精品解析：山东省淄博市高新区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 甲骨文是中国的一种古代文字．如图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，则边的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 4. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为3，4，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ） A. 10 B. 100 C. D. 6. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116…，若n为整数，且n < <n+1，则n的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 8. 如图，，点在线段上，，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 小颖每天从学校步行回家，如图为小颖离家的距离（米）与时间的（分钟）的函数图象，根据图象给出的信息，给出以下结论：①她在前12分钟的平均速度是70米/分钟：②她在第19分钟又回到学校；③她在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④她在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是______． 12. 若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 13. 若点和在一次函数的图象上，则______（用“”“”和“”连接） 14. 如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 17 如图，已知，用直尺和圆规作，使，射线与射线相交于点．（不写画法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，是垂直平分线． （1）若，的周长是13，求的周长 （2）若中，，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）分别画出关于轴、轴对称的图形和； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 20. 春节临近，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果销售，甲种水果的售价为20元／千克，乙种水果的售价为25元／千克，其中，甲种水果每千克的进价比乙种水果每千克的进价少4元．已知购进20千克甲种水果和16千克乙种水果所花的钱数相等． （1）求甲种水果的进价； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果重量不低于75千克，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； （2）如图3，在中，是边上的高，求的值； （3）如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 22. 如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． （1）求大小（用含的代数式表示）； （2）连接，求的度数； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 23. 直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）在轴上方存在点，便以点为顶点三角形与全等，画出并求出点的坐标； （3）若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：2，，，中，是无理数的是； 故选D． 2. 甲骨文是中国的一种古代文字．如图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义，结合图形可知：文，多，友，化，四个字的甲骨文，最接近轴对称图形的是：文； 故选：A． 3. 已知在中，，则边的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系的计算是解题的关键． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴的长可能是， 故选：C ． 4. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为3，4，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，以及第二象限的点的符号特征，进行求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴，轴的距离分别为3，4， ∴， ∴点的坐标为； 故选C． 5. 如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ） A. 10 B. 100 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理结合圆的面积公式，推出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， 由题意，得：， ∴； 故选B． 6. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线所过象限，判断的符号，根据图象过二，三，四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：直线经过二，三，四象限， ∴， ∴； 故选D． 7. 已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116…，若n为整数，且n < <n+1，则n的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知估算出的值即可解答． 【详解】解：∵452=2025，462=2116， ∴2025＜2048＜2116， ∴45＜＜46， ∵n为整数，且n < <n+1， ∴n=45； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键． 8. 如图，，点在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 9. 小颖每天从学校步行回家，如图为小颖离家距离（米）与时间的（分钟）的函数图象，根据图象给出的信息，给出以下结论：①她在前12分钟的平均速度是70米/分钟：②她在第19分钟又回到学校；③她在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④她在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象，由图象可以直接得出前12分钟小颖的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小颖又返回学校，可以判断②正确；分别求出小颖第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小颖33分离家距离，可以判断④正确． 【详解】解：小颖在前12分钟的平均速度是米/分钟；故①正确； 由图象可知：她在第19分钟离家1800米，此时又回到学校；故②正确； 小颖返回学校的速度为：米/分钟； ∴她在第15分钟离家的距离为：米； 小颖在21分钟到41分钟的速度为：米/分钟； ∴她在第24分钟离家的距离为：米， ∴她在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离不相等；故③错误； 她在第33分钟离家的距离是米；故④正确； 故选B． 10. 如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 则，，， ∴， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， 在中， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是______． 【答案】第二象限 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点在第二象限， 故答案为：第二象限． 12. 若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根等于0；负数没有平方根是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 故答案为：9． 13. 若点和在一次函数的图象上，则______（用“”“”和“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 14. 如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数． 【详解】解：把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为，则第个点一定在第64列，由下到上是第9个数． 因而第个点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，已知，用直尺和圆规作，使，射线与射线相交于点．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，等边对等角，作线段的垂直平分线，作的角平分线，与的垂直平分线交于点，作射线交于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 由作图可知：是的角平分线， ∴， 由垂直平分线的性质可得， ∴． 18. 如图，在中，是的垂直平分线． （1）若，的周长是13，求的周长 （2）若中，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到的周长，然后计算即可； （2）根据三角形内角和求出的度数，根据等腰三角形的性质得到，然后求得的度数． 【小问1详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）分别画出关于轴、轴对称的图形和； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称： （1）描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出和即可； （3）根据三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 如图和即为所求； 【小问3详解】 解： 点在轴上， 点的坐标为或． 20. 春节临近，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果销售，甲种水果的售价为20元／千克，乙种水果的售价为25元／千克，其中，甲种水果每千克的进价比乙种水果每千克的进价少4元．已知购进20千克甲种水果和16千克乙种水果所花的钱数相等． （1）求甲种水果的进价； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果重量不低于75千克，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润多少？ 【答案】（1）16元 （2）购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时，能获得最大利润425元 【解析】 【分析】本题考查一元一交停放听应用，一次函数的应用，解题关键是：（1）找出题目中的等量关系列出方程；（2）掌握一次函数的性质． （1）设甲种水果每千克的进价为元，则乙种水果每千克的进价为元，根据购进20千克甲种水果和16千克乙种水果所花的钱数相等，列出方程求解即可； （2）设超市购进甲种水果千克，乙种水果千克，总利润为．根据利润=甲种水果每千克利润乘以数量+乙种水果每千克利润乘以数量，列出函数解析式，再根据一次函数增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种水果每千克的进价为元，则乙种水果每千克的进价为元， 由题意，得， 解得：， 答：甲种水果每千克的进价为16元． 【小问2详解】 解：设超市购进甲种水果千克，乙种水果千克，总利润为． 由题意，得， ， ∵ ∴w随y的增大而减小， ， 当时，有最大值． 答：当购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时，能获得最大利润425元． 21. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； （2）如图3，在中，是边上的高，求的值； （3）如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴： （1）勾股定理求出的长，设边上的高为，等积法求出即可； （2）设，则，利用双求法，列出方程进行求解即可； （3）连接，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ， ， ， ； 【小问2详解】 设，则， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ，解得，， ； 【小问3详解】 如图所示，连接， 四边形是长方形， ， 在中，， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ， 数轴上点表示的数是， 点表示的数为． 22. 如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． （1）求的大小（用含的代数式表示）； （2）连接，求的度数； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）连接，对称性得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角进行求解即可； （2）连接，对称性得到，八字型图得到，进而得到； （3）在上截取，连接，易得是等边三角形，证明，得到，对称性得到，再根据线段的和差关系，结合等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接， 线段和关于射线对称， ． 是等边三角形， ． ． ． 【小问2详解】 连接，根据对称性可得， ， ； 【小问3详解】 ； 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ． 等边三角形， ． ． ． 在和中 ， ， 点和点关于射线对称， ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 23. 直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； （3）若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）图见解析，点的坐标为或 （3）点的坐标 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：由题意，．设，则． 在中，， ． ． 解得，． ． 点的坐标． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是：（1）掌握待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况：当时，当时，分别 求出点D坐标；（3）利用勾股定理建立关于点M纵坐标的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$