专题01 代数方程不等式综合-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题01 代数方程不等式综合 课标要求 考点 考向 1．理解代数方程常考考点以及综合问题． 2．理解不等式含参数以及应用解题方法． 3．理解根式综合运用问题 代数方程 考向一 代数综合 考向二 方程综合 不等式 考向一 含参数不等式问题 考向二 不等式综合应用 考点一 代数方程 ►考向一 代数综合 1．（2024•德州）观察下列等式： S1＝； S2＝+； S3＝++； … 则S10的值为 　　． 2．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　82　．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 　　． 3．（2024•眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　　． 4．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． ►考向二 方程综合 易错易混提醒 （1）注意分式方程增根无解问题 （2）一元二次方程判别式的作用以及韦达定理的应用 1．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　） A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1 3．（2024•广州）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 　　． 4．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　　． 5．（2024•山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　． 6．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　　． 7．（2024•达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　　． 考点二 不等式 ►考向一 不等式含参数问题 1．（2024•南充）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 2．（2024•大庆）不等式组的整数解有 　　个． 3．（2024•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　　． ►考向二 不等式综合应用 1．（2024•山东）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024•深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　　； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 1．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（　　） A． B．37 C．1 D．4 2．（2024•邯郸模拟）下列能用2a+4表示的是（　　） A．线段AB的长： B．组合图形的面积： C．底面积为a，高为4的圆柱的体积： D．长方形的周长： 3．（2024•兰考县一模）定义新运算：m*n＝m2﹣mn﹣3，例如：2*3＝22﹣2×3﹣3＝﹣5．则关于x的一元二次方程x*a＝1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 4．（2024•江汉区校级模拟）已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，St＝（t为正整数）．若S1+S2+…St＝t2﹣56，则t的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024•宣恩县一模）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为 　 　． 7．（2024•大庆一模）已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ 　 　． 8．（2024•沙坪坝区模拟）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 　 　． 9．（2024•内江校级二模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式﹣2024x1+的值为 　 　． 10．（2024•渠县校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，AD、DB的长是方程x2的两根，则n＝　 　． 11．（2024•安徽模拟）【观察】观察下列式子： ①1×4+2＝2×3； ②2×5+2＝3×4； ③3×6+2＝4×5； ④4×7+2＝5×6； 【猜想】根据上述式子猜想式子⑥：6×9+2＝　 　×　 　； 【发现】用含n的式子表示出第n个式子：　 　； 【应用】利用你发现的规律计算：． 12．（2024•浦北县二模）综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 　 　；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 　 　和 　 　； ③一般验证：若小路宽为a米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 　 　和 　 　． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 13．（2024•平山县一模）（1）发现比较4m与m2+4的大小，填“＞”“＜”或“＝”： ①当m＝3时，4m 　 　m2+4； ②当m＝2时，4m 　 　m2+4； ③当m＝﹣3时，4m 　 　m2+4； （2）论证无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系？试说明理由； （3）拓展：试通过计算比较x2+2与2x2+4x+6的大小． 14．（2024•柯桥区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润﹣路面造价费用﹣果园承包费用﹣新苗购置费用﹣其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由. 15．（2024•衡阳模拟）a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 代数方程不等式综合 课标要求 考点 考向 1．理解代数方程常考考点以及综合问题． 2．理解不等式含参数以及应用解题方法． 3．理解根式综合运用问题 代数方程 考向一 代数综合 考向二 方程综合 不等式 考向一 含参数不等式问题 考向二 不等式综合应用 考点一 代数方程 ►考向一 代数综合 1．（2024•德州）观察下列等式： S1＝； S2＝+； S3＝++； … 则S10的值为 　10　． 【答案】10． 【分析】先求出S1，S2，S3，...，再根据其规律求出S10即可． 【解答】解：∵＝＝＝1+， ＝＝＝1+， ＝＝＝1+， ...， ∴S1＝1+＝1+1﹣＝2﹣， S2＝1++1+＝2+1﹣+﹣＝3﹣， S3＝1++1++1+＝3+1﹣+﹣+﹣＝4﹣， ...， ∴S10＝11﹣＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查数字变化类规律计算，二次根式化简，能够探究出规律是解题的关键． 2．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　82　．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 　4564　． 【答案】82，4564． 【分析】设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），根据最小的“方减数”可得m＝10，n＝18，即可求解；根据B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），得出 为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐个检验计算，即可求解． 【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， 由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b）， ∵1≤a≤9， ∴要使“方减数”最小，需a＝1， ∴m＝10+b，n＝18﹣b， ∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b， 当b＝0时，m2﹣n 最小为82； ②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， ∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8， ∵B除以19余数为1， ∴1010a+99b+7能被19整除， ∴＝53a+5b+ 为整数， 又 2m+n＝k2 （k为整数）， ∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数， ∵1≤a≤9，0≤b≤8， ∴30a+b+8最小为49，最大为256，即7≤k≤16， 设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3， （Ⅰ） 当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3﹣a，30a+b+8＝30a+3﹣a+8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b＝，30a+b+8＝30a++8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则， 是完全平方数， 若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142， ∴t＝3，k＝14， 此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣b＝60， ∴A＝682﹣60＝4564， 故答案为：82，4564． 【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 3．（2024•眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　﹣　． 【答案】﹣． 【分析】先算出前几个式子的结果，然后根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可． 【解答】解：∵a1＝x+1， ∴a2＝＝＝﹣， a3＝＝＝， ∴a4＝＝＝＝x+1， ∴a5＝﹣， a6＝， …， 由上可得，每三个为一个循环， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴a2024＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了分式的混合运算，数字的变化规律等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 4．（2024•甘南州）先化简，再求值：，且x满足﹣2≤x≤2，取一个值即可． 【答案】，当x＝1时，原式＝（答案不唯一）． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， ∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2， ∴整数x＝1或﹣1， ∴当x＝1时，原式＝（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． ►考向二 方程综合 易错易混提醒 （1）注意分式方程增根无解问题 （2）一元二次方程判别式的作用以及韦达定理的应用 1．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k≤． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2024•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　） A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1 【答案】A 【分析】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：， kx﹣2（x﹣3）＝﹣3， kx﹣2x+6＝﹣3 （k﹣2）x＝﹣9， x＝， ∵关于x的分式方程无解， ∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3， ∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0， 解得：k＝﹣1或2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式方程无解的条件． 3．（2024•广州）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 　﹣或　． 【答案】﹣或． 【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可． 【解答】解：∵x⊗1＝﹣， ∴当x≤0时，x2﹣1＝﹣， 解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）； 当x＞0时，﹣x+1＝﹣， 解得x＝； 由上可得，x的值为﹣或， 故答案为：﹣或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　7　． 【答案】7． 【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，即可得到m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m，则m+（n﹣2）2可化为m2﹣5m+9，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m ∴m+（n﹣2）2 ＝m+（3﹣m）2 ＝m2﹣5m+9 ＝﹣2+9 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 5．（2024•山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝4﹣16m＝0， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 6．（2024•云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（2024•达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　2或﹣1　． 【答案】2或﹣1． 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解答】解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2 解得：x＝， ①当x＝2时分母为0，方程无解， 即＝2， ∴k＝2时方程无解； ②当k+1＝0即k＝﹣1时，方程无解； 故答案为：2或﹣1． 【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 考点二 不等式 ►考向一 不等式含参数问题 易错易混提醒 （1）注意含参数不等式求解方法 （2）掌握不等式基本性质 1．（2024•南充）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 【答案】B 【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定m的范围． 【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m+1≥3， ∴m≥2． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2024•大庆）不等式组的整数解有 　4　个． 【答案】4． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解． 【解答】解：解不等式x＞得， x＞﹣2， 解不等式5x﹣3＜9+x得， x＜3， 所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜3． 所以不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2， 即不等式组有4个整数解． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 3．（2024•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　12　． 【答案】所有满足条件的整数a的值之和是12． 【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行相加求解．． 【解答】解：， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＜a+2， 由题意得a+2＞4， 解得a＞2； 解方程﹣＝1得， y＝，且y≠﹣2， 当a＝8时，y＝＝﹣1； 当a＝6时，y＝＝﹣2（不合题意，舍去）； 当a＝4时，y＝＝﹣3， ∴符合条件的a有8，4， ∴8+4＝12， 即所有满足条件的整数a的值之和是12． 【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． ►考向二 不等式综合应用 1．（2024•山东）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，然后利用不等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，然后利用不等式性质可求出y＜150，即可判断②． 【解答】解：设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm， 根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350， ∴x＝350﹣a， ∴350﹣a≤180， 解得a≥170， 故③正确； 1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①； 根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290， ∴b＝290﹣y， ∴290﹣y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，解答本题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 2．（2024•深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　L＝0.2n+1　； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】（1）车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+1； （2）直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； （3）共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次． 【分析】（1）根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式； （2）把L＝2.6代入解析式求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，根据题意得，，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：L＝0.2（n﹣1）+1.2＝0.2n+1， ∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+1； 故答案为：L＝0.2n+1； （2）当L＝2.6时，0.2n+1＝2.6， 解得 n＝8，2×8＝16（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次， ，则用扶手电梯5次可以运完， 根据题意得：， 解得m ∴m为正整数，且m≤5， ∴m＝3，4，5， ∴共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次． 【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式． 1．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（　　） A． B．37 C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，通过通过罗列计算可发现从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．据此解答即可． 【解答】解：当n＝12时， 第1次结果是：＝3， 第2次结果是：3×3+1＝10， 第3次结果是：＝5， 第4次结果是：3×5+1＝16， 第5次结果是：＝1， 第6次结果是：3×1+1＝4， 第7次结果是：， 第8次结果是：3×1+1＝4， •••， 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1． ∴第2024次“F”运算的结果是4． 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化规律，通过罗列发现规律是解答本题的关键． 2．（2024•邯郸模拟）下列能用2a+4表示的是（　　） A．线段AB的长： B．组合图形的面积： C．底面积为a，高为4的圆柱的体积： D．长方形的周长： 【答案】D 【分析】根据题意逐项列出代数式即可． 【解答】解：A．线段AB的长为2+a+4＝a+6，此项不符合题意； B．组合图形的面积为2（a+4）＝2a+8，此项不符合题意； C．底面积为a，高为4的圆柱的体积为4a，此项不符合题意； D．长方形的周长为2（a+2）＝2a+4，此项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的实际应用．列出代数式是关键． 3．（2024•兰考县一模）定义新运算：m*n＝m2﹣mn﹣3，例如：2*3＝22﹣2×3﹣3＝﹣5．则关于x的一元二次方程x*a＝1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据题中的定义，得出关于x的方程，再利用根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由x*a＝1得， x2﹣ax﹣3＝1， 即x2﹣ax﹣4＝0， 所以Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣4）＝a2+16≥16＞0， 所以此方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．（2024•江汉区校级模拟）已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，St＝（t为正整数）．若S1+S2+…St＝t2﹣56，则t的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可得：m+n＝，mn＝1，再把已知条件进行整理可得S1＝1，S2＝1，…，St＝1，从而可求解． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根， ∴m+n＝，mn＝1， ∴S1＝ ＝ ＝ ＝ ＝1， S2＝ ＝ ＝ ＝ ＝1， …， ∴St＝＝1， ∴S1+S2+…St＝t2﹣56， 1+1+…+1＝t2﹣56， t＝t2﹣56， t2﹣t﹣56＝0， （t﹣8）（t+7）＝0， 解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）． 故选：B． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟练根与系数的关系：，． 5．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 6．（2024•宣恩县一模）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为 　﹣1012　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到a2024的值． 【解答】解：由题意可得， a1＝0， a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2， ……， ∴a2023＝﹣＝﹣1011， a2024＝﹣|﹣1011+2023|＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应项的值． 7．（2024•大庆一模）已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ 　﹣5或﹣1或﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据：a0＝1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题． 【解答】解：根据0指数的意义，得 当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5． 当x+2＝1时，x＝﹣1， 当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意． 故填：﹣5或﹣1或﹣3． 【点评】本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到． 8．（2024•沙坪坝区模拟）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 　27　． 【答案】27． 【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有3个偶数解，求出m的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解为非负数，求出m的值，最后求出同时满足已知条件的m的值，求出它们的和即可． 【解答】解：， 由①得：， ， ， 由②得：﹣3x＞5﹣m， ， ∴， ∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为﹣4，﹣2，0， ∴0＜≤2， ∴5＜m≤11， ∴m的偶数值为6，8，10， 解方程， 方程两边同时乘y﹣2得： my﹣2﹣20＝7（y﹣2）， my﹣2﹣20＝7y﹣14， ∴， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，即m﹣7＞0且即m﹣7≠4， ∴m＞7且m≠11， 综上，m的取值为7＜m≤10， ∴符合题意的m的值为8，9，10， 则所有满足条件的整数m的值之和是27； 故答案为：27． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 9．（2024•内江校级二模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式﹣2024x1+的值为 　4049　． 【答案】4049． 【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出﹣x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即﹣2024x1＝，最后代入即可得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根， ∴﹣x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024， ∴﹣﹣2024x1＝0， ∴﹣2024x1＝， ∴﹣2024x1+ ＝+x22 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝12+4048 ＝4049． 故答案为：4049． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，得出﹣2024x1＝，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024是解本题的关键． 10．（2024•渠县校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，AD、DB的长是方程x2的两根，则n＝　4　． 【答案】4． 【分析】证明△ADC∽△CDB，推出CD2＝AD•BD＝4，可得结论． 【解答】解：如图， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∴△ADC∽△CDB， ∴AD：CD＝CD：DB， ∴CD2＝AD•BD， ∵CD＝2， ∴AD•DB＝4， ∵AD、DB的长是方程x2的两根， ∴AD•DB＝n＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 11．（2024•安徽模拟）【观察】观察下列式子： ①1×4+2＝2×3； ②2×5+2＝3×4； ③3×6+2＝4×5； ④4×7+2＝5×6； 【猜想】根据上述式子猜想式子⑥：6×9+2＝　7　×　8　； 【发现】用含n的式子表示出第n个式子：　n×（n+3）+2＝（n+1）×（n+2）　； 【应用】利用你发现的规律计算：． 【答案】猜想：7，8； 发现：n×（n+3）+2＝（n+1）×（n+2）； 应用：． 【分析】猜想：根据上述四个式子猜想第六个式子即可； 发现：根据上述式子得出一般规律，即n×（n+3）+2＝（n+1）×（n+2）； 应用：根据发现的规律计算即可． 【解答】解：猜想：⑥：6×9+2＝7×8， 故答案为：7，8； 发现：第n个式子：n×（n+3）+2＝（n+1）×（n+2）， 故答案为：n×（n+3）+2＝（n+1）×（n+2）； 应用：原式＝＝． 【点评】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 12．（2024•浦北县二模）综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 　四种方案小路面积的大小相等　；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 　69m2　和 　69m2　； ③一般验证：若小路宽为a米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 　（﹣a2+70a）m2　和 　（﹣a2+70a）m2　． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 【答案】（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等；②69m2，69m2；③（﹣a2+70a）m2，（﹣a2+70a）m2；（2）小路的宽为2m． 【分析】（1）①通过平移的性质，猜想即可；②直接利用两条小路的面积之和减去重叠的小正方形的面积求出甲方案中的面积，根据平移的性质，用大长方形的面积减去平移后得到的长方形的面积计算乙方案中的面积；③同法②，列出代数式即可； （2）设小路的宽为x m，根据题意，列出方程进行求解即可； 【解答】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：40×1+30×1﹣1＝69m2； 乙：40×30﹣（40﹣1）×（30﹣1）＝1200﹣1131＝69m2， 故答案为：69m2，69m2； ③甲：40a+30a﹣a2＝（﹣a2+70a）m2， 乙：40×30﹣（40﹣a）×（30﹣a）＝（﹣a2+70a）m2， 故答案为：（﹣a2+70a）m2，（﹣a2+70a）m2； （2）设小路的宽为x m，则（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 解得：a＝2或a＝68（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为2m． 【点评】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 13．（2024•平山县一模）（1）发现比较4m与m2+4的大小，填“＞”“＜”或“＝”： ①当m＝3时，4m 　＜　m2+4； ②当m＝2时，4m 　＝　m2+4； ③当m＝﹣3时，4m 　＜　m2+4； （2）论证无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系？试说明理由； （3）拓展：试通过计算比较x2+2与2x2+4x+6的大小． 【答案】见解答． 【分析】（1）当m＝3时，当m＝2时，当m＝﹣3时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据（m2+4）﹣4m＝（m﹣2）2≥0，即可得出无论m取什么值，判断4m与m2+4有4m≤m2+4； （3）拓展：先求出x2+2﹣2x2﹣4x﹣6）＝﹣（x+2）2，再判断﹣（x+2）2的正负，即可做出判断． 【解答】解：（1）①当m＝3时，4m＝12，m2+4＝13，则4m＜m2+4， ②当m＝2时，4m＝8，m2+4＝8，则4m＝m2+4， ③当m＝﹣3时，4m＝﹣12，m2+4＝13，则4m＜m2+4． 故答案为：＜；＝；＜； （2）无论m取什么值，判断4m与m2+4有4m≤m2+4， 理由如下： ∵（m2+4）﹣4m＝（m﹣2）2≥0， ∴无论取什么值，总有4m≤m2+4； （3）拓展：x2+2﹣2x2﹣4x﹣6 ＝﹣x2﹣4x﹣4 ＝﹣（x2+4x+4） ＝﹣（x+2）2≤0， 故x2+2≤2x2+4x+6． 【点评】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． 14．（2024•柯桥区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润＝草莓销售的总利润﹣路面造价费用﹣果园承包费用﹣新苗购置费用﹣其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由. 【答案】（1）5≤x≤12； （2）路面设置的宽度符合要求；理由见解答过程； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由见解答过程． 【分析】（1）由“道路宽度2x不超过24米，且不小于10米”，可得出x的取值范围； （2）根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据“经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，可得出x＝5符合题意，假设成立，即即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【解答】解：（1）∵道路宽度2x不超过24米，且不小于10米， ∴纵向道路宽度x的取值范围为5≤x≤12； （2）路面设置的宽度符合要求；理由如下： 根据题意得： （300﹣2x）（200﹣4x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190， ∵5≤x≤12， ∴x＝10符合题意， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得：100（300﹣2x）（200﹣4x）﹣50×[2×300×2x+2（200﹣4x）x]﹣250000﹣330000﹣250000＝4000000， 整理得：x2﹣200x+975＝0， 解得：x1＝5，x2＝195， 又∵5≤x≤12， ∴x＝5符合题意， ∴假设成立， 即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2024•衡阳模拟）a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】见试题解答内容 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）（x﹣2）＝0，得到x＝2或﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2）， 得x+2+ax＝3（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0， 解得x＝2或﹣2， x＝2时，a＝﹣2， 当x＝﹣2，a＝6， 当a＝﹣2或a＝6时，关于x的方程会产生增根． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$