精品解析： 安徽省蚌埠市固镇县固镇县实验初级中学2024—2025学年上学期九年级第一次模拟预测数学试题

2024-2025学年蚌埠市固镇县实验中学九年级上学期第一次模拟测试卷 数学学科 本卷共三大题，21小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知，且，那么k的值是（ ） A. 2 B. C. 2或0 D. 2或 3. 如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在中，分别是边上的高，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 8. 有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A. B. C. D. 10. 如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（ ） A. 50 B. 54 C. 60 D. 63 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知角α，β为锐角，，,则________ 12. 函数的最小值是_________ 13. 已知实数满足，则 ________ 14. 正方形中，E，F分别是的中点，则_________ 15. 计算： _______ 16. 已知，则a的值为 __________． 三、解答题（本题5小题，共70分） 17. “学科素养”展示活动中，某区教体局决定在甲、乙两校举行“学科素养”测试，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分，80分，90分，100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等，现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图∶ （1）甲校选手所得分数的中位数是 ，乙校选手所得分数的众数是 ； （2）请直接在上图中补全条形统计图； （3）比赛后，教体局决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，求所选两位选手来自同一学校的概率． 18. 因式分解 （1） （2） 19. 已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证： （1）； （2）． 20. 已知二次函数的图象过三点 （1）求函数的解析式； （2）问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 21. 已知抛物线 （1）设P为抛物线上任意一点，，过P作直线的垂线，垂足为Q，求证：； （2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且的中点为，求直线l的解析式； （3）求函数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年蚌埠市固镇县实验中学九年级上学期第一次模拟测试卷 数学学科 本卷共三大题，21小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 2. 已知，且，那么k的值是（ ） A. 2 B. C. 2或0 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 【详解】解：①当时，由等比性质可得： 即：； ②当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 3. 如图，是以O为圆心的半圆的直径，A是延长线上一点，过A点的直线交半圆于B，E两点，B在A，E之间，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接，可推出，，根据，得，进而得，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 4. 如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数中的几何意义，四边形的面积为矩形的面积减去三角形与三角形的面积，根据反比例函数中的几何意义，其面积为． 【详解】解：根据题意可得四边形的面积， 由反比例函数中的几何意义，可知其面积为． 故选：A． 5. 如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系． 由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∵两个三角形有公共底，且面积相等， ∴高相等， ∴， 从而可得：， ∴， 又， ， 即， 故选：C． 6. 在中，分别是边上的高，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，继而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 、分别是、边上的高， ， ， ∴ 又， ， ， 故选：D． 7. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上， ∴＝﹣+， ∴a﹣b＝﹣c， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， ∴（﹣c）2+2×8＝c2， 解得c＝2， 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键． 8. 有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，利用直接开平方法求解；对于②，解分式方程中，最后需要检验增根；对于③，先写出逆命题，再判断；对于④，根据一元二次方程方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：①若，则，故①错误，是假命题，不符合题意； ②， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解， 故②错误，是假命题，不符合题意； ③命题“若，则”的逆命题为“若，则”这是错误的，由于时，不成立，故③错误，是假命题，不符合题意； ④若一元二次方程的两根是1和2，则，， ∴ ∴方程化为， 即 ， ∴， ∴④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和正确，是真命题，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，真假命题和逆命题，解分式方程，不等式的性质，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题建立函数关系．本题的关键在于理解余数大于6时要增选一名代表这个条件，通过对取整函数的性质和实际情况的分析，找到合适的函数表达式． 【详解】根据题意，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，也就是当除以10的余数大于等于7时，代表人数会比多1， 可以这样考虑，为了满足这个条件，我们可以先把班级人数加上3，此时当除以10的余数大于等于7时，除以10就会进一位，即代表人数为， 所以各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系可以表示为． 故选：B． 10. 如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（ ） A. 50 B. 54 C. 60 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：设，由等积法可知：， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 联立①②可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知角α，β为锐角，，,则________ 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的外角性质，熟练掌握知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． 构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于，，，则设，则，再由同角三角函数值相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于， ∵， ∴，， 则设， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 函数的最小值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数求最值，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点，利用换元法求解是解题本题的关键． 先将函数化为，令，则，那么化为求最值即可． 【详解】解： ， 令， ∴， ∴， 即， 可求函数的对称轴为直线：， ∵， ∴当时，函数取得最小值为：， ∴函数的最小值为， 故答案为：． 13. 已知实数满足，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、分式的求值、完全平方公式、因式分解等知识点，令，可推出；根据可得出，据此即可求解； 【详解】解：令，则， ∴， 则，即， 整理得：， ∴， ∴或； 当时，，解得：， 经检验，是方程的根； 当时，，此种情况不成立； 综上所述，， 故答案为： 14. 正方形中，E，F分别是的中点，则_________ 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 连接，过点于点G，设正方形的边长为，由勾股定理得，，设，则，则由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点于点G， 设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 计算： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方和差公式的逆用，以及求一个数的立方根，根据，，即可求解； 【详解】解：∵， ， ∴原式 故答案为： 16. 已知，则a的值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（本题5小题，共70分） 17. “学科素养”展示活动中，某区教体局决定在甲、乙两校举行“学科素养”测试，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分，80分，90分，100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等，现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图∶ （1）甲校选手所得分数的中位数是 ，乙校选手所得分数的众数是 ； （2）请直接在上图中补全条形统计图； （3）比赛后，教体局决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，求所选两位选手来自同一学校的概率． 【答案】（1）90，80 （2） 补全统计图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图，中位数和众数相关知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数； （2）根据（1）中求出的数据即可补全统计图； （3）画树状图（甲乙各有2名学生得100分）展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：设甲校100分有x人， 则， 解得：， 经检验，是该方程的解，且符合题意， 即甲校100分有2人， ∴甲校派人， 那么甲校选手所得分数的中位数为第6和第7人分数的平均数，从甲校统计图可得第6和第7人得分90分，故甲校选手所得分数的中位数为90； 从乙校选手扇形统计图可得成绩为80分的占比最高，则众数为80， 故答案为：90，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图为：（甲乙各有2名学生得100分） 共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4， 所以所选两位选手来自同一学校的概率=． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式进行正确的变形，注意分解要彻底； （1）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解； （2）利用因式分解法，将原式进行正确的变形，即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 19. 已知正方形 中，为 垂直平分线上一点，， 关于直线 对称，和 相交于点，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：设垂直平分线交于点，交于点，连接， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 由（）得：， ∴点以点为圆心，长度为半径的圆上， 延长交圆于点，连接， ∴， ∴， ∴为直径， ∴点三点共线， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）设垂直平分线交于点，交于点，连接，先证明垂直平分，则，，由正方形的性质得，，，证明，再由垂直平分线的性质可得，，证明，则，然后通过角度和差和三角形的内角和定理即可求证； （）连接，交于点，则有，又，可以得出点以点为圆心，长度为半径的圆上，延长交于点，连接，则，所以，证明点三点共线，然后证明四边形是正方形，最后根据正方形的性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，四点共圆，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 已知二次函数的图象过三点 （1）求函数的解析式； （2）问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点解题． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过， ∴， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 对于，对称轴为直线， ∴①当时，函数在范围内，随增大而减小， ∴当时，，时，， ∴，， 两式相减得：， ∴或，均不符合题意，舍； ②当时，函数在范围内，随增大而增大， ∴当时，，时，， ∴，， 解得：或；或， ∴满足题意得话：，； ③当时， 此时当时，， 解得：，不符合题意，舍， 综上所述：，． 21. 已知抛物线 （1）设P为抛物线上任意一点，，过P作直线的垂线，垂足为Q，求证：； （2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且的中点为，求直线l的解析式； （3）求函数的最小值． 【答案】（1） 证明：设， 则，而， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据两点间距离公式表示，以及，即可证明； （2）设直线：，则联立直线和抛物线表达式得到 ，则，由的中点为得到，将点代入即可求解； （3）取点，设，则，而，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设直线：， 则联立直线和抛物线表达式：， ∴， 则， ∵的中点为 ∴， 将点代入得：， ∴， 解得：， ∴直线：； 【小问3详解】 解：取点，设， 则， 由（1）可知， ∴ 由（1）可知， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： ∴函数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及两点间距离公式，三角形的三边关系求最值，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与抛物线的交点问题，难度较大，解题的关键在于转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $