精品解析：四川省内江市2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题

内江市2024－2025学年度第一学期八年级期末测评 数 学 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2.测评结束后，监测员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列运算正确的是（　　）． A. B. C. D. 3. 如图，在下列条件中，不能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在实数，，，，，，，，，中，无理数出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角都相等 B. 如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等 C. 对顶角相等 D. 等边三角形每一个都等于 8. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 32 9. 《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（ ） A. 10尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 15尺 10. 如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期日 12. 如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 因式分解：_____． 14. 若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是__________． 15. 若，则__________． 16. 如图，已知中，，，于，于，与交于点，是的中点，连结交于点，以下结论：①，②，③，④若，则，其中正确的结论有___________．（填正确结论的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且． （1）求证：； （2）判断与的大小，并说明理由． 19. 为调查学生对学校广播新增节目“校园之声”的满意度，学校随机抽取了部分学生作问卷调查：用“”表示“很满意”，“”表示“满意”，“”表示“比较满意”，“”表示“不满意”，如图是工作人员根据问卷调查统计结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？ （2）将图甲中“”部分的图形补充完整； （3）求图乙中“”部分扇形的圆心角的度数． 20. （1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 21. [知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系． 22. 已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． （1）如图1，若，，于点，分别交、于点、．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若，连接，求证：； （3）如图3，点为上一点，交于点，连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市2024－2025学年度第一学期八年级期末测评 数 学 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2.测评结束后，监测员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 2. 下列运算正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可． 【详解】解：A．x3•x4=x7，故原题计算错误； B．（x3）4=x12，故原题计算正确； C．x6÷x2=x4，故原题计算错误； D．x3、x4不能合并，故原题计算错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，关键是熟练掌握各计算法则． 3. 如图，在下列条件中，不能证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由、，结合可得； B、由不能说明； C、由，，结合可得； D、由、，结合可得； 故选：B． 4. 在实数，，，，，，，，，中，无理数出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，频率的计算，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，再根据频率的计算，进行解答，即可． 【详解】解：实数，，，，，，，，，中，无理数为：，，， ∴无理数出现的频率是：． 故选：A． 5. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键掌握三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，根据题意，求出，由作图可得，平分，且，根据三线合一，可得，根据三角形的内角和，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：平分，且， ∴（三线合一）， ∴， ∴． 故选：B． 6. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的相关性质与判定：从角的关系，只要由一个角为直角，则为直角三角形；从边的关系，满足最大的边的平方等于较小两个边的平方和，即为直角三角形；据此即可作答． 【详解】解：A、因为， 所以设， 则，故该选项是错误的，符合题意； B、因为，， 所以， 即，故该选项是正确的，不符合题意； C、因为， 所以，即，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为， 所以设，即，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：A． 7. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角都相等 B. 如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等 C. 对顶角相等 D. 等边三角形每一个都等于 【答案】D 【解析】 【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、对顶角的定义和等边三角形的判定方法判断四个逆命题的真假． 【详解】解：A．“全等三角形的对应角都相等”的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以选项错误； B．“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题，所以选项错误； C．“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角为对顶角，此逆命题为假命题，所以选项错误； D．“等边三角形每一个都等于”的逆命题为等每一个都等于的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，所以选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 8. 若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方得到，然后利用同底数幂的乘法得到，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 9. 《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（ ） A. 10尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 15尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 10. 如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，则，即可判断①；证明，则，即可判断②；由，即可判断垂直平分，即可判断③，无法证明垂直平分，即可判断④． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴垂直平分；故③正确； 无法证明垂直平分．故④错误， 综上可知，正确的是①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定、等边对等角等知识，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 11. 杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期日 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探究．发现，再利用杨辉三角求解． 【详解】解：∵ ， ∴除以7，余数为1， ∴再过天是星期二， 故选：B． 12. 如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质．作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，，作于点， ∵平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的最小值为， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，保证因式分解彻底 【详解】解： 14. 若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 15. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质求出、的值，代入所求的代数式逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 解得，， ， 故答案为： 16. 如图，已知中，，，于，于，与交于点，是的中点，连结交于点，以下结论：①，②，③，④若，则，其中正确的结论有___________．（填正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用．只要证明，即可判断①②；证明可判断③；连接，证明是等腰直角三角形，求得，据此即可判断④． 【详解】解：①， ， ， 又，于， ， ， ， ， 又， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ．故①正确； ②，于， 平分，， ， 又， ， ，故②错误； ③，，， ， 又， ， ，故③正确； ④连接， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的化简求值． （1）利用平方、算术平方根、立方根、绝对值的法则计算即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果，把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） （2） 当时， 原式 18. 如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且． （1）求证：； （2）判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）． 理由如下，∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系． （1）利用即可证明； （2）根据三角形三边的关系即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为调查学生对学校广播新增节目“校园之声”的满意度，学校随机抽取了部分学生作问卷调查：用“”表示“很满意”，“”表示“满意”，“”表示“比较满意”，“”表示“不满意”，如图是工作人员根据问卷调查统计结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？ （2）将图甲中“”部分的图形补充完整； （3）求图乙中“”部分扇形的圆心角的度数． 【答案】（1）200人； （2） 解：补全条形统计图，如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的结合，正确的掌握条形统计图和扇形统计图是解本题的关键． （1）“比较满意”的人数是人，占总人数的，即可求出共调查了多少名学生； （2）由题(1)知：总人数为200人，算出B的具体人数，补充完成条形统计图即可； （3）D的人数占总人数的百分比乘以即可． 【小问1详解】 解：， 即本次问卷调查，共调查了200人； 【小问2详解】 B的人数：（人） 【小问3详解】 图乙中“”部分扇形的圆心角的度数 20. （1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 21. [知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【小问1详解】 解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； 【小问2详解】 解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； 【小问3详解】 解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 22. 已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． （1）如图1，若，，于点，分别交、于点、．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若，连接，求证：； （3）如图3，点为上一点，交于点，连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴ （2） 证明：如图2中， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ （3）2 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）只要证明，即可推出； （3）在上截取，连接．只要证明，可得，再证明，可得，即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $