第07讲 二项式定理（4大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第07讲 二项式定理（4大知识点+10大题型+分层练习） 目录 题型归纳 1 题型01 求二项展开式 4 题型02 二项展开式的应用 5 题型03 求二项展开式的第k项 5 题型04 求指定项的二项式系数 6 题型05 二项式系数的增减性和最值 7 题型06 二项展开式各项的系数和 8 题型07 奇次项与偶次项的系数和 8 题型08 三项展开式的系数问题 9 题型09 由二项展开式各项系数和求参数 10 题型10 二项式系数的性质及应用 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 15 知识点01二次项展开式与通项 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 知识点02二项式系数与项的系数 二项式 系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点03赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　 知识点04求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型01求二项展开式 【例1】（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【变式2】（22-23高二下·上海杨浦·期中）根据二项式定理，的二项展开式共有 项. 【变式3】（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）（1）求； （2） 求的二项展开式. 题型02 二项展开式的应用 【例2】（23-24高二下·山东临沂·期中）若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 【变式1】（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则 . 【变式3】（22-23高二下·河北石家庄·期中）在二项式 中有，如果它的展开式中存在常数项，求它是第几项. 题型03 求二项展开式的第k项 【例3】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【变式1】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 【变式3】（23-24高二下·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 题型04 求指定项的二项式系数 【例4】（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【变式2】（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 . 【变式3】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）在的展开式中． (1)若，求展开式中的常数项； (2)若第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35，求的值． 题型05 二项式系数的增减性和最值 【例5】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【变式2】（21-22高二下·陕西西安·期末）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，请写出一个符合条件的的值 . 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （3） 二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 题型06 二项展开式各项的系数和 【例6】（23-24高二下·广东广州·期中）已知，那么（   ） A． B．2 C． D．12 【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中）若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 【变式3】（23-24高二下·北京顺义·期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 题型07 奇次项与偶次项的系数和 【例7】（23-24高二下·四川成都·期末）若，则 （    ） A． B．1 C．64 D．0 【变式1】（22-23高二下·重庆江津·期末）  则 （    ） A．41 B．40 C． D． 【变式2】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知多项式，则 ． 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 . (1)求的值； (2)求的值. 题型08 由集合间的关系求参数范围 【例8】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【变式1】（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 【变式2】（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 . 【变式3】（22-23高二下·广东东莞·期末）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式. (1)写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数； (2)写出的展开式的通项公式，并解释其正确性． 题型09 由二项展开式各项系数和求参数 【例9】（22-23高二下·广东东莞·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为256，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】（21-22高二下·福建漳州·期中）若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 【变式3】（22-23高二下·河南开封·期中）已知二项式的展开式中各项系数之和为256．求： (1)的值； (2)展开式中项的系数； (3)展开式中所有含的有理项． 题型10 二项式系数的性质及应用 【例10】（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【变式1】（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【变式2】（22-23高二下·广东广州·期末）某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答） 【变式3】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川雅安·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 二、多选题 5．（22-23高二下·广东广州·期末）下列关于的说法，正确的是（    ） A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024 C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x 6．（23-24高二下·重庆·期末）关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有4项 三、填空题 7．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 8．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 四、解答题 9．（22-23高二下·河南洛阳·期末）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． 10．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知的展开式中仅有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式的第2项； (2)求展开式的奇数项系数之和． 11．（23-24高二上·吉林·期末）已知的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 13．（23-24高二下·吉林·期末）已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 3．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏徐州·期中）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（    ） A．4项 B．5项 C．6项 D．3项 二、多选题 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共6项 B．各项系数之和为1 C．不含常数项 D．系数最大项是 6．（23-24高二下·山西长治·期中）已知的展开式中的系数为8，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中所有项的系数和为0 D．展开式中的奇数次幂项的系数和为 三、填空题 7．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在二项式的展开式中，常数项是第 项． 8．（23-24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 四、解答题 9．（22-23高二下·江苏·期末）记，. (1)化简：； (2)证明：的展开式中含项的系数为. 10．（24-25高二上·辽宁·期末）设，求： (1)； (2). 11．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值.（结果用数字表示） 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 13．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知. (1)当时，求的值； (2)当时，证明：； (3)设，求和：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二项式定理（4大知识点+10大题型+分层练习） 目录 题型归纳 1 题型01 求二项展开式 4 题型02 二项展开式的应用 6 题型03 求二项展开式的第k项 8 题型04 求指定项的二项式系数 10 题型05 二项式系数的增减性和最值 12 题型06 二项展开式各项的系数和 15 题型07 奇次项与偶次项的系数和 17 题型08 三项展开式的系数问题 19 题型09 由二项展开式各项系数和求参数 23 题型10 二项式系数的性质及应用 25 分层练习 29 夯实基础 29 能力提升 37 知识点01二次项展开式与通项 二项 展开式 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理 二项式 的通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项 [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 知识点02二项式系数与项的系数 二项式 系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数 项的 系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr 知识点03赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． ①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， ②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　 知识点04求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型01求二项展开式 【例1】（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 【变式1】（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式 【分析】，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 【变式2】（22-23高二下·上海杨浦·期中）根据二项式定理，的二项展开式共有 项. 【答案】11 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，即可得出答案. 【详解】根据二项式定理，可知的二项展开式的通项为 ，，共有11项. 故答案为：11. 【变式3】（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）（1）求； （2）求的二项展开式. 【答案】（1）；（2） 【知识点】排列数的计算、求二项展开式、组合数的计算 【分析】（1）根据组合数以及排列数，可得答案； （2）根据二项式定理，可得答案. 【详解】（1）. （2）. 题型02 二项展开式的应用 【例2】（23-24高二下·山东临沂·期中）若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理可求值. 【详解】由题意可得. 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式展开式逆用求解即可. 【详解】因为, 所以. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则 . 【答案】1 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用赋值法，令代入可求得答案. 【详解】令，则， 所以. 故答案为：1 【变式3】（22-23高二下·河北石家庄·期中）在二项式 中有，如果它的展开式中存在常数项，求它是第几项. 【答案】第5项 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项展开式的通项确定常数项即可求出答案. 【详解】二项式的通项为， 令为常数项，则有， 因为，，所以，解得， 故可知常数项是第5项． 题型03 求二项展开式的第k项 【例3】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用展开式的通项可得答案. 【详解】的通项为， 且。 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）在的二项展开式中，第四项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项. 【详解】在的二项展开式中，第四项是 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·山西·期中）已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式的第k项、求有理项或其系数 【分析】（1）根据二项式的通项公式，结合题意进行求解即可； （2）根据二项式的通项公式，结合有理项的性质进行求解即可. 【详解】（1）根据题意，第二项为，第三项为， 所以，解得. （2）展开式中，其中. 当时，展开式为有理项： ； ； ； ； ， 即展开式中所有的有理项为. 题型04 求指定项的二项式系数 【例4】（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 【变式1】（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 . 【答案】1 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由，， 当，含的项为，其二项式系数为. 故答案为：1 【变式3】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）在的展开式中． (1)若，求展开式中的常数项； (2)若第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35，求的值． 【答案】(1)45； (2)10. 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】（1）求出展开式得通项公式，利用展开式得通项公式进行求常数项； （2）分别求出第三项的二项式系数和第二项的二项式系数，利用已知条件即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 令，解得：， 所以展开式中的常数项为； （2）因为第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35， 所以，即，解得：或(舍去)， 所以 题型05 二项式系数的增减性和最值 【例5】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求解即得. 【详解】由的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项， 所以. 故选：D 【变式1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解． 【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项． 故选：B. 【变式2】（21-22高二下·陕西西安·期末）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，请写出一个符合条件的的值 . 【答案】或或都可以 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式展开式中间项的二项式系数最大求解即可 【详解】因为的展开式中第6项的二项式系数最大， 所以的展开式共有10项或11项或12项， 即或或， 解得或或， 故答案为：或或都可以 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 【答案】（1）-20；（2）-20 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】（1）由通项公式即可求解； （2）先确定的取值，再由通项公式即可求解. 【详解】（1） 令，得， 所以的系数为-20. （2）因为二项式系数最大的项是第4项，所以，或，或 通项公式： 当时，令，得，不存在常数项． 当时，令，得，常数项为． 当时，令，得，不存在常数项． 所以展开式中的常数项为-20 题型06 二项展开式各项的系数和 【例6】（23-24高二下·广东广州·期中）已知，那么（   ） A． B．2 C． D．12 【答案】A 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，可求出的值，令二项式中的，可得的值，从而得到答案. 【详解】令，得，令代入二项式，得， 所以. 故选：A． 【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中）若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据题意，分别令与代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，； 当时， 所以， 故选：C 【变式2】（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 【答案】728 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的展开式赋值法求解即可. 【详解】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 【变式3】（23-24高二下·北京顺义·期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729. (1)求的值； (2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. 【答案】(1)6； (2)存在，. 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）令即可求解； （2）写出的展开式的通项，令的幂指数等于2即可求解. 【详解】（1）的展开式中，各项的系数之和为729， 令，得，解得. （2）的展开式的通项为， 若存在含的项，则， 解得. 所以展开式中存在含的项，此项为. 题型07 奇次项与偶次项的系数和 【例7】（23-24高二下·四川成都·期末）若，则 （    ） A． B．1 C．64 D．0 【答案】D 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法，将代入可求得结果. 【详解】令，则， 所以， 故选：D 【变式1】（22-23高二下·重庆江津·期末）  则 （    ） A．41 B．40 C． D． 【答案】A 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法得到，两式相加即可求解. 【详解】在中依次令，，可得 ， 所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知多项式，则 ． 【答案】 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】用赋值法求解：分别令和代入后可得． 【详解】令即得（1）， 令即得（2）， （1）（2）得，所以， 故答案为：． 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）借助二项式的展开式的通项公式计算即可得； （2）借助二项式的展开式的通项公式可去绝对值，再借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】（1）对，有， 则有， 即； （2）由，则，， 故， 令，可得，即， 令，有， 即， 即. 题型08 由集合间的关系求参数范围 【例8】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解. 【详解】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 【答案】C 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】利用多项式乘法写出展开式的通项，令的次数为,计算可求常数项． 【详解】展开式的通项公式为： ， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·山东青岛·期末）展开式中的系数为 . 【答案】140 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】分析可知只能为1项、3项和3项相乘而得，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得， 所以的系数为. 故答案为：140. 【变式3】（22-23高二下·广东东莞·期末）从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式. (1)写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数； (2)写出的展开式的通项公式，并解释其正确性． 【答案】(1)； (2)，其中，且为自然数， ，解释见解析 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】（1）利用的展开式可得，结合，即可求得答案； （2）利用二项展开式可知，将化为，即可推出结论. 【详解】（1）由二项展开式可知， 则， 其中，且为自然数， 故的系数为时的值，即有， 系数为560. （2）的展开式的通项公式为， 其中，且为自然数. 解释： 由二项展开式可知， 则 ， 其中，且为自然数， 故的展开式的通项公式为， 其中，且为自然数 题型09 由二项展开式各项系数和求参数 【例9】（22-23高二下·广东东莞·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为256，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数 【分析】令，得到，即可求解. 【详解】由二项式的展开式中所有项的系数之和为256， 令，可得，解得. 故选：B. 【变式1】（21-22高二下·福建漳州·期中）若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数 【分析】赋值法解决即可. 【详解】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为， 所以，解得， 故选：D 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 【答案】5 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数 【分析】令，则，解出即可. 【详解】令，，即，解得， 故答案为：5． 【变式3】（22-23高二下·河南开封·期中）已知二项式的展开式中各项系数之和为256．求： (1)的值； (2)展开式中项的系数； (3)展开式中所有含的有理项． 【答案】(1)4 (2)54 (3)第1项，第3项，第5项 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数、求有理项或其系数 【分析】（1）在二项式中令得所有项系数和，解方程即可得； （2）利用二项展开式的通项公式，即得； （3）利用二项展开式的通项公式，令，即求． 【详解】（1）在的展开式中令，得，∴． （2）设展开式的第项为（且）． 令，得， 则含项的系数为． （3）由（2）可知，令，则有， 所以含的有理项为第1项，第3项，第5项 题型10 二项式系数的性质及应用 【例10】（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 【变式1】（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【知识点】杨辉三角、二项式定理与数列求和 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 【变式2】（22-23高二下·广东广州·期末）某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答） 【答案】36 【知识点】排列组合综合 【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时： 相同的课程为“数学文化”时，有种， 相同的课程不是“数学文化”时，有种， 所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种， 当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有, 所以，两位同学不同的选课方案有， 故答案为：36 【变式3】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【知识点】三项展开式的系数问题、杨辉三角、求指定项的系数 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式通项判断即可. 【详解】二项式展开式第项的二项式系数为. 故选：C. 2．（23-24高二下·四川雅安·期中）若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 【答案】C 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赋值法求解即可. 【详解】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 二、多选题 5．（22-23高二下·广东广州·期末）下列关于的说法，正确的是（    ） A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024 C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x 【答案】AD 【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答. 【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确； 对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误； 对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的第3项为，D正确. 故选：AD 6．（23-24高二下·重庆·期末）关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有4项 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 【答案】1 【分析】由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果. 【详解】, 要使能被整除, 则能被整除, 又,, ,解得. 故答案为:. 8．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 【答案】/ 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，即. 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高二下·河南洛阳·期末）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可； （2）写出展开式后代入求解即可. 【详解】（1）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为， 因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列， 所以，即， 化简得：，因为，所以， 解得或. 时，展开式只有3项，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，通项公式为， 令，得，则. 所以展开式中含的项为. 10．（22-23高二下·江苏淮安·期末）已知的展开式中仅有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式的第2项； (2)求展开式的奇数项系数之和． 【答案】(1)； (2)365. 【分析】（1）根据二项式系数的性质可得,然后根据二项式的通项公式即得； （2）设，然后利用赋值法即得. 【详解】（1）因为的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项式系数的性质：左右对称且先增后减，所以展开式共有7项，则, 所以展开式的第2项为； （2）设， 令得：① 令，得：② 由①②得， 所以展开式的奇数项系数之和为365． 11．（23-24高二上·吉林·期末）已知的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)60 (2). 【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解 （2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【详解】（1）由题意得：，解得 由通项公式， 令，可得：.则常数项为 （2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为. 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）根据二项式定理得到通项，从而得到方程，求出； （2）令和，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故， 所以，解得； （2）由（1）中通项公式可得大于0，小于0， 在中，令得， ， 令得，故， 故. 13．（23-24高二下·吉林·期末）已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得解； （2）写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（其中且）， 依题意可得，解得； （2）二项式展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，即展开式中含的项为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由于，利用二项式定理展开可得答案. 【详解】. 因为被9整除， 所以被9除的余数为. 故选：B 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 3．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有，利用排列组合知识，可求奇次项都互不相邻的概率. 【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以. 二项式即为， 通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为. 故选：A. 4．（22-23高二下·江苏徐州·期中）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（    ） A．4项 B．5项 C．6项 D．3项 【答案】A 【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解. 【详解】由可得， 当，,则， 其展开式的通项为， 令,得,解得； 当,,则， 其展开式的通项为， 令，得，解得. 综上所述：， 所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项. 故选:A. 二、多选题 5．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共6项 B．各项系数之和为1 C．不含常数项 D．系数最大项是 【答案】BCD 【分析】A，B，C项直接由二项式定理及其展开式的性质求解，D项中，可设第项的系数最大，则求解即可． 【详解】对于A项，因为，所以展开式共7项，故A项错误； 对于B项，令，得各项系数之和为，故B项正确； 对于C项，展开式的通项公式为，， 令，得显然取不到，则不含常数项，故C项正确； 对于D项，设第项的系数最大，则，解得， 则，得系数最大项为：，故D项正确， 故选：BCD 6．（23-24高二下·山西长治·期中）已知的展开式中的系数为8，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中所有项的系数和为0 D．展开式中的奇数次幂项的系数和为 【答案】BC 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出，从而判断A；利用通项判断B；令求出展开式中所有项的系数和判断C；利用通项判断D. 【详解】对于A，因为的展开通项为，， 令得，；令得，； 又， 所以的展开式中的系数为，解得，故A错误， 对于B，因为， 其中的展开通项为，， 令得，；令得，， 所以的展开式中的系数，故B正确； 对于C，令得，的展开式中所有项的系数和为，故C正确； 对于D，的展开通项为，， 所以的展开式中的奇数次幂项的系数和为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 7．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在二项式的展开式中，常数项是第 项． 【答案】11 【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项是第11项， 故答案为：11 8．（23-24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【分析】将三项看成两项，利用二项式定理结合分类讨论得出答案. 【详解】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高二下·江苏·期末）记，. (1)化简：； (2)证明：的展开式中含项的系数为. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先利用二项式定理求得，再利用二项式系数的性质与倒序相加法即可得证； （2）先得到题设条件中含项的系数，再利用二项式系数的性质即可得证. 【详解】（1）因为， 的二项展开式为， 所以， 所以， 则， 又， 所以， 故. （2）因为的展开式中含项的系数为， 而. 所以含项的系数为： . 10．（24-25高二上·辽宁·期末）设，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)16384. 【分析】（1）先取，得，进而分别代入和后两式相加可得，从而求得答案； （2）由（1）可求得，根据展开式的通项可得运算得解. 【详解】（1）由条件，取，得到； 取，得到 取，得到 两式相加得到， 所以. （2）根据（1）知： 展开式的通项为：， 故当为偶数时，对应系数为正；当为奇数时，对应系数为负， 故 . 11．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值.（结果用数字表示） 【答案】(1)10； (2)8； (3)660. 【分析】（1）利用给定等式，取求出值. （2）根据给定等式，取即可得解. （3）求出展开式的通项公式，再结合组合数的性质求出. 【详解】（1）在中， 令，得，所以. （2）在中， 令，得， 所以. （3）的展开式的通项公式， 因此. 所以. 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知的展开式中所有项的系数之和为. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解得，再由通项公式求解； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项，即可求解． 【详解】（1）解：令，得，解得. ， 令，解得， 所以展开式中的系数为； （2）展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以，即展开式中二项式系数最大的项是. 13．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知. (1)当时，求的值； (2)当时，证明：； (3)设，求和：. 【答案】(1)454 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）把代入原式，再赋值，即可求得部分系数和； （2）先根据展开式系数表示出，再根据组合数公式进行化简即可； （3）把（2）中化简中的代入中，求出，进而求得，再代入中，分组求和即可. 【详解】（1）当时，已知等式化为， 今，则；令，则. . （2）由题意得 . . （3）由（2）知 ， 则， ， 当时，； 当时， ， . 【点睛】方法点睛：求二项展开式中部分项的系数和时，常用的方法是赋值法，然后再结合所求值的式子的特点进行求解即可．对于组合数有关等式的证明常换成阶乘，对比化简计算.求和时根据式子的特点可采用分组求和的方法进行求和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$