4.3.4 全等三角形性质与判定的综合教案 -2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第4课时 全等三角形性质与判定的综合 教学目标 课题 第4课时 全等三角形性质与判定的综合 授课人 素养目标 1.经历从全等三角形性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、说明，体会数学知识之间的联系和区别。 2.在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。 教学重点 全等三角形性质与判定。 教学难点 较复杂的全等三角形性质与判定的说理。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：问题导入，引出新课 【问题引入】 1.全等三角形的性质有哪些？ 全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.如图所示，添加什么样的三个条件能够使这两个三角形全等？ (1)在△ABC和△DEF中，因为AB=DE，BC=EF，AC=DF，所以△ABC≌△DEF(SSS)。 (2)在△ABC和△DEF中，因为∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，所以△ABC≌△DEF(ASA)。 (3)在△ABC和△DEF中，因为∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(AAS)。 (4)在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,∠B=∠E，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(SAS)。 【教学建议】 学生在已有的经验基础上很快得出答案，但是第2题的(2)(3)（4）答案不唯一，教师应鼓励学生大胆回答，并要给予肯定。 设计意图 通过一系列问题回忆学过的三角形全等的性质和判定条件，为本节课的学习做铺垫。 活动二：实践探究，获取新知 探究点 与三角形判定有关的推理 例（教材P104例1）如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD与△CDB全等吗?请说明理由。 问题1 观察△ABD与△CDB，要使这两个三角形全等，已知什么条件？隐含条件是什么？ 已知两条边AB=CD，隐含公共边BD=DB。 问题2 可以考虑根据哪个定理判定？还缺什么条件？ SAS，还缺两边的夹角，即∠ABD与∠CDB相等。 追问 如何得到∠ABD与∠CDB相等？ 【教学建议】 教师注意提醒学生：这里是逆着推理，执果索因，书写的时候需要倒过来写，由因到果。 设计意图 例题的设计主要是结合平行线的性质，利用三角形全 教学步骤 师生活动 等的条件判定两个三角形全等，对学生进行推理的思维训练和敢于尝试书写说理过程的勇气和信心的训练，为以后寻找几何问题的解题思路做准备。 问题3 如何将这个思考过程书写出来呢？ 解：因为AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠1=∠2。 在△ABD和△CDB中，因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ABD≌△CDB。 【对应训练】 教材P106随堂练习第1题。 活动三：典例精讲，升华提高 例 (教材P105例2)如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 (1)△AOD与△BOC全等吗?请说明理由。 (2)△ACD与△BDC全等吗?为什么? 解：(1）因为∠AOD与∠BOC是对顶角，根据“对顶角相等”，所以∠AOD=∠BOC。 在△AOD和△BOC中, 因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△AOD≌△BOC。 (2)由(1)可知，△AOD≌△BOC， 根据“全等三角形的对应边相等”，所以AD=BC。 因为OA=OB，OC=OD，AC=OA+OC，BD=OB+OD，所以AC=BD。 在△ACD和△BDC中，因为AD=BC，AC=BD，DC=CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ACD≌△BDC。 【对应训练】 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，点F在AC上，连接BF，DF，试说明：BF=DF。 解：在△ABC和△ADC中， 因为AB=AD，BC=DC，AC=AC， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ABC≌△ADC，所以∠BCF=∠DCF。 在△BCF和△DCF中，因为BC=DC，∠BCF=∠DCF，CF=CF， 根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△BCF≌△DCF，所以BF=DF。 【教学建议】 对于第（2）问，教师可拓展学生的思维，并向学生提问：你还能根据其他的判定条件，判断这两个三角形全等吗？学生说出方法，教师应给予鼓励。 例如：可根据△AOD≌△BOC得到AD=BC，∠A=∠B，再加上AC=BD，用SAS判定△ACD≌△BDC。 【教学建议】 教师点拨：寻找解决问题的思路方法可以从结论出发，结合已 设计意图 通过例题让学生认识到由全等三角形的判定得出两三角形全等，继而由全等三角形的性质得出边或角相等，并以此为条件，接着判定两三角形全等的解题过程，使学生能够灵活应用全等三角形的性质和判定，知 教学步骤 师生活动 识得到巩固和升华。 回顾·反思 说明一个结论正确与否时，需要给出充分的理由，你是如何找到说理思路的?对此你积累了哪些经验? 由学生小组交流讨论。 知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件，同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.全等三角形的性质是什么？ 2.全等三角形的判定条件有哪些？ 3.判定三角形全等时有哪些技巧？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P106～109习题4.3第11，16题。 2.相应课时训练。 板书设计 第4课时 全等三角形性质与判定的综合 1.性质。 2.判定。 教学反思 通过本节课的学习，学生重温了全等三角形性质以及判定条件SSS，ASA，AAS，SAS，具体体现在“寻找挖掘判定全等的条件”“证明两次全等”“利用全等证明线段相等”等等，在层层提问以及例题和对应训练的探索中提高了对知识的运用能力，逻辑思维能力，有条理地几何书写及表达能力。 解题大招 全等三角形的基本模型 例1 如图，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B=∠C，BD=CE。试说明： (1)OD=OE； (2)△ABE≌△ACD。 解：(1)在△BOD和△COE中， 因为∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BOD≌△COE(AAS)。 所以OD=OE。 (2)因为D,E分别是AB,AC的中点， 所以AD=BD=AB，AE=CE=AC。 因为BD=CE，所以AD=AE，AB=AC。 在△ABE和△ACD中，因为AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,所以△ABE≌△ACD(SAS)。 例2 如图，BD与EF相交于点O，OE=OF，OB=OD，AB=CD。试说明：AD=BC。 分析 先判定△BOE≌△DOF，可得∠ABD=∠CDB，再判定△ABD≌△CDB，即可得AD=BC。 解：在△BOE与△DOF中，因为OE=OF，∠BOE=∠DOF，OB=OD， 所以△BOE≌△DOF(SAS)，所以∠ABD=∠CDB。 在△ABD与△CDB中，因为AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=DB， 所以△ABD≌△CDB(SAS)，所以AD=BC。 培优点 利用全等三角形解决动点问题 例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。 (1)说明∠A=∠BCD。 (2)当点E运动多长时间时，CF=AB？ 解：(1)因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACD=90°。 因为CD为AB边上的高，所以∠A+∠ACD=90°，所以∠A=∠BCD。 (2)设点E运动ts时，CF=AB。 分两种情况讨论：①如图，当点E沿射线BC方向运动时。因为∠A=∠BCD，∠BCD=∠ECF，所以∠A=∠ECF。 在△CFE与△ABC中，因为∠CEF=∠ACB，∠ECF=∠A,CF=AB， 所以△CFE≌△ABC(AAS)，所以CE=AC=7cm， 所以BE=BC+CE=5+7=12(cm),所以t=12÷2=6(s)。 ②当点E沿射线BC的反向延长线运动时， 同理△CF′E′≌△ABC(AAS)，所以CE′=AC=7cm， 所以BE′=CE′-CB=7-5=2(cm),所以t=2÷2=1(s)。 综上所述，当点E运动6s或1s时，CF=AB。 方法总结：借助全等三角形解决动点问题，基本方法是化动为静，通过说明三角形全等，得到对应边相等。 学科网（北京）股份有限公司 $$