专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 11 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（24-25上·北京·八年级校联考开学考试）如图，，P为之间的一点，已知，则＝ ．    例2．（2024·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例6．（2023下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则 ． 例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 例8．（23-24七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．(1)如图1，形中，若，，则__________． (2)如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由．    例9．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 例10．（23-24七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图1．，E，F分别是，上的点，点P在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作，由可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题． 已知，E，F分别是，上的点，点P在，之间，连接，． (1)如图2，若，，则的度数为 ； (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示与的数量关系． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ． 5．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    6．（2023上·河南南阳·八年级校考开学考试）如图所示，、则、、的关系为 ．    7．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 8．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则    9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）如图，，，，则与的数量关系是 ． 11．（2023下·北京西城·七年级统考期末）如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）；（2）． 12．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    13．（23-24·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 14．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ；（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 15．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∴ ∵， ∴∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 16．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）已知，点、分别是、 上的两点，点在、之间，连接、．(1)如图①，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；(2)如图②，若点是上方一点，连接EM、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 17．（23-24七年级下·北京·期中）已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接平分，平分，且所在的直线交于点E． (1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，求的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 19．（2024·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 20．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题： 已知：如图，，E为，之间一点，连接，，得到，求证：．      彤彤是这样做的：过点E作，则有． ∵，∴．∴ ∴．即． 请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点E． (1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，，求的度数； (2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有x，y的式子表示）． 21．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时：①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 11 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（24-25上·北京·八年级校联考开学考试）如图，，P为之间的一点，已知，则＝ ．    【答案】/30度 【分析】过点P作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：过点P作，如图，    ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是关键． 例2．（2024·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵，∴，∴，∴为法线，∴， ∵为法线，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：A． 例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【答案】D 【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可． 【详解】详：过C作CF∥AB，    ∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴ ∴故选：D． 【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线． 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ，，，， 和的平分线交点为，． 和的平分线交点为，； 和的平分线，交点为， ；； 以此类推，，当∠度时，等于．故答案为：． 例5．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， 过点C作，则有，同理， ∵和分别平分和，∴， ∴，， 即，解得：，故选：D．    【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键． 例6．（2023下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则 ． 【答案】/20度 【分析】过点E作，过点F作，则，根据平行线的性质，结合可证，再根据推出，即可列式求解． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ，，， ，． ，，，， ，，，， ，， ，，， ，，解得，故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵，， 平分，平分 ，， ，， ，， ，故答案为：． 例8．（23-24七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．(1)如图1，形中，若，，则__________． (2)如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）如图，过作 证明 可得 结合已知条件可得答案； （2）如图，过作 于交于点K，证明可得 由（1）得： 而，从而可得答案； 【详解】（1）解：如图，过作    ∴ 故答案为：； （2）解： 理由如下：如图，过作 于交于点K，    ∴ 而∴ 由（1）得： 而， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，三角形的内角和的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 例9．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【分析】（1）过点E作EF∥AB，得∠BEF =25°，得∠DEF=55°，从而可证AB∥CD； （2）作CD∥AB，根据平行线的传递性得CD∥EF，则根据平行线的性质得∠BCD=∠B，∠DCF=∠F，所以∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，故可得结论；（3）方法同（2） 【详解】（1）过点E作EF∥AB     ∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55° ∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD        ∴AB∥CD      （2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF， ∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F， ∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．      （3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如图， 作MN∥AB，由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7， ∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题的关键. 例10．（23-24七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图1．，E，F分别是，上的点，点P在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作，由可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题． 已知，E，F分别是，上的点，点P在，之间，连接，． (1)如图2，若，，则的度数为 ； (2)如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义， （1）如图，过点作，证明，再证明，求解 ，从而可得答案；（2）由（1）同理可得： ，，再证明 ，，从而可得答案；（3）由（1）同理可得： ，，再证明 ，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ，， ， ， ． ，， ， ； （2）由（1）同理可得：，， 与的平分线交于点， ，， ； （3）由（1）同理可得： ，， 与的平分线交于点， ，， ， ． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线，∴，∴，， 由题意可得，∴，∴，故选：A． 2．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， 过点C作，则有，    同理，∵和分别平分和， ∴，∴，， 即，解得：，故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键． 3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，则，由平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作，    ∵，∴，∴， ∴，故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 4．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 【详解】作，∵，∴， ∴，，， ∴，，∴，故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 5．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    【答案】 【分析】作，则，根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，再根据推出，，即可得出． 【详解】解：如图，作， ，，，， ，，， 和的平分线相交于点P．，， ，， ，，， ，即．故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 6．（2023上·河南南阳·八年级校考开学考试）如图所示，、则、、的关系为 ．    【答案】 【分析】过M作，利用平行于同一条直线的两直线平行，可得，再根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解：过M作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 7．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点作，由得，从而得到，，最后根据计算即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示， ， ，，，， ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则    【答案】 【分析】过作，过作，利用平行线的性质可得，，，，然后设出未知数，利用方程思想解决问题即可． 【详解】解：过作，过作，    ，，， ，，，， ：：：：：：， 设，，，，，， ，，，， ，，， ，，，，故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，设出未知数，列出方程． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，，，，如图： ∵，∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，，∴，即，故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）如图，，，，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分别过点H、F作的平行线，，设，则，根据平行线的性质与判定分别求出，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，分别过点H、F作的平行线，，设，则， ∵，∴，∴， ∴， ∵，，∴，∴， ∴ ∴，故答案为：． 11．（2023下·北京西城·七年级统考期末）如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）；（2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；（2）根据平行线的性质即可得证； 【详解】（1）过点作，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD， ，， ． （2），， 又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，． 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5； （2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；       （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【点睛】此题考查平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 13．（23-24·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答； 利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答； 根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答； 过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而用的结论可得，进行计算即可解答； 过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，，          ，，，，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作， ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作， ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：（1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解；（2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，作， ，，，，， ，故答案为：60； （2）如图，作交于点K，，， ，，， 同（1）可得，， 即，故答案为：． 15．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∴ ∵， ∴∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴∴，， ∴， ∵，∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分，∴，， ∵∴∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 16．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）已知，点、分别是、 上的两点，点在、之间，连接、． (1)如图①，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (2)如图②，若点是上方一点，连接EM、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．（1）过作，过点P作，设，利用平行线的性质及角平分线的定义，求得，，即可得到；（2）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作，过点P作，设， ，，，， ，，， 平分，平分，，， ，，平分，， ，，， ，，； （2）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分，，， ，，，， ，，， ，平分，，， ，， ，， ，，，． 17．（23-24七年级下·北京·期中）已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小； 若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)当直线时，的大小为或；当时，的大小为或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质；（1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解；（2）直线时，①当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 当时，①当在的左侧时，过作，同理可求解；②当在的右侧时，同理可求解； 掌握判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作，    ，，，， ，； （2）解：直线时，①如图，当在的左侧时， 直线平分，， ，，，； ②如图，当在的右侧时，      同理可得：，，， ；故的大小为或； 当时，①如图，当在的左侧时，过作，同理可得：， ，，，； ②如图，当在的右侧时，同理可求：，，    ，；故的大小为或． 18．（23-24七年级下·北京·期中）已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接平分，平分，且所在的直线交于点E． (1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，求的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有的式子表示）． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：（1）如图1，过点E作，当点B在点A的左侧时，根据，根据平行线的性质即可求的度数；（2）如图2，过点E作，当点B在点A的右侧时，，根据平行线的性质即可求的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点E作，则有． ∵，∴．∴． ∴．即， ∵平分，平分，∴， ∴．故答案为：； （2）解：过点E作，如图2，则，∴， ∵，∴，∴， ∴，即， ∵平分，平分，∴，， ∴． 19．（2024·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质的应用，平行公理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．（1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可．（2）首先由（1），可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出．（3）首先由（1），可得，；然后根据，，推得，即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，       ∵，∴，∴，， 又∵，∴． （2）如图2，由（1），可得，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，，∴， 又∵，，∴， ∴，即∶，∴． （3）由（1），可得，，∵，， ∴，∴． 20．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题： 已知：如图，，E为，之间一点，连接，，得到，求证：．      彤彤是这样做的：过点E作，则有． ∵，∴．∴ ∴．即． 请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点E． (1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，，求的度数； (2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有x，y的式子表示）． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）过点E作，当点B在点A的左侧时，根据，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数；（2）过点E作，当点B在点A的右侧时，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数． 【详解】（1）如图1，过点作，                     ，       平分，平分，，， ， ； （2） 过点E作，如图2，    则，∴，∵，∴，∴， ∴，即， ∵平分，平分，，∴，， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 21．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时：①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，， ，∴，，同理可得: ， ∵，∴，∵平分平分； ，∴．故答案为：． ②如图，过点Q作，∵平分平分， ，， 设，∵，，， ∵，，，，， 由（1）可知，∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,，如图，过点O作，则， ，，， ， 由（1）可知：， ∵，∴，即，∴， ∵，，∴． 3 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$