随机变量X的数学期望. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$