4.1.2三角形的三边关系教案 -2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第2课时 三角形的三边关系 教学目标 课题 第2课时 三角形的三边关系 授课人 素养目标 1.会按边对三角形进行分类。 2.通过度量三角形的边长，理解并掌握三角形的三边关系。 3.通过探究三角形三边关系的过程，培养学生的逻辑思维能力，体会数学知识的严密性。 教学重点 三角形三边关系的探究和归纳。 教学难点 应用三角形的三边关系解决简单的实际问题。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：回顾导入，引出新课 【回顾引入】 三角形按角分为哪几类？ 如果三角形按边来分类，大家想一想可分为哪几类呢？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！ 【教学建议】 教师提出问题，学生思考后由学生代表回答。 设计意图 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法。 活动二：实践探究，获取新知 探究点1 等腰（边）三角形及三角形按边分类 问题1 观察图中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？ 三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等。 问题2 那么有两边相等的三角形是什么三角形呢？三边都相等的呢？ 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，如图。 【教学建议】 1.教师可结合图形细述： 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 2.顶角是直角的等腰三角形是等腰直 设计意图 通过对等腰三角形的认识，引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类的方法，进一步体现数学分类 教学步骤 师生活动 的思想。 三边都相等的三角形叫作等边三角形，如图。 问题3 等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 等边三角形是一种特殊的（腰与底边相等的）等腰三角形。 问题4 你能按照边的关系对三角形进行分类吗？ 例1 下列说法正确的是（ C ） ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④ 【解析】①错误，说反了，等边三角形是等腰三角形；②错误，等腰三角形涵盖了等边三角形；③正确；④正确。 【对应训练】 如图表示三角形的分类，则Q表示的是 等边三角形 。 角三角形。它属于等腰三角形，同时也属于直角三角形。 【教学建议】 教师提醒学生：等腰三角形不一定是等边三角形。 设计意图 探究点2 三角形的三边关系 问题1 节日的晚上，房间内亮起了彩灯，如图，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说说你的理由。 装有黄色彩灯的电线更长。理由由学生自由作答。 【教学建议】 学生在探究两边之和与第三边的数量关系时，可能对具体的三角形采用测量等方法，教师应该予以肯定， 设计“比较彩灯电线长度”的情境，目的是引出三角形三边之间 数量关系的问题，然后通过测量、计算、比较大小及小组讨论，发现三角形的任意两边之差小于第三边这一结论，最后展示结论。 整个探究过程旨在引导学生通过自主探究、合作交流，以两点之间线段最短为依据，发现结论，并让学生熟记、掌握。 问题3 分别量出下图中三个三角形的三边长度，并填入空格内。 根据你的测量结果，计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试。 空格由学生填写。 问题4 如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧，与边BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢? 有，DC=BC-AB。 追问 能用圆规直观地说明BC-AB与AC之间的大小关系吗？改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论？ 如图，因为DC=BC-AB，以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，很容易就发现AC＞CD′，即AC＞BC-AB。 教师归纳结论： 三角形的任意两边之差小于第三边。 例2 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三 角形吗?为什么?用长度为13cm的木棒呢? 解：用长度为2cm的木棒时，由于2+5=7＜8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形；用长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。 但是又不要停留在几何直观和操作测量阶段，此时可以提出问题，将学生对问题的思考引向深处。例如：你的结论是通过测量几个三角形得出的，对于任意一个三角形，你能肯定它的任意两边之和都大于第三边吗？能说明你的理由吗？从而将学生对问题的思考从特殊推广到一般，从直观提升到推理。 其间可设置必要的过渡，引导学生回忆七年级上册学过的“两点之间线段最短”的结论，并鼓励他们利用这个结论说明自己的发现。 【教学建议】 对于第二个结论，学生只要能通过测量、比较等操作活动，归纳得出结论即可，不必用不等式的性质说明。但教师可在引导学生对结论进行验证的基础上，指出这个结论对 教学步骤 师生活动 思考 如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度的取值范围是什么? 它的长度的取值范围是大于（注意：不能等于）原两根木棒长度之差，小于（注意：不能等于）原两根木棒长度之和。 【对应训练】 一般三角形也成立。 【教学建议】 怎样才能满足结论中的“任意”二字?是否需要将任意两边都相加(或相减)呢?如本例中为什么只要考虑2+5的和与8比较，为什么不计算2+8或5+8的和呢?教学时教师可引导学生提出问题，鼓励学生开展充分的讨论，最终通过本例的解答得出一般的结论，即：只要将较短的两边相加，或将最长的边与最短的边相减，再与第三边比较大小即可。 活动三：典例精讲，升华提高 探究点3 三角形的分类及直角三角形的性质 例 等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是 10cm或11cm 。 思路分析： 【解析】3+3+4=10（cm）或3+4+4=11（cm）。 【对应训练】 1.等腰三角形一腰长为3cm，底边长为4cm，则它的周长是 10cm ； 2.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是 19cm 。 【教学建议】 若给出等腰三角形的一边不确定是腰还是底边时需要分类讨论，并验证所求三边长是否满足三角形的三边关系，不满足的要舍去。 设计意图 例题和对应训练通过对比讲练，掌握与等腰三角形边有关计算的各种情形。 教学步骤 师生活动 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是等腰三角形？什么是等边三角形？ 2.三角形如何按边分类？ 3.三角形的三边有怎样的关系？教学步骤师生活动 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P92～94习题4.1第5，11，12题。 2.相应课时训练。 板书设计 第2课时 三角形的三边关系 1.三角形按边分类。 2.三角形的三边关系。 教学反思 本节课通过回顾三角形按角分类，让学生认识到三角形还可以按边分类，通过提问探究并掌握等腰三角形、等边三角形等概念，通过操作测量进一步研究三角形的两个新特征——即“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”。教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的解题思路和解题方法，并引导学生在与他人的交流中比较解题方法的异同，有利于提高学生的逻辑思维水平。 解题大招一 确定第三边的长 另两边长的差(长边长-短边长)＜第三边的长＜另两边长的和，若有附加条件，则再根据附加条件最终确定第三边的长。 例1 一个三角形两边的长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（ B ）。 A．3cm或4cm B．4cm或6cm C．4cm D．2cm或6cm 思路分析： 解析：设三角形第三边的长为x cm，则5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，大于2且小于8的整数有3，4，5，6，7。因为三角形的周长x+3+5=x+8是偶数，所以x也是偶数，所以x的值只能是4或6，所以三角形第三边的长是4cm或6cm。 解题大招二 与等腰三角形周长有关的分类讨论 已知等腰三角形的一边长和周长求其他两边长，因为给出的边长不确定是等腰三角形的腰还是底，所以需要分两种情况讨论。 例2 已知等腰三角形的周长为23cm，一边长为5cm，求另两边的长。 解：分两种情况讨论： ①当5cm长的边是底边时，设腰长为xcm，则5+x+x=23，解得x=9。 因为长分别为5cm，9cm，9cm的三条线段能构成三角形，所以此时三角形另两边的长均为9cm。 ②当5cm长的边是腰时，则另一腰长也是5cm，底边长为23-5-5=13(cm)。 因为5+5＜13，所以长分别为5cm，5cm，13cm的三条线段不能构成三角形，假设不成立，所以此情况不存在。 故该等腰三角形另两边的长均为9cm。 培优点 利用三角形的三边关系进行化简计算 例题可扫描二维码下载获取。 学科网（北京）股份有限公司 $$