4.3.2 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等教案 -2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 教学目标 课题 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 授课人 素养目标 1.经历探索三角形全等条件“两角一边”的过程，体会操作、归纳获得数学结论的过程。 2.掌握判定三角形全等的“角边角”“角角边”条件。 3.能够利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等，解决实际问题，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值。 教学重点 掌握判定三角形全等的“ASA”和“AAS”条件。 教学难点 能够进行有条理的思考并进行简单的推理。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：回顾导入，引出新课 【回顾引入】 1.什么叫全等三角形? 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 2.我们已经学过了哪种判定两个三角形全等的方法? 边边边(SSS)。 3.由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢?每种情况下得到的三角形都全等吗? 这就是今天这节课我们将要探讨的问题！ 【教学建议】 教师待学生思考后可请代表发言。 设计意图 通过设置富有阶梯性的问题，引导学生思考，为学习新课做铺垫。 活动二：实践探究，获取新知 探究点1 “角边角”判定三角形全等 经过活动一中的讨论，我们知道了如果已知一个三角形的两角及一边，有以下几种情况： 师：它们能判定两个三角形全等吗？ 师：我们先来看第①种情况（“两角及两角所夹的边分别相等”）会怎样呢？ 操作1教师将学生分为几个小组，由小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。 【教学建议】 教师在教学中注意引导学生利用量角器、直尺、三角尺等各种工具画图，作出△A′B′C′，并与△ABC进行比较，最终形成三角形全等的判定方法——“ASA”。 设计意图 通过实践操作，使学生经历猜想、验证、得出结论的过程。在交流合作中 教学步骤 师生活动 探索出三角形全等的条件——两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，让他们感受成功的喜悦。培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力、组织语言及表达的能力。 （以下示例供教师参考：比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm） 问题1 你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 全等。 操作2 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 全等。 由此我们可以得出结论： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,AB＝A′B′，∠B＝∠B′，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△A′B′C′。 问题2 回顾上述作图过程，你能总结出“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗？ 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB。 解：在△ABC和△DCB中， 因为∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△ABC≌△DCB。 【教学建议】 教学中教师提示学生类比“SSS”归纳得到“ASA”。 教学步骤 师生活动 【对应训练】 教材P102随堂练习第1题。 设计意图 探究点2 利用“角角边”判定三角形全等 问题 第②种情况：如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“探究点1”中的条件吗？与同伴进行交流。 由三角形内角和定理可得出第三个角的度数也是相等的，这样便可以转化成已知两角及其夹边的情况，因此已知两角及一角的对边相等的两个三角形也是全等的。 结论： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,∠B＝∠B′ ，AC=A′C ′，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。 例2 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，试说明：AB=AD。 解：因为AB⊥BC，AD⊥DC，所以∠B=∠D=90°。 在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC， 根据三角形全等的判定条件“AAS”， 所以△ABC≌△ADC，所以AB=AD。 【对应训练】 如图，AB∥CD，且AB=CD，AC与BD相交于点E，则△ABE≌△CDE的依据是（ D ） A.只能用ASA B.只能用SSS C.只能用AAS D.用ASA或AAS 【教学建议】 将“两角及其中一角的对边”转化为“两角及其夹边”的情况，体现转化和推理的思想。教学时，应鼓励学生用自己的语言表达思考过程，并与同伴进行交流。 进一步渗透分类和转化的数学思想，完善两角及一边的讨论，并用例题使学生能在具体题目中掌握三角形全等的条件“角角边(AAS)”的使用，并能运用相应的条件进行有条理的思考及简单的推理。 活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，∠ACB=∠B=90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD=AE。试说明：AC=BC。 解：因为∠ACB=90°，CF⊥AE， 所以∠ACF+∠BCD=∠ACF+∠CAF=90°。 所以∠BCD=∠CAF，即∠CAE=∠BCD。 在△ACE和△CBD中，因为∠ACE=∠B，∠CAE=∠BCD，AE=CD， 根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ACE≌△CBD。所以AC=BC。 【教学建议】 教师提示学生找等角的几种方式： ①公共角相等； ②对顶角相等； 设计意图 通过例题和对应训练进一步巩固新知，使学生掌握用垂直、互余、平行、等量代换等找等角的方法，再用两角一边判定两个三角形全等。 【对应训练】 如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD。试说明：AC=CE。 解：因为AB∥DE，所以∠B=∠D。 因为EC⊥BD，∠A=90°，所以∠DCE=∠A=90°。 在△ABC和△CDE中， 因为∠B=∠D，AB=CD，∠A=∠DCE， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△ABC≌△CDE。所以AC=CE。 ③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等； ④同角或等角的余(或补)角相等； ⑤由角平分线的定义得出角相等； ⑥由垂直的定义得出角相等； ⑦由平行线得到同位角或内错角相等； ⑧全等三角形的对应角相等。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.通过两角及其夹边判定三角形全等的定理是什么？ 2.已知三角形的两角及其夹边，如何用尺规作这个三角形？ 3.通过两角及一角的对边判定三角形全等的定理是什么？它是如何通过转化得出的？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P106～109习题4.3第2，3，4，7，14题。 2.相应课时训练。 板书设计 教学反思 本节课充分发挥学生的积极性、主动性，学生通过动手操作、对比、讨论、合作学习等形式对全等三角形的条件“ASA”和“AAS”进行探究，时间充足，效果较好，能分辨出这两个定理的区别，在探究过程中，加深了学生对定理的理解和掌握。让学生大胆想象、探索、应用，使更多的同学获得锻炼的机会。 解题大招一 补充条件的开放性题目 方法指引：补充条件后，可根据已学过的判定三角形全等的方法SSS，ASA，AAS判定两个三角形全等。 例1 如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，请你补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 OB=OC（答案不唯一） (填一个即可)。 例2 如图，已知点F，E分别在AB，AC上，且AE=AF，请你补充一个条件： ∠B=∠C(答案不唯一) ，使得△ABE≌△ACF。(只需填写一种情况即可) 解题大招二 三角形全等的判定 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 例3 如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE。试说明：BD=CE。 解：因为AB⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAC=∠DAE=90°。 所以∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD。所以∠CAE=∠BAD。 在△ABD和△ACE中， 因为∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE， 根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABD≌△ACE。所以BD=CE。 培优点 全等三角形类比探究题 例 如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E。 (1)请问BD=CE+DE成立吗?为什么? (2)若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置(BD＜CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何?请说明理由。 解：(1)成立。理由如下： 因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。 因为∠BAC=90°，∠ADB=90°， 所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°， 所以∠ABD=∠CAE。 在△ABD和△CAE中，因为∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA， 所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE。 因为AE=AD+DE，所以BD=CE+DE。 (2)BD=DE-CE。理由如下： 因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。 又因为∠BAC=90°，所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，所以∠ABD=∠CAE。 在△ABD和△CAE中，因为∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE,AB=CA， 所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE，所以BD=AE=DE-AD=DE-CE。 学科网（北京）股份有限公司 $$