第4章　因式分解 培优精练11-13 课件 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章　因式分解 培优精练12　应用因式分解解决问题 1 类型1　整式的大小问题 1. 已知a＝192×918,b＝8882－302,c＝1 0532－7472,试比较a,b,c的大小. 解:a＝192×918＝361×918, b＝8882－302＝(888－30)×(888＋30) ＝858×918, c＝1 0532－7472＝(1 053＋747)×(1 053－747) ＝1 800×306 ＝600×918. ∵361<600<858, ∴a<c<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 2. 已知A＝a＋2,B＝a2＋a－7,其中a>2,试比较A与B的大小. 解:B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3). ∵a>2,∴a＋3>0. 当2<a<3时,a－3<0,此时A>B; 当a＝3时,a－3＝0,此时A＝B; 当a>3时,a－3>0,此时A<B. ∴2<a<3时,A>B;a＝3时,A＝B;a>3时,A<B. 解:B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3). ∵a>2,∴a＋3>0. 当2<a<3时,a－3<0,此时A>B; 当a＝3时,a－3＝0,此时A＝B; 当a>3时,a－3>0,此时A<B. ∴2<a<3时,A>B;a＝3时,A＝B;a>3时,A<B. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3. 小强发现:当n＝1,2,3时,n2－8n的值都是负数.于是,小强猜想:当n为任意正整数时,n2－8n的值都是负数. 请判断小强的猜想是否正确.如果小强的猜想不正确,那么当n取哪些正整数时,n2－8n的值不是负数? 解:当n＝9时,n2－8n＝92－8×9＝81－72＝9>0,与小强的猜想不符, ∴小强的猜想不正确. 将n2－8n因式分解,得n2－8n＝n(n－8),n为正整数. ∵当n－8≥0,即n≥8时,n2－8n≥0. ∴当n取大于或等于8的正整数时,n2－8n的值不是负数. 解:当n＝9时,n2－8n＝92－8×9＝81－72＝9>0,与小强的猜想不符, ∴小强的猜想不正确. 将n2－8n因式分解,得n2－8n＝n(n－8),n为正整数. ∵当n－8≥0,即n≥8时,n2－8n≥0. ∴当n取大于或等于8的正整数时,n2－8n的值不是负数. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 4. 求代数式a2＋6a＋8的最小值. 解:原式＝a2＋6a＋9－1 ＝(a＋3)2－1. ∵(a＋3)2≥0, ∴(a＋3)2－1≥－1. ∴a2＋6a＋8的最小值为－1. 解:原式＝a2＋6a＋9－1 ＝(a＋3)2－1. ∵(a＋3)2≥0, ∴(a＋3)2－1≥－1. ∴a2＋6a＋8的最小值为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 5. (2024福建节选)已知实数a,b,c,m,n满足3m＋n＝ ,mn＝ .求证:b2－12ac为非负数. 证明:∵3m＋n＝ ,mn＝ , ∴b＝a(3m＋n),c＝amn. ∴b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn ＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn ＝a2(9m2－6mn＋n2) ＝a2(3m－n)2. ∵a,m,n是实数, ∴a2(3m－n)2≥0. ∴b2－12ac为非负数. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 类型2　与三角形相关的问题 6. 在△ABC中,AB,BC,AC对应的边分别用c,a,b表示,且a,b,c满足a－b－3bc＋3ac＝0. 试判断△ABC的形状. 解:∵a－b－3bc＋3ac＝0, ∴(a－b)＋3c(a－b)＝0. 即(a－b)(1＋3c)＝0. 又∵3c＋1≠0, ∴a－b＝0. ∴a＝b. ∴△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 7. 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2－b2c2＝a4－b4,试判断△ABC的形状. 解:△ABC是等腰三角形或直角三角形. 解:△ABC是等腰三角形或直角三角形. 理由如下: ∵a2c2－b2c2＝a4－b4, ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2). ∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0. ∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0. 当a2－b2＝0时,a＝b,△ABC 是等腰三角形; 当c2－(a2＋b2)＝0时,c2＝a2＋b2, △ABC为直角三角形. ∴△ABC是等腰三角形或 直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 8. 已知a,b,c为△ABC的三边的长. (1)求证:a2－2ac＋c2－b2<0; 证明:∵a,b,c为△ABC的三边的长, ∴a－c＋b>0,a－c－b<0. ∴a2－2ac＋c2－b2 ＝(a2－2ac＋c2)－b2 ＝(a－c)2－b2 ＝(a－c＋b)(a－c－b)<0. 证明:∵a,b,c为△ABC的三边的长, ∴a－c＋b>0,a－c－b<0. ∴a2－2ac＋c2－b2 ＝(a2－2ac＋c2)－b2 ＝(a－c)2－b2 ＝(a－c＋b)(a－c－b)<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)若a,b,c满足a2＋2ac－b2－2bc＝0,试判断△ABC的形状,并说明理由. ∴△ABC是等腰三角形. 解:(2)△ABC是等腰三角形.理由如下: ∵a2＋2ac－b2－2bc＝0, ∴a2－b2＋2ac－2bc ＝(a＋b)(a－b)＋2c(a－b) ＝(a＋b＋2c)(a－b) ＝0. ∵a＋b＋2c>0, ∴a＝b. ∴△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 9. 已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0,求△ABC的最长边c的值. 解:∵a2＋b2－10a－12b＋61＝0, ∴(a2－10a＋25)＋(b2－12b＋36)＝0. ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0. ∴a－5＝0,b－6＝0. ∴a＝5,b＝6. ∵6－5<c<6＋5,且c≥6, ∴6≤c<11. ∴△ABC的最长边c的值可能是6,7,8,9,10. 解:∵a2＋b2－10a－12b＋61＝0, ∴(a2－10a＋25)＋(b2－12b＋36)＝0. ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0. ∴a－5＝0,b－6＝0. ∴a＝5,b＝6. ∵6－5<c<6＋5,且c≥6, ∴6≤c<11. ∴△ABC的最长边c的值可能是6,7,8,9,10. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 $$第四章　因式分解 培优精练13　用因式分解进行代数推理 1 类型1　整数的整除问题 1. 某同学研究两位数 的规律. 15×15＝225＝(1×2)×100＋25, 25×25＝625＝(2×3)×100＋25, 35×35＝1 225＝(3×4)×100＋25, …… (1)请按上述规律写出关于55的等式; 解:(1)55×55＝3 025＝(5×6)×100＋25. 解:(1)55×55＝3 025＝(5×6)×100＋25. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)推理说明 的平方是25的倍数. (2)证明:()2＝(10m＋5)2 ＝100m2＋100m＋25 ＝25(4m2＋4m＋1) ＝25(2m＋1)2. ∴ 的平方是25的倍数. (2)证明:()2＝(10m＋5)2 ＝100m2＋100m＋25 ＝25(4m2＋4m＋1) ＝25(2m＋1)2. ∴ 的平方是25的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 2. 请你说明:当n为自然数时,(n＋7)2－(n－5)2能被24整除. 解:原式＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝24(n＋1), 解:原式＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝24(n＋1), ∴当n为自然数时,(n＋7)2－(n－5)2能被24整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3. 已知一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a＋b＝10.小明发现,若将该两位数十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则这两个数的平方差是20的倍数.请你用因式分解的方法说明小明发现的结论的正确性. 解:∵a＋b＝10,∴b＝10－a. ∴原来的两位数为10a＋b＝10a＋10－a＝9a＋10. 将该两位数十位上的数字与个位上的数字调换位置,得到的新的两位数为 10b＋a＝10(10－a)＋a＝100－9a. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 ∵a是整数, ∴(9a＋10)2－(100－9a)2能被20整除,即小明发现的结论是正确的. 根据题意,得 (9a＋10)2－(100－9a)2 ＝(9a＋10＋100－9a)(9a＋10－100＋9a) ＝110(18a－90) ＝20×99(a－5). ∵a是整数, ∴(9a＋10)2－(100－9a)2能被20整除,即小明发现的结论是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 4. 有三个连续奇数,最小的奇数为2n－1(n为正整数). (1)用含n的代数式表示另外两个奇数. 解:(1)另外两个奇数分别为2n＋1,2n＋3. 解:(1)另外两个奇数分别为2n＋1,2n＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)判断这三个奇数的平方和是否为12的倍数.若是,请说明理由;若不是,请写出被12除的余数是多少. 解:(2)这三个奇数的平方和不是12的倍数.理由如下: (2n－1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2 ＝4n2－4n＋1＋4n2＋4n＋1＋4n2＋12n＋9 ＝12n2＋12n＋11＝12(n2＋n)＋11. ∵n为正整数, ∴12(n2＋n)＋11不是12的倍数,即这三个奇数的平方和不是12的倍数.这三个奇数的平方和被12除的余数是11. 解:(2)这三个奇数的平方和不是12的倍数.理由如下: (2n－1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2 ＝4n2－4n＋1＋4n2＋4n＋1＋4n2＋12n＋9 ＝12n2＋12n＋11＝12(n2＋n)＋11. ∵n为正整数, ∴12(n2＋n)＋11不是12的倍数,即这三个奇数的平方和不是12的倍数.这 三个奇数的平方和被12除的余数是11. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 类型2　恒等问题 5. 已知m2＝n＋2,n2＝m＋2,且m≠n.求证:m＋n＝－1. 证明:∵m2＝n＋2,n2＝m＋2, ∴m2－n2＝n－m. ∴(m＋n)(m－n)＋(m－n)＝0. ∴(m－n)(m＋n＋1)＝0. ∵m≠n, ∴m＋n＋1＝0. ∴m＋n＝－1. 证明:∵m2＝n＋2,n2＝m＋2, ∴m2－n2＝n－m. ∴(m＋n)(m－n)＋(m－n)＝0. ∴(m－n)(m＋n＋1)＝0. ∵m≠n, ∴m＋n＋1＝0. ∴m＋n＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 6. 若m,n,p为非零实数,且 (m－n)2＝(p－n)(m－p),求证:2p＝m＋n. 证明:∵ (m－n)2＝(p－n)(m－p), ∴ n2＋mn－pm－pn＋p2＝0. ∴ －p(m＋n)＋p2＝0. ∴ (m2＋2mn＋n2)－p(m＋n)＋p2＝0. 证明:∵ (m－n)2＝(p－n)(m－p), ∴ n2＋mn－pm－pn＋p2＝0. ∴ －p(m＋n)＋p2＝0. ∴ (m2＋2mn＋n2)－p(m＋n)＋p2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 ∴ －p(m＋n)＋p2＝0. ∴ ＝0. ∴ (m＋n)－p＝0. ∴2p＝m＋n. ∴ －p(m＋n)＋p2＝0. ∴ ＝0. ∴ (m＋n)－p＝0. ∴2p＝m＋n. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 7. 求证:若n为正整数,则代数式(n＋2)(n＋3)(n2＋5n＋8)＋1的值一定是某个整数的平方. 证明:设B＝(n＋2)(n＋3)＝n2＋5n＋6, 则原式＝B(B＋2)＋1＝B2＋2B＋1 ＝(B＋1)2. ∵n为正整数, ∴B＋1为正整数, ∴代数式(n＋2)(n＋3)(n2＋5n＋8)＋1的值一定是某个整数的平方. 证明:设B＝(n＋2)(n＋3)＝n2＋5n＋6, 则原式＝B(B＋2)＋1＝B2＋2B＋1 ＝(B＋1)2. ∵n为正整数, ∴B＋1为正整数, ∴代数式(n＋2)(n＋3)(n2＋5n＋8)＋1的值一定是某个整数的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 8. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n＝p q( p,q是正整数,且p≤q).如果pq在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p q是n的最佳分解,并且规定F(n)＝ .例如,18＝1×18＝2×9＝3×6,这时就有F(18)＝ .请解答下列问题: (1)计算:F(24); 解:(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6, 其中4与6的差的绝对值最小, ∴F(24)＝ . 解:(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6, 其中4与6的差的绝对值最小, ∴F(24)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)当n为正整数时,求证:F(n3＋2n2＋n)＝ . (2)证明:∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2, 其中n(n＋1)与n＋1的差的绝对值最小, 且n＋1≤n(n＋1), ∴F(n3＋2n2＋n)＝ . (2)证明:∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2, 其中n(n＋1)与n＋1的差的绝对值最小, 且n＋1≤n(n＋1), ∴F(n3＋2n2＋n)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 $$第四章 因式分解 培优精练11 因式分解的其他方法 类型1 十字相乘法 1.阅读下列材料：将一个形如x2+px十q的二次三项式因式分解时，如果 能满足q=mn且p=m十n,则可以把x2+px+q因式分解成(c+m)c +n), 例如：x2+4x+3=(c+1)c+3),x2-4x一12=(x-6)x+2), 根据材料，把下列式子因式分解 (1)x2-6+8; 解：原式=c-2)x一4) 23456 返回首页 (2)x2+2x-15; 解：原式=(x一3)K+5) (3)x2+7x+12; 解：原式=x+3)x十4) (4)2-3x+2; 解：原式=c一1)x一2) (⑤)x2-6x-27; 解：原式=（心一9）x+3) 23456 返回首页 (6)3-8a2b+12ab2. 解：原式=a(2-8ab+12b2) =a(a-2b)(a-6b) 23456 返回首页 2.阅读下列材料：用“十字相乘法”因式分解： ax2+bx+c=(ax+c)(azx+c2) a2 C2 a2x+c2 这里a1C2+2c1=b. 请用“十字相乘法”把下列各式因式分解： (1)3x2-8x-16; 解：原式=3x+4)x-4). 1 34 56 返回首页 2)2x2-3x-14; 解：原式=(2x-7)x+2), (3)5x2+13x+6; 解：原式=(5x+3)x+2), (4)52-2ax-3a2; 解：原式=(5x+3a)x-a) (5)3x2+2y-8y2; 解：原式=(3x-4y)x+2y) 13456 返回首页 (6)5x3-16x2+12x. 解：原式=x(52-16x+12) =x(5x-6)x-2): 13456 返回首页 3.把下列各式因式分解： (1)x-4)x+7)+18; 解：原式=x2十3x一28+18 =x2+3x-10 =(c-2)x+5). (2)2-3)2+(x2-3)-2; 解：原式=(r2-3-1)x2-3+2) =x2-4)x2-1） =K+2)x-2)x+1)x-1) 12 456 返回首页 (3)(a2+a)2-8(a2+a)+12; 解：原式=(a2+a-2)(2+4-6) =(a+2)(a-1)(a+3)(a-2). (4)m(m+2)(m2+2m-2)-3. 解：原式=(m2+2m)(2+2m一2)一3 =(m2+2m)2-2(m2+2m)-3 =(m2+2m+1)(m2+2m-3) =(m+1)2(m-1)(m+3). 12 456 返回首页 类型2 分组分解法 4.甲、乙两名同学利用分组分解法因式分解： 甲：x2-y+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+(4x一4y)(分成两组) =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =x(x一y)+4(x一y)(直接提公因式) =2一(b一c)2(直接运用公式) =(x-y)x+4).(提公因式) =(a十b一c)(a一b+c.(用平方差公式) 请你在他们的解法启发下，把下列各式因式分解： 1 23 6 返回首页