山东省实验中学2024-2025学年1月高二上学期数学期末复习综合模拟三

2025年1月高二上学期数学期末复习综合模拟三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 4．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 5．圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 8．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图有一列曲已知 是边长为1 的等边三角形， 是对 进行如下操作而得到的：将 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉( 记 的周长为 ，面积为 对于 下列结论不正确的是（ ） 为等差数列 为等比数列 使 使 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线，则直线恒过定点 ． 13．已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为 . 14．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 16．（15分）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 17．（15分） 如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值. 18．（15分）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 19．（17分）已知椭圆经过点，且焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A、，点为椭圆上异于A、的动点，设交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为． ①求的值； ②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学上学期期末 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由直线l经过点，，得直线l的斜率. 故选：C 2．如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 3．在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又数列是等差数列，所以， 故选：C. 4．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】D 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 5．（24-25高二上·广东河源·期中）圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离为， 故所求圆的半径为，所以圆的方程为． 故选：C. 6．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 所以，令，所以， 点到平面的距离为． 故选：D 7．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】因为， 所以， 两式相减可得， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 8．椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【详解】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图有一列曲已知 是边长为1 的等边三角形， 是对 进行如下操作而得到的：将 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉( 记 的周长为 ，面积为 对于 下列结论不正确的是（ ） 为等差数列 为等比数列 使 使 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线，则直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】由可得， 故，解得， 故定点为， 故答案为： 13．已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，， 由得：，恒过定点； 由知：恒过定点； ，点轨迹是以为圆心，半径的圆（不含点）； 设，， 则当，即时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上点到曲线上的点的距离最值的求解问题，解题关键是能够根据两直线之间的位置关系及所过定点确定两直线交点轨迹为圆，进而利用圆的对称性来求解. 14．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则 . 【答案】2 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 又因为， 所以， 所以， 故数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可知，，即， 所以. 所以 由，得 ， 所以. 故的前项和为. 16．（15分）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 17．（15分） 如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结OB. 在中，，所以，且. 又因为，所以平面. 从而． 又因为平面平面ABC，AC是平面与平面ABC的交线， 所以平面ABC （2）在中，，所以. 设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 有，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为. 由题意得：. 则取平面的法向量为，平面的法向量为. 则. 故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是 18．（15分）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 19．（17分） 已知椭圆经过点，且焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A、，点为椭圆上异于A、的动点，设交直线于点，连接交椭圆于点，直线的斜率分别为． ①求的值； ②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析； 【详解】（1）依题意可得，，∴，则， ∴椭圆的方程为． （2）①解：设，，． 由（1）可知，，如图所示，∴，， 又∵，即，于是，∴， 又，则，因此． ②解：设直线的方程为，由①中知，， 由，得，， 由根与系数的关系得，由①可知，， 即，代入化简得，解得或（舍去）， ∴直线的方程为，∴直线经过轴上的定点，定点坐标为． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$