4.4.利用三角形全等测距离教案- 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

4 利用三角形全等测距离 教学目标 课题 4 利用三角形全等测距离 授课人 素养目标 1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系，培养应用意识。 2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学重点 利用三角形全等解决实际问题。 教学难点 在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：复习旧知，引出新课 【复习引入】 问题1三角形全等的条件有哪些? 问题2如图，已知线段AB和线段CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，AC=18m。你能求出BD的长度吗? 这样的问题是如何运用到实际生活的测量中的呢？就让我们一起进入今天的学习！ 【教学建议】 根据前面所学习的内容，第1问学生可能回答不全，但教师都要给予肯定，第2问教师让学生思考后请学生代表发言。 设计意图 通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础。 活动二：实践探究，获取新知 探究点 利用三角形全等测距离 【情境1】 一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事： 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法： 【教学建议】 学生动手操作测量各个角的度数，再由教师带领学生将4个角两两配对，探究它们的位置和数量关系，最终得出邻补角和对顶角的概 设计意图 通过情境的引入，使学生对利用三角形全等测 教学步骤 师生活动 距离的知识进行了深入探究、分析和总结，深化了学生对利用三角形全等测距离的理解。 如图，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 操作 按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。 教师可将同学分组（如5人一组），再按战士的做法在操场或教室实践。 问题1 “调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义是什么？ 问题2 战士所讲述的方法中，已知条件是什么？要求的是什么？战士的结论是什么？请结合下面的示意图说明。 由战士所讲述的方法可知已知条件：①战士的身高AH不变；②战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；③视角∠HAC=∠HAB。 要求的是：敌碉堡（B）与我军阵地(H)的距离。 战士的结论：只要按要求(如图)测得HC的长度即可。(即BH=HC) 问题3 请用所学的数学知识说明BH=CH的理由。 解：在△AHB与△AHC中，因为∠BAH=∠CAH，AH=AH，∠BHA=∠CHA， 根据全等三角形的判定条件“ASA”，所以△AHB≌△AHC，所以BH=CH。 【情境2】 如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意： 如图②，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 问题1你能说出其中的道理吗？ 由学生交流讨论，教师可请代表发言。 师：小丽的思考过程如下： 【教学建议】 这也是一个比较古老的测量方法，教学时，教师可以先提出要解决的问题，鼓励学生尝试进行解决，然后按教科书中“叔叔”的办法，让学生通过观察图，思考这种方法的道理，并用自己的语言表达理由。 需要说明的是，教科书以文字加数学符号的叙述方式给出思考过程，意在提供“说理”的一种方式，同时为今后学习证明的形式化表述做铺垫，但现阶段仍然是只要求学生能看懂、理解即可，不必强求他们使用，学生完全可以按照自己的方式进行表达。 教学步骤 师生活动 问题2 你能说出小丽每一步的理由吗？ 在△ABC和△DEC中，因为AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC（已知），所以△ABC≌△DEC(SAS)，所以AB=DE(全等三角形的对应边相等)。 【对应训练】 教材P111随堂练习第1题。 活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由。 解：能。如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取CD=BC，过点D作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是两座宝塔A，B间的距离。理由如下： 在△ACB和△ECD中， 因为∠ACB=∠ECD,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°, 所以△ACB≌△ECD，所以AB=ED。即DE的长就是两座宝塔A,B间的距离。 【对应训练】 如图，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F，且E，M，F在同一直线上，M恰好为BC的中点。在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗?请说明其中的道理。 解：测量出CF的长，即是B，E之间的距离。利用ASA（或AAS）判定△BME≌△CMF，从而得到BE=CF。 【教学建议】 教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性地进行讲解。 设计意图 进一步深化学生对三角形全等知识的理解和应用，提高学生利用三角形全等知识解决生活中实际问题的能力，锻炼学生的思维能力和培养学生举一反三、触类旁通的数学学习习惯。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 如何求不能直接测量的距离?依据是什么？方法是什么？ 【知识结构】 教学步骤 师生活动 【作业布置】 1.教材P112习题4.4第1，2，3题。 2.相应课时训练。 板书设计 4 利用三角形全等测距离 1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。 2.依据：全等三角形的性质。 3.方法：构造全等三角形。 教学步骤 师生活动 教学反思 本节课的教学重点是构造全等三角形解决实际生活中的“不可直接测量距离”问题。首先通过现实情境引入，让学生用角色模拟的方法在真实情境中解决问题，和同学之间进行自由而舒畅的交流活动，既激发学生的好奇心和求知欲，又使他们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力，培养成功感。 解题大招 利用三角形全等设计方案进行测量 利用全等三角形测两点间的距离时，测量方案不唯一，关键是要准确地建立数学模型，使测量易于进行。同时要注意测量方案的准确性与严谨性，如本例中易忽视“点A，C，E在同一直线上”这一条件，导致条件不严谨。 例 景新中学校园北面是“福强河”，河对岸的A处有一根灯柱位于点B的正北方向，如图所示。请你运用所学的判定三角形全等的知识，设计一个不过河便能测量A，B间距离的方案。 条件：可以使用标杆和皮尺等基本测量工具。 要求：①画出测量方案的示意图，并在图上标注必要的字母；②结合图形，尝试着说明方案的可行性。 解：方案如下：从点B沿正东方向到点C，在点C插一标杆，用皮尺测出BC的长；再继续向正东到点D，在点D插一标杆，使DC=BC；然后从点D向正南方向到点E，使点E，C，A在同一条直线上（即从点E看点A时被点C处的标杆遮挡住），在点E插一标杆，再用皮尺测出DE的距离即可得到A，B间距离。理由如下： 因为∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED。即测量出DE的距离就能得到A，B间的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $$