专题14 三角形-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题14 三角形 课标要求 考点 考向 1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系． 2．理解三角形内角和定理及推论． 3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质． 4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明. 5．了解特殊三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 6．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 7．掌握特殊三角函数值及其应用 全等三角形 考向一 三角形基本概念及性质 考向二 全等三角形性质判定 特殊三角形 考向一 等腰三角形性质判定 考向二 等腰三角形综合 考点一 全等三角形 ►考向一 三角形基本概念及性质 易错易混提醒 一、三角形的概念及性质 1．概念 (1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 2．性质 (1)三角形的内角和是 180 ；三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角和 ；三角形的一个外角大于与它 不相邻 的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和 大于 第三边；三角形任意两边之差 小于 第三边． 二、三角形中的重要线段 1．三角形的角平分线 三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的 内心 ． 2．三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 ． 3．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边 中点 的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的 重心 ． 4．三角形的中位线 连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的 一半 ． 1．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　） A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm 【答案】C 【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案． 【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得： 8﹣6＜x＜8+6， 解得：2＜x＜14， 只有13cm适合， 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 2．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm 【答案】C 【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm， ∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm， ∴第三边的长度可能是：6cm． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 【答案】B 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意； B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意； C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． ►考向二 全等三角形性质判定 易错易混提醒 全等三角形的性质与判定 1．概念 能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质 全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等． 3．判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)． 1．（2024•浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，则EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE， ∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3， ∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1， ∵四边形形EFGH是正方形， ∴∠DHE＝90°， ∴DE＝＝＝， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键． 2．（2024•浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 　　． 【答案】． 【分析】根据轴对称可得到等线段等角，再结合菱形的性质可得到△A'ED≌△CEB'（AAS），再证△DOE≌△B'OE（SSS），由B'C：B'O＝2：3即可求出答案． 【解答】解：如图连接OE、A'D， ∵AB关于过O的直线对称， ∴A'在BD延长线上， ∵， ∴设AC＝10k，BD＝6k， 在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，CB＝OD＝3k， ∵AB与A'B'关于过O的直线对称， ∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA， ∴A'D＝B'C＝2k， ∵∠A'ED＝∠B'CE， ∴△A'ED≌△CEB'（AAS）， ∴DE＝B'E， ∵OE＝OE，OD＝OB'， ∴△DOE≌△B'OE（SSS）， ∴S△DOE＝S△B′OE， ∵＝＝， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质和菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上基础知识和线段之间的转化是解题关键． 3．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 【答案】（1）选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可． （2）根据（1）中所选条件，进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 选择的三个条件是：①②③； 或者选择的三个条件是：①③④． 证明：（2）当选择①②③时， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 当选择①③④时， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 考点二 特殊三角形 ►考向一 等腰三角形性质判定 易错易混提醒 一、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形 的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 二、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成 “等角 对等动”）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 三、直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角互余． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 四、直角三角形的判定 1．有一个角等于900的三角形是直角三角形． 2．有两角 互余 的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么 这个三角形是直角三角形． 1．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC， 在Rt△EBD中，∠EBC＝45°， ∴ED＝BD＝3， ∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 2．（2024•浙江）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 3．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC． 【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4， ∴AD＝AB＝4， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC＝AD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　∠B＝60°（答案不唯一）　． 【答案】∠B＝60°．（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可． 【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：∠B＝60°．（答案不唯一） 【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系． 5．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长． 【答案】BD＝5，DE＝． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13， 【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴， ∵BC＝10， ∴BD＝5， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， ∵AD＝12， ∴， ∵E为AB的中点，D点为BC的中点， ∴． 【点评】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证； （2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB， ∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°， ∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC， ∴CE＝CM； （2）解：∵AB＝4， ∴CE＝CM＝AB＝2， ∵EF⊥AC，∠ACE＝30°， ∴FC＝CE•cos30°＝． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． ►考向二 特殊三角形综合 1．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°， ∴AF∥GH， ∵AD∥BC，∠AFH＝90°， ∴四边形AFHG是矩形， ∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∵∠FAG＝∠BAE， ∴∠BAF＝∠EAG， ∵∠AFB＝∠G＝90°， ∴△AFB≌△AGE（AAS）， ∴AF＝AG， ∴矩形AFHG是正方形， ∴AG＝GH， ∵AG∥BC， ∴∠C＝∠EDG＝45°， ∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形， ∴DG＝EG，CH＝EH， ∴AD＝EH＝1， ∴CH＝1， 由勾股定理得：CE＝＝． 解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F， ∵∠C＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠CFE＝45°， ∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°， ∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AED＝∠FBE， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴＝， ∵AD∥BC， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣45°＝135°， ∴∠D＝∠BFE， ∴△ADE∽△EFB， ∴＝＝， ∵AD＝1， ∴EF＝， ∴CE＝EF＝． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键． 2．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α． （1）如图，当P与E重合时，求α的度数． （2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系． 【答案】（1）α的度数为25°； （2）当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°． 【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，从而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°； （2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根据∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°， ∵AE平分∠BAC，P与E重合， ∴D在AB边上，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°， ∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°； 答：α的度数为25°； （2）①当点P在线段BE上时，如图： ∵将△APC沿AP翻折得△APD， ∴AC＝AD， ∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α， 又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°， ∴（90°﹣α）+β＝40°+α， ∴2α﹣β＝50°， ②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图： ∵将△APC沿AP翻折得△APD， ∴AC＝AD， ∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α， 又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α， ∴90°﹣α＝40°+α+β， ∴2α+β＝50°； 综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°． 【点评】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形内角和定理． 1．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 2．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△ADF与△BDC中， ， ∴△ADF≌△BDC（ASA）， ∴DF＝CD， ∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ADF与△BDC全等解答是解题的关键． 3．（2024•鄞州区一模）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形ABCD，延长BE交MN于点F，若BE×EF＝m，MF×NF＝n，则阴影部分的面积之和用含m，n的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得阴影部分的面积之和为BE2.根据BE×EF＝m，可得用EF2表示的BE2的代数式，易得△EFM∽△NFE，即可得到EF2的值，整理即可得到阴影部分的面积之和． 【解答】解：阴影部分的面积之和＝ME2+EN2＝MN2＝BE2． ∵BE×EF＝m， ∴BE＝． ∴BE2＝． ∵图中是4个全等的直角三角形， ∴∠MNE＝∠BEG，∠MNE+∠EMN＝90°． ∵∠BEG＝∠MEF， ∴∠MEF＝∠MNE． ∵∠MEF+∠FEN＝90°， ∴∠EMN＝∠FEN． ∴△EFM∽△NFE． ∴＝． ∴EF2＝FM•NF． ∵MF×NF＝n， ∴EF2＝n． ∴BE2＝． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形及勾股定理的综合应用．根据三角形的相似得到EF和MF、FN的关系是解决本题的关键． 4．（2024•杭州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE和正方形BCGF，点D在FG上，连结CE、EG．若要求四边形CDGE的面积，则只需知道（　　） A．AB的长 B．BC的长 C．△ABC的面积 D．△ACE的面积 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点H作EH1AG交于点H，由正方形的性质得出∠FBD＝∠ABC，得到△ABC≌△DBF（SAS），进而得出S△ABC＝S△DBF，再证明△AHE≌△ACB（AAS），得到S四边形CDGE＝S正方形BCGF﹣S△BDC＝BC•CG﹣BC•CG＝BC2即可求解． 【解答】解：∵四边形ABDE，BFGC是正方形， ∴AB＝BD＝AE，BC＝BF＝CG，∠BFG＝∠CBF＝90°， ∴∠FBD＝∠ABC， 在△ABC和△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴S△ABC＝S△DBF 过点H作EH⊥AG交于点H，则∠EAH＝∠ABC，∠AEH＝90°， 在△AHE和△ACB中， ， ∴△AHE≌△ACB（AAS）， ∴EH＝AC， S△CGE＝CG•EH， S△ACB＝BC•AC， BC＝CG，EH＝AC， ∴S四边形CDGE＝S正方形BCGF﹣S△BDC＝BC•CG﹣BC•CG＝BC2， ∴要求四边形CDGE的面积，只需知道BC的长， 故选：B． 【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 5．（2024•泗阳县二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 6．（2024•浙江模拟）克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为2的圆，∠A＝120°，∠B＝45°，AB＝AD，则四边形ABCD的周长为（　　） A．4+6 B．10 C．4+4 D．4+5 【答案】A 【分析】连接AC，BD，设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于M，连接AM，过A作AN⊥CD交CD延长线于N，由∠DAB＝120°，AB＝AD，得∠ABD＝30°，即得∠M＝∠ABD＝30°，可得AD＝DM＝2＝AB，BD＝AD＝6，由∠ADC＝135°，得△ADN是等腰直角三角形，AN＝＝，在Rt△ACN中，AC＝2AN＝2，由托勒密定理的推论知有2BC+2CD＝6×2，故BC+CD＝6，从而可得四边形ABCD的周长为4+6． 【解答】解：连接AC，BD，设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于M，连接AM，过A作AN⊥CD交CD延长线于N，如图： ∵∠DAB＝120°，AB＝AD， ∴∠ABD＝30°， ∵＝， ∴∠M＝∠ABD＝30°， ∵DM是⊙O的直径， ∴∠DAM＝90°， ∴AD＝DM， ∵⊙O半径为2， ∴DM＝4， ∴AD＝2＝AB， ∴BD＝AD＝6， ∵∠ADC＝135°， ∴∠ADN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AN＝＝＝， ∵∠DCB＝180°﹣∠DAB＝60°，AB＝AD， ∴∠DCA＝∠BCA＝30°， 在Rt△ACN中， AC＝2AN＝2， 由托勒密定理的推论知：AD•BC+AB•CD＝BD•AC， ∴2BC+2CD＝6×2， ∴BC+CD＝6， ∴AB+BC+CD+AD＝2+6+2＝4+6， ∴四边形ABCD的周长为4+6， 故选：A． 【点评】本题考查等腰直角三角形，涉及含30°角的直角三角形三边关系，圆的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．（2024•嘉兴一模）如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作EG⊥BG于点G，先求出CG＝1，EG＝，则BG＝5，进而得BE＝，证∠BFD＝60°，由此可证△BFD和△BCE相似，利用相似三角形性质得BF＝，据此可得EF的长． 【解答】解：过点E作EG⊥BG于点G，如图所示： ∵△ABC为等边三角形，AB＝6， ∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB＝6， ∴BD＝CE＝AB＝×6＝2， 在Rt△CEG中，CE＝2，∠CEG＝90°﹣∠C＝30°， ∴CG＝CE＝1，由勾股定理得：EG＝＝， ∴BG＝BC﹣CG＝5﹣1＝5， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE＝＝， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠2＝∠CBE， ∴∠BFD＝∠1+∠2＝∠1+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠BFD＝∠C， 又∠FBD＝∠CBE， ∴△BFD∽△BCE， ∴BF：BC＝BD：BE， 即， ∴BF＝， ∴EF＝BE﹣BF＝＝． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 8．（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝，BD＝BC＝2，再结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出DF＝BD＝2，再代入EF＝DE﹣DF计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBD， ∵D，E分别为BC，AC的中点， ∴DE∥AB，DE＝AB＝，BD＝BC＝2， ∴∠ABF＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠FBD， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD．若∠ACD＝20°，则∠A＝ 　50　°． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝20°， ∴∠BCD＝70°， 根据题意得，BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10．（2024•萧山区一模）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　x2+32＝（10﹣x）2　． 【答案】x2+32＝（10﹣x）2． 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可． 【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 故答案为：x2+32＝（10﹣x）2． 【点评】本考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 11．（2014•西湖区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】通过全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF＝DE＝1；根据DE是△ABC的中位线，可求出DE：BC＝1：2． 【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC ∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF ∴DE＝CF＝1 ∴CF＝BC ∴BC＝2 故答案为2． 【点评】本题考点了三角形的中位线定理及全等三角形的判定及性质，证得三角形全等是解题的关键． 12．（2024•普陀区二模）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然，Rt△CGD的面积y是线段长度x的函数，这个函数的表达式是 　y＝（＜x＜1）　． 【答案】y＝（＜x＜1）． 【分析】通过等边三角形的性质，得出CG的长度为1﹣x，DG的长度为，即可得出函数表达式． 【解答】解：∵BC＝1，BG＝x， ∴CG＝1﹣x， ∵∠C＝60°， ∴DG＝， ∴y＝＝（＜x＜1）， 故答案为：y＝（＜x＜1）． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握60°直角三角形三边关系是解题的关键． 13．（2024•余姚市校级四模）等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以C为圆心，BC为半径作圆弧与△ABC的边交于点D．则∠BDC＝　54°或72°　． 【答案】54°或72°． 【分析】当⊙C与AB交于D时，由等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠ABC＝72°，当⊙C与AC交于D时，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到∠BDC＝∠CBD＝×（180°﹣72°）＝54°，于是得到∠BDC＝54°或72°． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°， 如图①，当⊙C与AB交于D时， ∵CD＝CB， ∴∠BDC＝∠ABC＝72°， 如图②，当⊙C与AC交于D时， ∵CD＝BC， ∴∠BDC＝∠CBD＝×（180°﹣72°）＝54°， ∴∠BDC＝54°或72°． 故答案为：54°或72°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 14．（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　2　． 【答案】2． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，由等边三角形的性质得出BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，即可证得∠EAD＝45°，得出△AED是等腰直角三角形，设CE＝x，根据勾股定理即可求出AE的长，在Rt△AED中根据勾股定理即可求出x的值，从而得出AB的长． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵△ABC是等边三角形， ∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∵∠CAD＝15°， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°+15°＝45°， ∴△AED是等腰直角三角形， 设CE＝x， ∵∠CAE＝30°，AE⊥BC， ∴AC＝2CE＝2x， 由勾股定理得，AE＝， ∴DE＝AE＝， 由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2， ∴， 解得x＝1， ∴AC＝2x＝2， ∴AB＝AC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 15．（2024•杭州三模）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．若BC＝8，则OD＝　2　． 【答案】2． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，证明四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分求出OD． 【解答】解：∵DE是△ABC的中线， ∴DE＝BC＝×8＝4， ∵D是AB的中点，F是BC的中点，E是AC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF＝AC＝AE，DF∥AE， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∴OD＝DE＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16．（2024•瓯海区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，DE⊥AB，且DE＝AC，DE与AC交于点G，过点E作FE∥BC交AB于点F，交AC于点H． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）若∠EFD＝58°，求∠DGH的值． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠DGH的度数为122°． 【分析】（1）由∠C＝90°，DE⊥AB于点D，得∠C＝∠EDF＝90°，由FE∥BC，得∠B＝∠EFD，而AC＝ED，即可根据“AAS”证明△ABC≌△EFD； （2）因为∠B＝∠EFD＝58°，∠C＝∠EDF＝90°，所以∠DGH＝360°﹣∠EFD﹣∠C﹣∠EDF＝122°． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB于点D， ∴∠C＝∠EDF＝90°， ∵FE∥BC， ∴∠B＝∠EFD， 在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（AAS）． （2）∵∠EFD＝58°， ∴∠B＝∠EFD＝58°， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴∠DGH＝360°﹣∠EFD﹣∠C﹣∠EDF＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°， ∴∠DGH的度数为122°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于360°等知识，推导出∠C＝∠EDF，∠B＝∠EFD，进而证明△ABC≌△EFD是解题的关键． 17．（2024•舟山一模）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连结EF． （1）求∠EAF的度数． （2）求证：EF＝BC． 【答案】（1）115°； （2）证明见解析． 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）证明△EAF≌△CAB（SAS），得出EF＝CB． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC． ∴∠ADC＝90°． ∵∠C＝25°， ∴∠EAF＝∠ADC+∠C＝115°； （2）证明：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝115°． ∴∠EAF＝∠CAB． 在△EAF和△CAB中， ， ∴△EAF≌△CAB（SAS）， ∴EF＝CB． 【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 18．（2024•西湖区校级二模）如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根据“SAS”证明△ACB≌△DCE，则AB＝DE； （2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，则∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°． 【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE． （2）解：由（1）得△ACB≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝25°， ∵∠E＝35°， ∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣25°﹣35°＝120°， ∴∠ECD的度数是120°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ACB＝∠DCE，进而证明△ACB≌△DCE是解题的关键． 19．（2024•金华一模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ADC． （2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据HL即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，得出BF＝5，再利用勾股定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）． （2）解：∵BF＝AC，AC＝5， ∴BF＝5． 在Rt△BDF中，BD2+32＝52， ∴BD＝4， 即：AD＝BD＝4， ∴AF＝1． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC． 20．（2024•钱塘区三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标． （3）在（2）的条件下，求旋转过程中点A1所经过的路径长．（结果保留π） 【答案】（1）图形见解析过程，点A1的坐标为（﹣5，2）； （2）图形见解析过程，点A2的坐标为（1，4）； （3）π． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可； （3）利用勾股定理求出A1C1，再利用弧长公式求解． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣5，2）； （2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（1，4）； （3）∵A1C1＝＝2， ∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长＝＝π． 【点评】本题是三角形综合题，考查作图﹣平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 21．（2024•温州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线AC，BD交于点G，BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点． （1）求证：△ABD≌△CBD． （2）若BE＝5，，∠ADC＝90°，求四边形ABCE的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）四边形ABCE的面积为15． 【分析】（1）由BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，而AB＝CB，BD＝BD，即可根据“SAS”证明△ABD≌△CBD； （2）由全等三角形的性质得AD＝CD，而∠ADC＝90°，AD＝3，所以AC＝AD＝6，由AB＝BC，BD平分∠ABC，根据等腰三角形的“三线合一”证明BE⊥AC，则S四边形ABCE＝AC•BE＝15． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）． （2）解：由（1）得△ABD≌△CBD， ∴AD＝CD， ∵∠ADC＝90°，BE＝5，AD＝3， ∴AC＝＝AD＝×3＝6， ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AC， ∴S四边形ABCE＝AC•BE＝×6×5＝15， ∴四边形ABCE的面积为15． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，求得AC＝6，并且证明BE⊥AC是解题的关键． 22．（2024•下城区校级模拟）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，延长DC交BC的中垂线于点E，AE与BD交于点F，且满足AB＝AC＝AD． （1）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：∠ADB＝∠AED， （2）求证：． （3）若AB＝1，AE＝2，求AF的值． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程； （3）． 【分析】（1）由等腰三角形的定义可得∠ABC＝∠ACB＝α，∠ADC＝∠ACD＝β，由线段垂直平分线的性质可求∠AED＝90°﹣（180°﹣α﹣β）＝α+β﹣90°，即可得结论； （2）先求出∠CDB，即可得结论； （3）通过证明△AFB∽△ABE，可得，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝α，∠ADC＝β，AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠ACB＝α，∠ADC＝∠ACD＝β， ∴∠BCE＝180°﹣α﹣β， ∵AE垂直平分BC， ∴AE⊥BC， ∴∠AED＝90°﹣（180°﹣α﹣β）＝α+β﹣90°， ∵∠CAB＝180°﹣2α，∠CAD＝180°﹣2β， ∴∠BAD＝360°﹣2α﹣2β， ∵AD＝AB， ∴∠ADB＝＝α+β﹣90°， ∴∠ADB＝∠AED； （2）证明：∵∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB， ∴∠CDB＝β﹣（α+β﹣90°）＝90°﹣α， ∵∠CAB＝180°﹣2α， ∴∠CDB＝∠CAB； （3）解：∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝α+β﹣90°， ∵AE垂直平分BC， ∴AE⊥BC，CE＝BE， ∴∠AED＝∠AEB＝α+β﹣90°， ∴∠AEB＝∠ABD， 又∵∠BAE＝∠BAF， ∴△AFB∽△ABE， ∴， ∴， ∴AF＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示各个角的度数是解题的关键． 23．（2024•杭州四模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，FH⊥AB于点H． （1）求证：△ACF≌△AHF； （2）求CE的长． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）3． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，再根据FH⊥AB得∠ACB＝∠AHF＝90°根据角平分线定义得∠CAF＝∠HAF，由此可依据“AAS”判定△ACF和△AHF全等； （2）由（1）得△ACF≌△AHF，则∠AFC＝∠AFH，CF＝FH，AC＝AH＝6，证CD∥FH得∠CEF＝∠AFH，则∠AFC＝∠CEF，从而得CE＝CF，设CF＝x，则CE＝CF＝FH＝x，BH＝4，BF＝8﹣x，然后在Rt△BFH中由勾股定理求出x即可得出CE的长． 【解答】（1）证明：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°， ∵FH⊥AB， ∴∠ACB＝∠AHF＝90° ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠HAF， 在△ACF和△AHF中， ， ∴△ACF≌△AHF（AAS）； （2）解：由（1）得：△ACF≌△AHF， ∴∠AFC＝∠AFH，CF＝FH，AC＝AH＝6， ∵CD⊥AB，FH⊥AB， ∴CD∥FH， ∴∠CEF＝∠AFH， ∴∠AFC＝∠CEF， ∴CE＝CF， 设CF＝x，则CE＝CF＝FH＝x， ∵AC＝AH＝6，AB＝10，BC＝8， ∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，BF＝BC﹣CF＝8﹣x， 在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF2＝FH2+BH2， 即（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴CE＝x＝3． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 24．（2024•浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点，CD与AB交于点F，点E为CF上一点，且∠CAE＝∠ABC． （1）求∠CAE的度数． （2）求证：AC2＝CE•CD． （3）若AB＝8，CD＝6，求AF的长． 【答案】（1）30°； （2）AC2＝CD•CE； （3）． 【分析】（1）由圆周角定理可求∠ACB＝90°，∠BAC＝2∠ABC，即可求解； （2）通过证明△ACE∽△DCA，可得，即可求解； （3）由“HL”可证Rt△ACK≌Rt△ODN，可得AK＝ON＝，通过证明△AMF∽△ONF，可得，即可求解． 【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵的长度是长度的2倍， ∴∠BAC＝2∠ABC， ∴∠ABC＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠CAE＝∠ABC＝30°； （2）证明：∵∠CAE＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠CAE＝∠ADC， 又∵∠ACE＝∠ACD， ∴△ACE∽△DCA， ∴， ∴AC2＝CD•CE； （3）解：如图，连接DO，过点O作ON⊥CD于N，过点C作CK⊥直线AD于K，AM⊥CD于M， ∵AB＝8，CD＝6，ON⊥CD， ∴ON＝4，DN＝CN＝3， ∴ON＝＝＝， ∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°， ∴AC＝AB＝4， ∴AC＝OD， ∵∠ADC＝∠ABC＝30°，CK⊥AD， ∴KC＝CD＝3，DK＝CK＝3， ∴CK＝NF， ∴Rt△ACK≌Rt△ODN（HL）， ∴AK＝ON＝， ∴AD＝3﹣， ∵∠ADC＝∠ABC＝30°，AM⊥CD， ∴AM＝AD＝， ∵ON⊥CD，AM⊥CD， ∴AM∥ON， ∴△AMF∽△ONF， ∴＝＝， ∴AF＝4×＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．（2024•浙江模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 【答案】（1）45°+； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠ACB＝90°﹣α，再根据角的和差求解即可； （2）延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E，结合邻补角定义求出∠BAC＝∠ABF＝α，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠DAB＝α，∠BAE＝α，BE＝BC，再根据角平分线的性质即可得证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∵∠ACD+∠BAC＝45°， ∴∠ACD＝45°﹣α， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（45°﹣α）＝45°+； （2）证明：如图2，延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ABD+∠BAC＝180°，∠ABD+∠ABF＝180°， ∴∠BAC＝∠ABF＝α， ∵AB＝BD， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠D+∠DAB＝∠ABF， ∴∠D+∠DAB＝∠ABF＝α， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠BAC＝α，BE＝BC， ∴∠DAB＝∠BAE， ∵BH⊥AD，AE⊥BC， ∴BH＝BE， ∴BH＝BC． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 三角形 课标要求 考点 考向 1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系． 2．理解三角形内角和定理及推论． 3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质． 4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明. 5．了解特殊三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 6．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 7．掌握特殊三角函数值及其应用 全等三角形 考向一 三角形基本概念及性质 考向二 全等三角形性质判定 特殊三角形 考向一 等腰三角形性质判定 考向二 等腰三角形综合 考点一 全等三角形 ►考向一 三角形基本概念及性质 易错易混提醒 一、三角形的概念及性质 1．概念 (1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 2．性质 (1)三角形的内角和是 180 ；三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角和 ；三角形的一个外角大于与它 不相邻 的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和 大于 第三边；三角形任意两边之差 小于 第三边． 二、三角形中的重要线段 1．三角形的角平分线 三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的 内心 ． 2．三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 ． 3．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边 中点 的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的 重心 ． 4．三角形的中位线 连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的 一半 ． 1．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　） A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm 2．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm 3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 ►考向二 全等三角形性质判定 易错易混提醒 全等三角形的性质与判定 1．概念 能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质 全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等． 3．判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)． 1．（2024•浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 2．（2024•浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 　　． 3．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 考点二 特殊三角形 ►考向一 等腰三角形性质判定 易错易混提醒 一、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形 的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 二、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成 “等角 对等动”）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 三、直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角互余． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 四、直角三角形的判定 1．有一个角等于900的三角形是直角三角形． 2．有两角 互余 的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么 这个三角形是直角三角形． 1．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 2．（2024•浙江）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　　． 3．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　　． 4．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 　． 5．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长． 6．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． ►考向二 特殊三角形综合 1．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　） A． B． C．2 D．1 2．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α． （1）如图，当P与E重合时，求α的度数． （2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系． 1．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 2．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（2024•鄞州区一模）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形ABCD，延长BE交MN于点F，若BE×EF＝m，MF×NF＝n，则阴影部分的面积之和用含m，n的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•杭州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE和正方形BCGF，点D在FG上，连结CE、EG．若要求四边形CDGE的面积，则只需知道（　　） A．AB的长 B．BC的长 C．△ABC的面积 D．△ACE的面积 5．（2024•泗阳县二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 6．（2024•浙江模拟）克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为2的圆，∠A＝120°，∠B＝45°，AB＝AD，则四边形ABCD的周长为（　　） A．4+6 B．10 C．4+4 D．4+5 7．（2024•嘉兴一模）如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，AD，BE交于点F．若AB＝6．则EF的长为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•杭州二模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 9．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD．若∠ACD＝20°，则∠A＝ 　 　°． 10．（2024•萧山区一模）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　 　． 11．（2014•西湖区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝　 　． 12．（2024•普陀区二模）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然，Rt△CGD的面积y是线段长度x的函数，这个函数的表达式是 　 　． 13．（2024•余姚市校级四模）等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以C为圆心，BC为半径作圆弧与△ABC的边交于点D．则∠BDC＝　 　． 14．（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　 　． 15．（2024•杭州三模）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．若BC＝8，则OD＝　 　． 16．（2024•瓯海区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，DE⊥AB，且DE＝AC，DE与AC交于点G，过点E作FE∥BC交AB于点F，交AC于点H． （1）求证：△ABC≌△EFD； （2）若∠EFD＝58°，求∠DGH的值． 17．（2024•舟山一模）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连结EF． （1）求∠EAF的度数． （2）求证：EF＝BC． 18．（2024•西湖区校级二模）如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC． （1）求证：AB＝DE； （2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数． 19．（2024•金华一模）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ADC． （2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的长． 20．（2024•钱塘区三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标． （3）在（2）的条件下，求旋转过程中点A1所经过的路径长．（结果保留π） 21．（2024•温州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线AC，BD交于点G，BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点． （1）求证：△ABD≌△CBD． （2）若BE＝5，，∠ADC＝90°，求四边形ABCE的面积． 22．（2024•下城区校级模拟）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，延长DC交BC的中垂线于点E，AE与BD交于点F，且满足AB＝AC＝AD． （1）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：∠ADB＝∠AED， （2）求证：． （3）若AB＝1，AE＝2，求AF的值． 23．（2024•杭州四模）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，FH⊥AB于点H． （1）求证：△ACF≌△AHF； （2）求CE的长． 24．（2024•浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点，CD与AB交于点F，点E为CF上一点，且∠CAE＝∠ABC． （1）求∠CAE的度数． （2）求证：AC2＝CE•CD． （3）若AB＝8，CD＝6，求AF的长． 25．（2024•浙江模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$