专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 14 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（23-24下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 例2．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 例 3．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 例5．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为 ．    例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例7．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例8．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作．（已作），（   ）． 又（已知），______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 例9．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 例10．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线，点E，F分别是直线上的点，点G为直线之间的一点，连接，的平分线交于点H，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 5．（23-24七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    6．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图，，，，则 ． 7．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 8．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    9．（2023下·湖北随州·七年级统考期末）如图，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值为的序号是 ．    10．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？    11．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证： ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．      12．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，．(1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 13．（23-24七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 14．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，点B、C是直线b上的两个定点，点M、N是直线a上的两个动点，射线交于点G． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点A在直线a上，满足．与交于点D，与交于点E，若，且，则 °； (3)射线同时从如图2所示的位置开始转动，射线绕点B以5度/秒的速度逆时针转动，射线绕点C以3度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为t秒（）．①当 秒时，；②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于度的角为两条直线的夹角”．设直线与直线的夹角为度，直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间t的值． 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ；(2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设． ①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 16．（23-24七年级下·北京·期中）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 17．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知：点是的边上一点（点不与点重合），点是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点作射线，使得．（其中点在内部）． ①依据题意，补全图1；②直接写出的度数． (2)如图2，点是射线上一点，且点不与点重合，当时，过点作射线，使得（其中点在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明．    18．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）如图，已知，点E是直线上一个定点，点F在直线上运动，设，在线段上取一点M，射线上取一点N，使得．    (1)当时， ；(2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值． 19．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在直线交于点．    (1)如图1，当点在点的左侧时，若，，求的度数；(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）． 20．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：如图，，点G、H分别在直线上的定点，点P是直线上的一个动点，且不在直线上，连接． (1)如图1，求证：．(2)如图2，若，，求的度数． (3)若平分．，．且，直接用含的代数式表示的度数为：______ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 14 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（23-24下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.由无法得出，错误； B.由无法得出，错误； C.∵，∴，∴，错误； D.∵，∴，， ∴，正确；故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例2．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行公理求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出，，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作，则， ，，， ．故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目，难点在于过拐点作平行线． 例 3．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，    工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，， ，，，，故选：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案． 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵，∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键． 例5．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为 ．    【答案】/141度 【分析】过点作，过点作．根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 【详解】解：过点作，过点作，    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，平分，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，       ∴，，∴，故①正确； 如图，过点F作，∵，∴， ∴，， ∴，即，故②不正确； 又∵，∴， 即，故③不正确； ∵，∴， ∵，∴， ， 故④正确；∴正确的为①④，故选D． 【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键． 例7．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，，∴， ∴，， ∴，； ∵，∴，∴，∴， ∴，∴故选：D． 例8．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作．（已作），（   ）． 又（已知），______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得；（3）由（1）和（2）总结规律即可求解；（4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作），（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知），（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即； （2）如图，过点C作，过点D作，∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 例9．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)或 【分析】（1）在中，，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，，在中，，可得与的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形内角和定理推出，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1），理由如下：在中，，，， ，，， ，，，； （2），理由如下：在中，，， ，，，， 同理可得，，在中，， ； （3）或．理由如下：当时，如下图所示：       ，， ，， ，， 则，则，由内角和得． 当时，如果在边反射后与平行，由（1）可知，与题意不符； 则只能在边反射后与平行，如下图所示，设与的延长线交于点G， ∵，，∴， ∴，∴， 由，且由（1）的结论可得，，则． 综上所述：的度数为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． 例10．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，即可得出结论；（2）利用两直线平行同旁内角互补，即可得出结论；（3）分情况画出图形，然后根据平行线的性质写出关系式． 【详解】（1），证明：，， ，，； （2）， 证明：，， ，，， ，； （3）如图1，； 如图2，； 如图3，； 如图4，； 四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．    【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线，点E，F分别是直线上的点，点G为直线之间的一点，连接，的平分线交于点H，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，过点G作，利用角平分线的定义和平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点G作，，， 平分，，，， ，，，，，，， ，， ，， ，， ，，故选：A． 2．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，， ，，， ，， ．故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，， ，，，．故答案为：． 5．（23-24七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    【答案】 【分析】过点C作，由平行线的性质求得，由，得到，进一步得到，即可得到的度数． 【详解】解：过点C作，如图，∴，    ∵，∴， ∵，∴，∵于点B，∴，∴， ∴．故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作是解题的关键． 6．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】过点C作，根据平行线的性质求出，求出，根据两直线平行，内错角相等可得结果． 【详解】解：过点C作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是根据平行线判断出角的关系． 7．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 8．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    【答案】540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案为：540°．    【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 9．（2023下·湖北随州·七年级统考期末）如图，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值为的序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】根据角平分线的性质得到：，再根据，，得到，从而得到，即可判断①，，，可判断②，根据，结合，可判断③，根据，，结合可判断④． 【详解】解：，，，， 又平分，，，，故①的值为； ，，， ，，，，故②的值为， ，， ，故③的值为； ，，， ，故④的值为；故答案为：①③． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角度之间的运算，熟练运用垂直的定义及角平分线的性质，正确运算角度间的关系是解题的关键． 10．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？    【答案】此次瞄准不是最准确的，见解析 【分析】如图，过点P作，可得，可得，证明，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点P作，∴．    ∵，∴． ∵，∴． ∵，，∴．∴． ∴．∴，∴此次瞄准不是最准确的． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键． 11．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析 【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°． 【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论． 12．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键．（1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可；（2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，故答案为：； （2）①解：过点P作，如图1，则，         ∴，， ∵，∴，即，∴， ∵，∴，∴， ②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴； 当时，如图3，作，则， 同理可得，，，， ∵，∴，∴， ∴，∴；综上所述，的度数为或． 13．（23-24七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质、同角的余角相等、平行公理，熟练掌握平行线的性质探究角的关系是解答的关键．（1）先根据垂直定义和已知得到，进而利用平行线的判定得到，根据平行公理可得结论；（2）分两种情况，画出图形，分别作过O作，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与互余，∴， ∴，∴，∵，∴； （2）解：当如图1，过O作，则， ∴，，∴， ∵，∴，又， ∴，∴； 如图2，过O作，则， ∴，， ∴， ∴，∵，∴，又， ∴，∴， 综上，或． 14．（23-24七年级下·北京·期中）已知直线，点B、C是直线b上的两个定点，点M、N是直线a上的两个动点，射线交于点G． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点A在直线a上，满足．与交于点D，与交于点E，若，且，则 °； (3)射线同时从如图2所示的位置开始转动，射线绕点B以5度/秒的速度逆时针转动，射线绕点C以3度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为t秒（）．①当 秒时，；②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于度的角为两条直线的夹角”．设直线与直线的夹角为度，直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间t的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；②或 【分析】（1）作，可得根据即可求证；（2）设，可得，根据题意得，即可求解； （3）①根据题意画出对应图形，根据即可求解；②根据题意画出对应图形，可得，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：作，如图所示： ∵，∴∴ ∵∴ （2）解：设，∵∴ 由（1）可知：∴ ∴ ∴ 由②③可得： 将代入①得：，解得：， ∴故答案为： （3）解：①如图所示： 由题意得：由（2）得： ∵∴即： ∴解得： ②如图所示：则， ∴ 由（2）得：，即； ，即;∴解得：或 【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是解题关键． 15．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，． (1)如图①，若，则 ；(2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设． ①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值； ②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值． 【答案】(1)50；(2)① 52.5 ；②m的值为15或35或45． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，几何图形中角度的运算， （1）首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可；（2）①过点C作射线平分，过点B作，得到，过点E作，得到， 然后根据平行线的性质求解即可；②根据题意分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，然后根据n，m都为正整数且，确定n的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵，∴ ∵∴； （2）解：①过点C作射线平分，过点B作 ∵，∴．∵，∴． 过点E作，∴， ∴，∴ ∵，∴，∴， ∵∴∴， ∴，∴； ②当点F在内部时，∵，∴ ∵∴ ∵n，m都为正整数且，∴∴解得 ∴∴∴∴； 当点F在外部时，∵，∴∴ ∵n，m都为正整数且，∴当时，如图所示，解得 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，解得∴ ∴∴∴； 综上所述，m的值为15或35或45． 16．（23-24七年级下·北京·期中）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 【答案】(1)(2)①10；②或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①由得到由得到，则，解得即可． ②分两种情况，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图①中，∵，∴， ∵平分．∴， ∵，∴，∴， ∴． （2）①解：如图②中，    ∵，∴∵， ∴，∴，∴．∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图，当时，延长交于R．       ∵，∴，过点K作，则， ∴，∴，， ∴，∴，∴． 如图，当时，延长交于R．． ∵，∴，过点K作，则， ∴， ∵，∴ ∵，∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 17．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知：点是的边上一点（点不与点重合），点是内部一点，射线不与相交． (1)如图1，，过点作射线，使得．（其中点在内部）． ①依据题意，补全图1；②直接写出的度数． (2)如图2，点是射线上一点，且点不与点重合，当时，过点作射线，使得（其中点在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明．    【答案】(1)①见解析②(2)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可； （2）过点O作，根据平行线的性质得出两个角的度数关系； 【详解】（1）①依据题意，补全图1如下：    ②∵，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）（2），证明：过点O作    ∴，又∵， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 18．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）如图，已知，点E是直线上一个定点，点F在直线上运动，设，在线段上取一点M，射线上取一点N，使得．    (1)当时， ；(2)当时，求； (3)作的角平分线，若，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据平行线的性质求解，即可得到答案；（2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）根据角平分线和平行线的性质，得到的度数，再根据平行线的性质，得到的度数，然后利用三角形内角和定理列式求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ，，，故答案为：； （2）解：如图1，过点作直线，， ，，又，， ， ，，， ；       （3）解：如图2，平分，， ，，，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 19．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在直线交于点．    (1)如图1，当点在点的左侧时，若，，求的度数；(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）如图1所示，过点作，当点在点的左侧时，根据，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数； （2）如图2所示，过点作，当点在点的右侧时，，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示：    ，，，， ，即， 平分，平分，，， ，，； （2）解：过点作，如图2所示：  ， ，，，， ，即， 平分，平分，，， ，，． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 20．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：如图，，点G、H分别在直线上的定点，点P是直线上的一个动点，且不在直线上，连接． (1)如图1，求证：．(2)如图2，若，，求的度数． (3)若平分．，．且，直接用含的代数式表示的度数为：______ 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此即可证明结论；（2）根据平行线的性质求出，则，再由平行线的性质即可得到；（3）分图3-1和图3-2两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1所示，∵，∴， ∴，∴； （2）解：如图2所示，∵，，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图3-1所示，同理可证， ∵，∴，∵平分，∴， ∴； 如图3-2所示，同理可得， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$