4.1.3 三角形的高、中线与角平分线教案 -2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第3课时 三角形的高、中线与角平分线 教学目标 课题 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 授课人 素养目标 1.认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 2.认识三角形的重心，了解三角形三条角平分线和高所在直线分别交于一点的性质。 3.通过操作、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展学生的几何直观。 教学重点 三角形的高、中线、角平分线的定义及其性质，会画任意三角形的高。 教学难点 了解三角形的三条角平分线、三条中线都分别在三角形内部交于一点，画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：设置问题，导入新课【 【问题引入】 1.什么是垂线，线段的中点，角的平分线？ 2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置,说说你的看法，并与同伴进行交流。今天这节课就让我们一起来研究一下三角形里面的几条重要线段！ 【教学建议】 第1问教师可结合图示提示学生。 第2问教师要提示学生以第1问为启发进行思考。 设计意图 设置这两个问题是回忆与本节课相关的旧知，为学习本节内容做铺垫。 活动二：实践探究，获取新知 探究点1 认识三角形的高、中线、角平分线 问题1 观察活动一中第2问的图形，当点D运动到AD垂直于BC时，线段AD叫什么呢？ 概念引入： 【教学建议】 教师提示：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 设计意图 由一个图形的动态探究让学生认识三角形的高、中线和角平分线。学生 教学步骤 师生活动 经历探究的过程，发现知识，学习知识，掌握知识，这样能让学生感受到知识的形成过程，印象深刻。 问题2 观察活动一中第2问的图形，当点D运动到BC的中点时，线段AD叫什么呢？ 概念引入： 问题3 观察活动一中第2问的图形，当点D运动到AD平分∠BAC时，线段AD叫什么呢？ 概念引入： 例 如图，在△ABC中，AD是高，∠B=40°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数。 解：因为AD是高，所以∠ADB=90°。 因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50°， 所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-20°=30°。 【对应训练】 1.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长。 解：因为AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线， 所以BD=CD，DE=EC。 因为DE=2cm，所以EC=2cm，BD=CD=4cm。 所以BE=BD+DE=6cm，BC=2BD=8cm。 2.教材P92随堂练习第1题。 【教学建议】 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线则是一条射线，这是二者的重要区别，是对三角形角平分线概念理解的关键，也是初学者容易混淆之处，教学过程中要注意提醒学生。 设计意图 探究点2 三角形三条中线、角平分线和高所在直线分别交于一点 问题1 在纸上任意画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流。 发现：三条中线交于一点。 【教学建议】 画三角形的中线，首先遇到的问题是如何确定对边的中点，既可以通过测量， 通过动手操作，让学生自主探究归纳出三角形 教学步骤 师生活动 三条中线交于一点、三条角平分线交于一点、三条高所在的直线交于一点等性质。丰富学生对内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念。 问题2 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并与同伴进行交流。 发现：钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系，即三条中线交于一点。 问题3 如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片。怎样确定这个点的位置呢？请大家试一试！ 我们发现用铅笔支撑三条中线的交点就能成功。这个点叫什么呢？ 归纳总结： 三角形的三条中线交于一点。这个点称为三角形的重心。 问题4 请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点。三角形的三条高呢？你是怎么做的？与同伴进行交流。 教师给充足的时间让学生分组操作、思考和交流。如学生遇到困难，可提示引导如下： 探究三条角平分线：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 （1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ （2）你能用折纸的办法得到它们吗？ （3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流。 也可以用折纸的方法对折得到，教学中要鼓励学生积极探索，不要限制学生的方法，引导学生在充分理解的基础上归纳出结论。 关于三角形三条中线交于一点的结论，教科书是引导学生通过画图、折纸直观感知，教学时要确认学生可以自行选择不同形状的三角形进行验证。 教学步骤 师生活动 结论：三角形的三条角平分线交于一点。 探究三条高： 每人准备一个锐角三角形纸片。 （1）你能画出这个三角形的三条高吗？ （2）这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流。如果换成直角三角形、钝角三角形，又会是怎样的情形？ 结论：三角形的三条高所在的直线交于一点。 【对应训练】 教材P92随堂练习第2题。 【教学建议】 直角三角形的高，特别是两直角边上的高，是学生学习的难点，因此让学生充分讨论交流，教师适时引导。对于高的画法，若需要强化练习可以参考备课素材。 活动三：典例精讲，升华提高 【对应训练】 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=88°，∠B=50°，求∠DAE的度数。 解：因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°。 所以∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°。 因为AE是△ABC的角平分线， 所以∠BAE=12∠BAC=12×88°=44°， 所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=4°。 【教学建议】 教师引导学生厘清已知条件，提炼出解题关键点，即∠ADB=180°-∠B-∠BAD。 设计意图 设置此例题和对应训练一方面巩固所学的新课内容，一方面提高学生对角平分线和高的综合型题的分析能力、解决问题的能力。 教学步骤 师生活动 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是三角形的高？什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？ 2.三角形的三条中线有怎样的位置关系？什么是三角形的重心？ 3.三角形的角平分线是否交于一点？三角形的三条高呢？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P92～94习题4.1第6，7，8，13，14，15题。 2.相应课时训练。 板书设计 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 1.高。 2.中线→重心。 3.角平分线。 教学反思 教学反思本节课通过有效的问题探究使学生掌握三角形的高、中线、角平分线的概念和相关性质，并不失时机地进行了夯实，起到了较好的效果。在实际教学中注意了分层教学，设计中有两个环节来体现，一个是针对优生的知者加速，另一个是针对学困生的补读帮困，两个环节的设置兼顾到了每一个层次的学生，让课堂效率进一步得到了提升。 解题大招一 三角形高的画法 (1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图。 (2)注意：高是线段，垂线是直线。 (3)三角形任意一边上的高必须满足：①过该边所对的顶点；②垂足必须在该边或该边的延长线上。（标明垂直的记号和垂足的字母） 解题大招二 与中线、高有关的面积问题 1.与中线有关的面积问题 三角形的任意一条中线，都能把三角形分成面积相等的两部分。应用此结论，可解决有关三角形的面积问题。 例2 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是4cm2，那么△BEC的面积是（ B ）。 A．2.5cm2 B．2cm2 C．1.5cm2 D．1cm2 思路分析： 2.与高有关的面积问题（等面积法） 可利用面积相等作桥梁(但不求出面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“等面积法”。 例3 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，且AD=4。若点P在边AC上移动，则BP的最小值为。 解析：当BP⊥AC时，BP的值最小，此时S△ABC=BC·AD=AC·BP，所以BP===。 培优点 与中线有关的周长问题 例 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线把该三角形的周长分为13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长。 分析：要分腰比底边长和腰比底边短两种情况进行讨论。 解：设在△ABC中，BD是AC边上的中线。分两种情况讨论： 方法总结：在几何问题中，若是以文字叙述的形式给出的，则要根据文字叙述画出符合条件的图形再求解，易出现的错误是考虑问题不全面，画图形时漏掉了符合题意的不同情况。 学科网（北京）股份有限公司 $$