精品解析：广东省兴宁市第一中学2024—2025学年上学期九年级数学中段试题

兴宁一中2024到2025上期北师大版九年级数学中段试题 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. 4 D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定 与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（ ） A. 21个 B. 15个 C. 12个 D. 9个 9. 如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交 于点G，下列结论：①；②G为 中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 10. 已知关于 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 11. 一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 12. 已知点 是线段 的黄金分割点，若，则线段 的长为____． 13. 如图，在 中，，，于点 ，于点 ， 是 的中点，则 的周长是____． 14. 如图，在中，C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，且，则___________． 三．解答题（一）（本题有 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 15. 按要求解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 16. 已知平行四边形ABCD，AC是它的对角线． （1）用尺规作AC的垂直平分线EF，垂足为O，EF交AB于点E，交CD于点F（不写作法，但要保留痕迹）； （2）连接AF、CE，求证：四边形AFCE是菱形； 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出 的位似图形，使它与 的相似比为． （2）在（1）的条件下，若为 内部的一点，则点 在内部的对应点的坐标为 ． 四、解答题（二）（本题有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 18. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》， ：《九章算术》， ：《海岛算经》， ：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和 ：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 19. 如图，线段， 与 交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交 于点F，如果，，求 的长． 20. 如图，（）是一张周长为36厘米的长方形纸片，设长方形纸片的长 为x厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形． （1）如果剪去四个角剩下的纸片的面积为，请用含有x的式子表示（结果要求化简）； （2）如图，沿虚线将剪去四个角剩下的纸片折成一个无盖的长方体纸盒，如果所得的长方体纸盒的体积是48立方厘米，求 的长． 五、解答题（三）（本题 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分， 共 27 分） 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若 的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图2，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若 的面积为40，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 22. 【问题背景】 （1）如图1，在 中，D为 上一点，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在 中，，， 面积为6，求证：． 【拓展创新】 （3）在 中，， 面积为，D为 外一点，，，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中2024到2025上期北师大版九年级数学中段试题 一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各组线段中是成比例线段的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，4cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，3cm 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，∵，∴本选项中这组线段不是成比例线段； B选项中，∵ ，∴本选项中的这组线段是成比例线段； C选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段； D选项中，∵，∴本选项中的这组线段不是成比例线段； 故选：B． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 3. 任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．根据题意，列表得出所有等可能的结果，再分别找出符合题目选项的情况，逐个计算概率再比较大小即可解答． 【详解】解：列表得： 由表格得，共有36种等可能的结果，其中和为6的情况共有5种，和为7的情况共有6种，和为8的情况共有5种，和为9的情况共有4种， 和为6的概率为，和为7的概率为，和为8的概率为，和为7的概率为， ， 和为7的概率最大． 故选：B． 4. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入，即可求出的值． 【详解】解：把代入得， ． 故选：D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定 与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键． 【详解】解：，四边形 是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：因为，此时方程没有实数根，故本选项不符合题意； B、解得：，有两个相等实数根，故本选项符合题意； C、解得：，有两个不相等实数根，故本选项不符合题意； D、当时，此时方程没有实数根，故本选项不符合题意； 故选：B 8. 在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（ ） A. 21个 B. 15个 C. 12个 D. 9个 【答案】A 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色乒乓球x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3， 解得x＝21． 故选：A． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 9. 如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交 于点G，下列结论：①；②G为 中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点M，可证得，可得，再证明，可得，故①正确；分别证得，，可得，即G为 中点，故②正确；再根据，可得，故③正确；设，则， 分别求出，，故④正确，即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即G为 中点，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 10. 已知关于 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据判别式判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解与判别式之间的关系． 11. 一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 由红球的个数及球的总数，根据概率的计算公式即可． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 12. 已知点 是线段 的黄金分割点，若，则线段 的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据黄金分割点，若，即可求解． 【详解】解：∵点 是线段 的黄金分割点，， ∴，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查黄金分割点的定义，线段的比例，掌握线段的比例关系是解题的关键． 13. 如图，在 中，，，于点 ，于点 ，是 的中点，则 的周长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是 的中点， ， ，， 点 是 的中点， ， ， 的周长． 故答案为：10． 14. 如图，在中，C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，且，则___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．由C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，可得到，，再利用相似三角形的面积比是相似比的平方，分别求出和的面积，即可解答． 【详解】解：C、E 和 D、F 分别是、的三等分点， ，，，， ，， 又， ，， ，， ，， ． 故答案为：30． 三．解答题（一）（本题有 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 15. 按要求解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16. 已知平行四边形ABCD，AC是它的对角线． （1）用尺规作AC的垂直平分线EF，垂足为O，EF交AB于点E，交CD于点F（不写作法，但要保留痕迹）； （2）连接AF、CE，求证：四边形AFCE是菱形； 【答案】（1） 如图， 为所作； （2） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， 是 的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 与 互相垂直平分， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作 的垂直平分线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到，，则可判断，所以，然后利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握5种基本作图方式． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出 的位似图形，使它与 的相似比为． （2）在（1）的条件下，若为 内部的一点，则点 在内部的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形作图，位似的性质． （1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由位似的性质，将的横、纵坐标乘以 ，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 在（1）的条件下，若为 内部的一点，则点 在内部的对应点的坐标为， 故答案为：． 四、解答题（二）（本题有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 18. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》， ：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和 ：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和 ：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 19. 如图，线段， 与 交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交 于点F，如果，，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得，得到，即可得证； （2）由可得，得到，同理可得，进而得到，代入数据即可求出 的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 的长为6． 20. 如图，（）是一张周长为36厘米的长方形纸片，设长方形纸片的长 为x厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形． （1）如果剪去四个角剩下的纸片的面积为，请用含有x的式子表示（结果要求化简）； （2）如图，沿虚线将剪去四个角剩下的纸片折成一个无盖的长方体纸盒，如果所得的长方体纸盒的体积是48立方厘米，求 的长． 【答案】（1） （2）厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． （1）设长方形纸片的长 为x厘米，则宽 为厘米，根据长方形的面积减去4个正方形的面积，即可求解； （2）设长方形纸片的长 为x厘米，根据题意表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设长方形纸片的长 为x厘米，则宽 为厘米， ∴ 【小问2详解】 解：依题意， 解得： 又∵，即 ∴厘米 五、解答题（三）（本题 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分， 共 27 分） 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若 的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图2，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若 的面积为40，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将 纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 【答案】（1）3；9 （2）18 （3）周长为70，面积是300 【解析】 【分析】（1）根据折叠得到是 中点，过点作于 ，根据△ 的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出 的长，根据平行四边形的面积求出 的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点 、分别是 、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据 、之间的数量关系，利用勾股定理求出 、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ，点是 中点， ， 如图，过点作于 ，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；9； 【小问2详解】 解：由折叠可知：，， ， 同理可知：，， 矩形的面积为：， ， 矩形的周长； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠可知：点 、分别是 、的中点， ，， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 22. 【问题背景】 （1）如图1，在 中，D为 上一点，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在 中，，， 面积为6，求证：． 【拓展创新】 （3）在 中，， 面积为，D为 外一点，，，直接写出 的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过B作于E，如图： ∵， ∴， ∵ 的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）过B作于E，证明，进而得到，即可得出结论； （3）过C作 交 延长线于E，过D作于F，于G，设，根据等腰三角形的性质结合勾股定理得到：；证明四边形为矩形，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理得到，联立两个等式，求出 的值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过C作 交 延长线于E，过D作于F，于G，如图： 设， ∵， ∴x， 由勾股定理得：①， ∵ 的面积为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得：②， 将①代入②中得： ， ∴③， 将③代入①得：， 解得：或， ∵x， ∴， 即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $