专题16 圆-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题16 圆 课标要求 考点 考向 1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论. 3. 了解圆的内接四边形性质及其应用 4．探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系． 5．知道三角形的内心和外心． 6．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 7．会计算圆的弧长和扇形的面积． 8．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积． 9．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 圆的基本性质 考向一 垂径定理 考向二 圆心（周）角、弧、弦 考向三 圆的内接四边形、圆周角定理及推论 考向四 圆综合 与圆有关的位置关系及计算 考向一 点、直线与圆的位置关系 考向二 圆、扇形等相关计算 考点一 圆的基本性质 ►考向一 垂径定理 易错易混提醒 垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 4．（1）过圆心；（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 1．（2023•湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　　cm． ►考向二 圆心（周）角定理及推理 易错易混提醒 圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2．推论 同圆或等圆中：（1）两个圆心角相等；（2）两条弧相等；（3）两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义 顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫做圆周角． 2．性质 （1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半． （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 1．（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 2．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　） A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 3．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 4．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．130° 5．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　　． ►考向三 圆的内接四边形 1．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　　． 2．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． ►考向四 圆综合 1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF． （1）若BE＝1，求GE的长． （2）求证：BC2＝BG•BO． （3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论． 2．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　　． 3．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D． （1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长； （2）如图2，当，时，求的值； （3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值． 4．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC． （1）求∠BGC的度数． （2）①求证：AF＝BC． ②若AG＝DF，求tan∠GBC的值． （3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长． 5．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H． （1）求证：AD∥HC； （2）若＝2，求tan∠FAG的值； （3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5． 下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①若OF＝，求BC的长； ②若AH＝，求△ANB的周长； ③若HF•AB＝88，求△BHC的面积． 6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD． （2）求证：△BDE≌△FDG． （3）如图2，AD为⊙O的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/19 9:26:43；用户：15268541991；邮箱：15268541991；学号：21383301 考点二 与圆有关的位置关系及计算 ►考向一 点、直线与圆的位置关系 易错易混提醒 一、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系 点在圆上，点在圆内，点在圆外． 2．点和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔ d>r ；点在圆上⇔ d=r ；点在圆内⇔ d<r . 3．过三点的圆 (1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． (2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 二、直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系 相切、相离、相交. 2．概念 (1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 3．直线和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔ d<r ；直线l和⊙O相切⇔ d=r ；直线l和⊙O相离⇔ d>r . 1．（2024•浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　　． 2．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　　． 3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　　cm． 4．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E． （1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数； （2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长． 5．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H． （1）求证：四边形ABOH为矩形． （2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长． ►考向二 圆、扇形等相关计算 易错易混提醒 弧长、扇形面积的计算 1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝nπr/180. 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝(n/360)·πr2或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l. 1．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　　cm． 2．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　　cm2．（结果保留π） 3．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　　． 4．（2023•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E． （1）求证：BC＝BD． （2）若OB＝OA，AE＝2． ①求半圆O的半径． ②求图中阴影部分的面积． 1．（2024•浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．（2024•诸暨市模拟）如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是弧BF的中点，连接AC．若∠CAB＝30°，AB＝2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•浙江一模）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•瑞安市校级模拟）点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 5．（2024•镇海区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，弦BN∥AC，AN交CO的延长线于点M．已知OC＝5，AB＝8，则AM：AN为（　　） A．1：2 B．5：11 C．6：11 D．2：3 6．（2024•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（　　） A．68° B．64° C．58° D．32° 7．（2024•余姚市校级四模）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（　　） A．144° B．135° C．130° D．120° 8．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．（2024•临安区一模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，延长BO交AC于点D，OE⊥BC，垂足为点E，点F是OB上一点，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，则m，n满足的关系式是 　 　． 10．（2024•浙江模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　 　． 11．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　 　． 12．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　 　米． 13．（2024•浙江模拟）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为A．将△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD（点C与点O对应），使点C落在⊙O上，边AD交⊙O于点E．若OA＝2，，则DE的长为 　 　． 14．（2024•普陀区二模）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为 　 　．（结果保留π） 15．（2024•温州三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　 　． 16．（2024•诸暨市模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　； （2）请通过计算判断点D（﹣3，﹣2）与⊙M的位置关系． 17．（2024•杭州模拟）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β． （1）求∠ACB的大小（用α，β表示）； （2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC； （3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°， ①求证：GM∥BC，GM＝BC； ②请直接写出的值． 18．（2024•余姚市一模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD． （1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC； （2）求证：BF＝CD； （3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC． ①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长； ②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论． 19．（2024•台州模拟）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F． （1）求证：点D是的中点； （2）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G． ①当点G在线段AD上，求AC的长； ②当点G在线段AC上，求sin∠ABC的值． 20．（2024•瑞安市校级模拟）如图，已知线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，AE＝7BE＝7．延长CD至点F，使EF＝CE，连结AC，AF．G为线段DF上一点，分别延长CB，AG交于点H，连结FH． （1）求证：△ACF是直角三角形． （2）当线段FH与△AEC的一边平行时，求的值． （3）记AH与⊙O交于点P，当P为的中点时，求AH的长． 21．（2024•温州模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是上一点，2＝，AD与BC的延长线交于点E，连接CD，OA＝5，． （1）求证：OC∥AE； （2）求sin∠EAO与BC的值； （3）若点P，Q分别是四边形ADCB相邻两条边上的点（包括端点），当P，Q，A，O四点组成的图形为平行四边形时（点P在点Q上方），求所有满足条件的OP的长． 22．（2024•镇海区校级三模）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接BO并延长交AD于点G，延长BC，AD交于点E，连接AC，BD，交于点F．已知BD＝AB，，． （1）求证：AC⊥BD． （2）若OB＝5，求DE的长． （3）求的值． 23．（2024•镇海区校级四模）如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成⊙O）的半径是4m，水面（看成直线）与⊙O交于A，B两点，水车的轴心O到AB的距离OH为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒5°的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动的时间为t秒，解决下列问题： （1）求AB的长以及扇形AOB的面积；（结果保留π） （2）当t＝3时，求点P到直线AB的距离； （3）若接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与射线AB交于点M，，当竹筒P第一次恰好在MN所在直线上时，求t的值． 24．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝　 　°，∠B＝　 　°，∠C＝　 　°．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由． 25．（2024•拱墅区校级二模）已知四边形ABCD内接于⊙O（∠ABC＜∠ADC），对角线BD⊥AC于点M，点N为线段AB上一点，且ON⊥AB．（1）如图1，若BD恰好经过圆心O，证明：； （2）如图2，若BD不经过圆心O，是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3所示，线段ON与BD交于点G，延长GO交AC于点F，连结OC，若AF2+DM2＝8，，设sin∠FCO＝x，tan∠ACD＝y，请直接写出FC的长（用x，y表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆 课标要求 考点 考向 1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论. 3. 了解圆的内接四边形性质及其应用 4．探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系． 5．知道三角形的内心和外心． 6．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 7．会计算圆的弧长和扇形的面积． 8．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积． 9．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 圆的基本性质 考向一 垂径定理 考向二 圆心（周）角、弧、弦 考向三 圆的内接四边形、圆周角定理及推论 考向四 圆综合 与圆有关的位置关系及计算 考向一 点、直线与圆的位置关系 考向二 圆、扇形等相关计算 考点一 圆的基本性质 ►考向一 垂径定理 易错易混提醒 垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 4．（1）过圆心；（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 1．（2023•湖州）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　3　cm． 【答案】3． 【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程即可． 【解答】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm， ∴BD＝CD＝BC＝4cm，BD2+OD2＝OB2， ∵OB＝5cm， ∴42+OD2＝52， ∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去）， ∴OD的长是3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题． ►考向二 圆心（周）角定理及推理 易错易混提醒 圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2．推论 同圆或等圆中：（1）两个圆心角相等；（2）两条弧相等；（3）两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义 顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫做圆周角． 2．性质 （1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半． （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 1．（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【分析】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BOC＝100°． 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　） A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【答案】C 【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数． 【解答】解：连接OB，OC， ∵BC∥AD， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴＝， ∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA， ∵DB⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠CAD＝∠BDA＝45°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB， ∵OA＝OD，∠AOD＝120°， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴AD＝OA＝， ∴OA＝1， ∴BC＝1， ∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形． 3．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 【答案】D 【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解． 【解答】解：连接OC， ∵∠ABC＝19°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝38°， ∵半径OA，OB互相垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°， ∴∠BAC＝∠BOC＝26°， 故选：D． 【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．130° 【答案】B 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°， ∵∠DOE＝130°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　30°　． 【答案】30°． 【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°， ∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键． ►考向三 圆的内接四边形 1．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 　80°　． 【答案】80°． 【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝100°， ∴∠B＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质． 2．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【答案】（1）30°； （2）详见解答． 【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可； （2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可． 【解答】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG， ∵DG∥BC， ∴＝， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键． ►考向四 圆综合 1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF． （1）若BE＝1，求GE的长． （2）求证：BC2＝BG•BO． （3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1； （2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO； （3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE+∠D＝90°， ∵CF⊥AD， ∴∠FCD+∠D＝90°， ∴∠DAE＝∠FCD， 由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠FCD， 在△BCE和△GCE中， ， ∴△BCE≌△GCE（ASA）， ∴GE＝BE＝1； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°， ∵∠ABC＝∠CBE， ∴△ACB∽△CEB， ∴＝， ∴BC2＝BA•BE， 由（1）知GE＝BE， ∴BE＝BG， ∵AB＝2BO， ∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO； （3）解：∠CAD＝45°，证明如下： 解法一：如图，连接OC， ∵FO＝FG， ∴∠FOG＝∠FGO， ∵直径AB垂直弦CD， ∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠DAE＝∠CAE， 设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β， 则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝α， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α， ∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°， ∴β+α＝90°， ∴α＝90°﹣β， ∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α， ∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β， ∴∠COF＝∠AOF， 在△COF和△AOF中， ， ∴△COF≌△AOF（SAS）， ∴∠OCF＝∠OAF， 即90°﹣3α＝α， ∴α＝22.5°， ∴∠CAD＝2a＝45°． 解法二： 如图，延长FO交AC于点H，连接OC， ∵FO＝FG， ∴∠FOG＝∠FGO， ∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B， ∴BC∥FH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠AHO＝90°， ∵OA＝OC， ∴AH＝CH， ∴AF＝CF， ∵CF⊥AD， ∴△AFC是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°． 【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 2．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　6或2　． 【答案】6或2． 【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD＝6，然后分三种情况讨论：①当AP＝PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′＝AD时，③如图3，当DP′′＝AD时，分别进行求解即可． 【解答】解：如图1，连接OD，DE， ∵半圆O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， 在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3． ∴OB2＝BD2+OD2， ∴（OD+3）2＝（3）2+OD2， 解得OD＝6， ∴AO＝EO＝OD＝6， ①当AP＝PD时，此时P与O重合， ∴AP＝AO＝6； ②如图2，当AP′＝AD时， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴AC＝10，CD＝2， ∴AD＝＝＝2， ∴AP′＝AD＝2； ③如图3，当DP′′＝AD时， ∵AD＝2， ∴DP′′＝AD＝2， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC， 过点D作DH⊥AE于点H， ∴AH＝P″H，DH＝DC＝2， ∵AD＝AD， ∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL）， ∴AH＝AC＝10， ∴AH＝AC＝P″H＝10， ∴AP″＝2AH＝20（P为AB边上一点，不符合题意，舍去）， 综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2． 故答案为：6或2． 【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 3．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D． （1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长； （2）如图2，当，时，求的值； （3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】（1）BC＝2； （2）＝； （3）＝． 【分析】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC＝＝2； （2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝； （3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得＝①，证明△APB∽△ABC，得 ②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，故＝． 【解答】解：（1）如图，连接OP， 设∠BOP的度数为n°， ∵AB＝6，长为π， ∴＝π， ∴n＝60，即∠BOP＝60°， ∴∠BAP＝30°， ∵直线l是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∴BC＝tan30°•AB＝2； （2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F， ∵AB为⊙O直径， ∴∠BQA＝90°， ∴cos∠BAQ＝＝， ∵＝， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵CF⊥AD，AB⊥BC， ∴CF＝BC， ∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°， ∴∠FCD＝∠BAQ， ∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝， ∴＝， ∴＝； （3）如图，连接BQ， ∵AB⊥BC，BQ⊥AD， ∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC， ∵∠ABQ＝∠APQ， ∴∠APQ＝∠ADC， ∵∠PAQ＝∠DAC， ∴△APQ∽△ADC， ∴＝①， ∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB， ∴△APB∽△ABC， ∴②， 由BC＝CD，将①②两式相除得： ＝， ∵cos∠BAQ＝＝， ∴＝． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用． 4．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC． （1）求∠BGC的度数． （2）①求证：AF＝BC． ②若AG＝DF，求tan∠GBC的值． （3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长． 【答案】（1）∠BGC＝90°； （2）①证明过程见解答； ②tan∠GBC的值为； （3）AC的长为． 【分析】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题； （2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题； ②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题； （3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长． 【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG， ∴∠EBC＝∠CBG， ∵∠EBC＝∠EAC， ∴∠CBG＝∠EAC， ∵AC⊥FC， ∴∠AFC+∠EAC＝90°， ∵∠BCG＝∠AFC， ∴∠BCG+∠CBG＝90°， ∴∠BGC＝90°； （2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点， ∴GD＝CD， ∴∠DGC＝∠DCG， ∵∠BCG＝∠AFC， ∴∠DGC＝∠AFC， ∴CF＝CG， ∵∠ACF＝∠BGC＝90°， ∴△ACF≌△BGC（ASA）， ∴AF＝BC； ②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H， 设AG＝DF＝2x， ∵△ACF≌△BGC， ∴AF＝BC＝2DG， ∴CD＝DG＝AG+DF＝4x， ∵CF＝CG， ∴HG＝HF＝3x， ∴DH＝x，AH＝5x， ∴CH＝＝＝x， ∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝， ∴tan∠GBC的值为； （3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N， ∵OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB， ∴OC∥BE， ∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN， ∴△EBD≌△NCD（ASA）， ∴BE＝CN， ∵OC∥BE， ∴∠GOC＝∠MBO， ∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB， ∴△COG≌△OBM（AAS）， ∴BM＝OG＝1， ∵OM⊥BE， ∴CN＝BE＝2BM＝2， 设OB＝OC＝r， ∵OC∥BE， ∴△GON∽△GBE， ∴＝， ∴＝， 解得r＝或r＝（舍去）， 由（2）知：△ACF≌△BGC， ∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝． ∴AC的长为． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题． 5．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H． （1）求证：AD∥HC； （2）若＝2，求tan∠FAG的值； （3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5． 下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①若OF＝，求BC的长； ②若AH＝，求△ANB的周长； ③若HF•AB＝88，求△BHC的面积． 【答案】（1）证明见解答． （2）tan∠FAG的值为． （3）①BC的长为． ②△ANB的周长为． ③△BHC的面积为． 【分析】（1）根据题意可得，再由HC是⊙O的切线，即可求证． （2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解． （3）①根据题意，求出AG的长，再由即可求解． ②根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解． ③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答． 【解答】（1）证明：∵点C，D是的三等分点， ∴． 由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD， ∵HC是⊙O的切线， ∴HC⊥CE， ∴AD∥HC． （2）解：如图1，连接AO， ∵， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD， ∴∠AGC＝∠AGF＝90°， ∴△CAG≌△FAG（ASA）， ∴CG＝FG， 设CG＝a，则FG＝a， ∵， ∴OG＝2a，AO＝CO＝3a． 在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2， ∴（3a）2＝AG2+（2a）2， ∴， ∴． 答：tan∠FAG的值为． （3）解：①如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵CE⊥AD， ∴AD＝2AG＝， ∵， ∴， ∴． 答：BC的长为． ②如图2，连接CD， ∵AD∥HC，FG＝CG， ∴AH＝AF， ∵∠HCF＝90°， ∴， 设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x， 由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2， 即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2， 解得x＝1， ∴AG＝3，AD＝6， ∵， ∴∠DAC＝∠BCD， ∵∠CDN＝∠ADC， ∴△CDN∽△ADC， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC， ∴△ANB∽△ACD， ∴＝． 答：△ANB的周长为． ③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则， 设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x， 由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2， AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x， ∵AD∥HC，FG＝CG， ∴， ∴， ∴， ∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM， ∴△AFG∽△OFM， ∴， ∴AF•FM＝OF•GF， ∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22， 可得方程10x+x（5﹣2x）＝22， 解得x1＝2，x2＝5.5（舍去）， ∴CG＝FG＝2， ∴OG＝3， ∴AG＝4， ∴， ∴S△CHA＝8， ∵AD∥HC， ∴∠CAD＝∠ACH， ∵， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠B＝∠ACH， ∵∠H＝∠H， ∴△CHA∽△BHC， ∴． 答：△BHC的面积为． 【点评】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答． 6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α． （1）用含α的代数式表示∠BFD． （2）求证：△BDE≌△FDG． （3）如图2，AD为⊙O的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值． 【答案】（1）90°﹣； （2）证明见解答过程； （3）①3； ②． 【分析】（1）联立∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，∠AFB+∠BFD＝180°，即可得出∠BFD的度数； （2）根据角的关系得出DB＝DF，推出∠DFG＝∠DBE，又BE＝FG，即可根据SAS证两三角形全等； （3）①用α表示出∠ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可； ②证△BDG∽△BOF，设相似比为k，OF＝4x，则可得出OE，DE，GE的长度，根据比例关系得出方程求出k的值，在用x的代数式分别表示出BD和AD，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，① 又∵∠AFB+∠BFD＝180°，② ②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α， ∴∠BFD＝90°﹣； （2）由（1）得∠BFD＝90°﹣， ∵∠ADB＝∠ACB＝α， ∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣， ∴DB＝DF， ∵FG∥AC， ∴∠CAD＝∠DFG， ∵∠CAD＝∠DBE， ∴∠DFG＝∠DBE， 在△BDE和△FDG中， ， ∴△BDE≌△FDG（SAS）； （3）①∵△BDE≌△FDG， ∴∠FDG＝∠BDE＝α， ∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α， ∵DE＝DG， ∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣， ∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝， ∴与所对的圆心角度数之比为3：2， ∴与的长度之比为3：2， ∵＝2， ∴＝3； ②如图，连接BO， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝α， ∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α， ∵∠BDG＝2α， ∴∠BOF＝∠BDG， ∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣， ∴△BDG∽△BOF， 设△BDG与△BOF的相似比为k， ∴， ∵， ∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx， ∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx， ∴＝＝， 由＝k，得4k2+7k﹣15＝0， 解得k＝或﹣3（舍去）， ∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x， ∴AD＝2OD＝32x， 在Rt△ABD中，cos∠ADB＝＝， ∴cosα＝． 方法二：连接OB，作BM⊥AD于M， 由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形， ∴EM＝MF， 设OE＝11，OF＝4， 设DE＝m，则OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5， ∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2， 即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2， 解得m＝5或m＝﹣12（舍去）， ∴cosα＝． 【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 考点二 与圆有关的位置关系及计算 ►考向一 点、直线与圆的位置关系 易错易混提醒 一、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系 点在圆上，点在圆内，点在圆外． 2．点和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔ d>r ；点在圆上⇔ d=r ；点在圆内⇔ d<r . 3．过三点的圆 (1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． (2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 二、直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系 相切、相离、相交. 2．概念 (1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 3．直线和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔ d<r ；直线l和⊙O相切⇔ d=r ；直线l和⊙O相离⇔ d>r . 1．（2024•浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　40°　． 【答案】40°． 【分析】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠B＝90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到∠BAC＝90°． 2．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC，OB， ∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C， ∴∠ACO＝∠ABO＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°， ∴∠D＝， 故答案为：65°． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与BC边的切点，由矩形的性质得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，则四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，设餐盘的半径为x cm，则OA＝OE＝x cm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm， 如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F， 则∠OEC＝90°， ∵餐盘与BC边相切， ∴点E为切点， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD， ∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm）， 设餐盘的半径为x cm， 则OA＝OE＝x cm， ∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm， 在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2， 即82+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝10， ∴餐盘的半径为10cm， 故答案为：10． 【点评】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E． （1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数； （2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长． 【答案】（1）115°；（2）． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数； （2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长． 【解答】解：（1）∵AE⊥CD于点E， ∴∠AEC＝90° ∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°； （2）∵CD是⊙O的切线， ∴半径OC⊥DE， ∴∠OCD＝90°， ∵OC＝OB＝2，BD＝1， ∴OD＝OB+BD＝3， ∴CD＝＝． ∵∠OCD＝∠AEC＝90°， ∴OC∥AE， ∴， ∴， ∴CE＝． 【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长． 5．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H． （1）求证：四边形ABOH为矩形． （2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形； （2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B， ∴AB⊥x轴 又∵AH⊥CD，HO⊥OB， ∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°， ∴四边形AHOB是矩形； （2）解：连接AD， ∵四边形AHOB是矩形， ∴AH＝OB＝， ∵AD＝AB＝4， ∴DH＝＝＝3， ∵AH⊥CD， ∴CD＝2DH＝6． 【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键． ►考向二 圆、扇形等相关计算 易错易混提醒 弧长、扇形面积的计算 1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝nπr/180. 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝(n/360)·πr2或S＝lr；扇形的周长＝2r＋l. 1．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　π　cm． 【答案】π． 【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长． 【解答】解：连接OE，OD， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠EOD＝∠AEO， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠BAC＝50°， ∴∠EOD＝∠BAC＝50°， ∵OD＝AB＝×6＝3（cm）， ∴的长＝＝π（cm）． 故答案为：π． 【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数． 2．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　1500π　cm2．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2）， 故答案为：1500π． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键． 3．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　2　． 【答案】2． 【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可． 【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE． ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴AC＝AE＝CE， ∴△ACE是⊙O的内接正三角形， ∵∠B＝120°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°， ∵∠CAE＝60°， ∴∠OAC＝∠OAE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAC＝30°， 同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°， 又∵AC＝AC， ∴△BAC≌△OAC（ASA）， ∴S△BAC＝S△AOC， 圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE， 由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE， ∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2， ∴， 故答案为：2 【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（2023•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E． （1）求证：BC＝BD． （2）若OB＝OA，AE＝2． ①求半圆O的半径． ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）①2； ②2﹣． 【分析】（1）连结OD．由切线的性质得出∠ODB＝90°，证明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性质得出BC＝BD． （2）①证出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得出答案； ②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，连结OD． ∵BD是圆O的切线，D为切点， ∴∠ODB＝90°， ∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB， ∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL）， ∴BC＝BD． （2）解：①∵OB＝OA， ∴∠OBD＝∠A， ∵Rt△ODB≌Rt△OCB， ∴∠OBD＝∠OBC， ∴∠OBD＝∠OBC＝∠A， ∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°， ∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°， 在Rt△ODA 中，sin∠A＝， ∴OD＝OA． ∵OD＝OE， ∴OE＝OA， ∴OE＝AE＝2， ∴半圆O的半径为2． ②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4， ∴AD＝＝2， ∴S△OAD＝＝2， ∵∠A＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣． 【点评】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 1．（2024•浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2024•诸暨市模拟）如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是弧BF的中点，连接AC．若∠CAB＝30°，AB＝2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OC，OF，交AC于E，由圆周角定理可∠BAC＝∠CAF＝30°，∠COF＝60°＝∠OAF，可知△AOF和△COF均为等边三角形，继而可知AB∥CF，可得S△ACF＝S△COF，再结合阴影部分的面积＝S△ACF+S弓形CF＝S△COF+S弓形CF＝S扇形COF即可求解． 【解答】解：连接CF，OC，OF交AC于E， ∵点C为劣弧的中点， ∴＝， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠CAF＝30°， ∴∠COF＝2∠CAF＝60°＝∠OAF， ∵OA＝OF＝OC＝AB＝1， ∴△AOF和△COF均为等边三角形， ∴∠AOF＝∠CFO＝60°， ∴AB∥CF， ∴S△ACF＝S△COF， 则阴影部分的面积＝S△ACF+S弓形CF＝S△COF+S弓形CF＝S扇形COF＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 3．（2024•浙江一模）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OB、DB，由AD是⊙O的直径，得∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，由切线的性质得∠OBC＝90°，而∠C＝30°，则∠BOC＝60°，所以△BOD是等边三角形，则BD＝OD＝2，所以AB＝＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、DB，则OB＝OD＝2， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4， ∵BC与⊙O相切于点B， ∴BC⊥OB， ∴∠OBC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴△BOD是等边三角形， ∴BD＝OD＝2， ∴AB＝＝＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（2024•瑞安市校级模拟）点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°， ∴＝×2π×3＝π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握并灵活运用弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 5．（2024•镇海区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，弦BN∥AC，AN交CO的延长线于点M．已知OC＝5，AB＝8，则AM：AN为（　　） A．1：2 B．5：11 C．6：11 D．2：3 【答案】B 【分析】取AB中点E，连接OE并延长交⊙O于D，连接OA，DA，CN，由垂径定理和三线合一定理可得CE⊥AB，OE⊥AB，则C、O、E三点共线，利用勾股定理求出OE＝3，则DE＝2，进而求出，再证明∠ACN＝∠CAB，得到；设AM＝x，DM＝y，则，证明△ADM∽△CNM，利用相似三角形的性质得到，则． 【解答】解：如图所示，取AB中点E，连接OE并延长交⊙O于D，连接OA，DA，CN， ∵CA＝CB，点E为AB中点， ∴CE⊥AB，OE⊥AB， ∴C、O、E三点共线， ∵OC＝5，AB＝8， ∴， ∴， ∴DE＝OD﹣OE＝2， ∴， ∵CD是直径， ∴∠CAD＝90°， ∴； ∵BN∥AC， ∴∠ANB＝∠CAN， ∴CN＝AB＝8， ∵∠ACB＝∠ANB＝∠CAN，∠ABC＝∠ANC， ∴∠ACN＝∠CAB， ∴； 设AM＝x，DM＝y，则， ∵∠MCN＝∠MAD，∠CNM＝∠ADM， ∴△ADM∽△CNM， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三线合一定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 6．（2024•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（　　） A．68° B．64° C．58° D．32° 【答案】C 【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC+∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC＝58°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7．（2024•余姚市校级四模）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（　　） A．144° B．135° C．130° D．120° 【答案】A 【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：连接OC，如图： ∵C为的中点． ∴＝， ∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC， ∵∠BAC＝2∠OAB， ∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB， ∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°， ∴∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝144°， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系． 8．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】B 【分析】连接AC，CO，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出AC∥OB，进而得出△ABC的面积等于△AOC的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形AOC的面积相等，据此可解决问题． 【解答】解：连接AC，CO， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°． 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°． 又∵∠AOB＝120°， ∴∠CAO+∠AOB＝180°， ∴AC∥OB， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积及熟知扇形的面积公式是解题的关键． 9．（2024•临安区一模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，延长BO交AC于点D，OE⊥BC，垂足为点E，点F是OB上一点，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，则m，n满足的关系式是 　m+n＝2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长BO交⊙O于点H，连接CH，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCH＝90°，即可证得OE∥CH，于是得出∠H＝∠EOF，根据三角形内角和定理求出∠EOF＝2∠OEF，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠H＝∠EOF＝2∠OEF，最后根据∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF即可得出m，n满足的关系式． 【解答】解：如图，延长BO交⊙O于点H，连接CH， ∵BH为⊙O的直径， ∴∠BCH＝90°， ∵OE⊥BC， ∴∠OEB＝90°， ∴∠BCH＝∠OEB， ∴OE∥CH， ∴∠H＝∠EOF， ∵OE＝OF， ∴∠OFE＝∠OEF， ∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF， ∴∠H＝180°﹣2∠OEF， ∴∠A＝∠H＝180°﹣2∠OEF， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， 即∠ABC+∠ACB＝180°﹣（180°﹣2∠OEF）＝2∠OEF， ∵∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF， ∴∠ABC+∠ACB＝（m+n）∠OEF， ∴m+n＝2， 故答案为：m+n＝2． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键． 10．（2024•浙江模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】分三种情况进行解答，即当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OA′的中点，过△A′OD的边OD的中点，过△A′OD的边A′D的中点，分别画出相应的图形，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图1，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OA′的中点时， 由折叠可知OA＝OA′，而OA′＝2OB， ∴AB＝3OB， ∴OB＝AB＝； 如图2，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OD的中点时，则OD＝2OB， 设OB＝x，则OD＝2x，OA＝2﹣x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OA2+AD2＝OD2， 即（2﹣x）2+22＝（2x）2， 解得x＝或x＝＜0舍去， 即半径OB＝； 如图3，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边A′D的中点时，则A′E＝AD＝1， 设OB＝y，则OE＝y，OA′＝OA＝2﹣y， 在Rt△A′OE中，由勾股定理得， OA′2+A′E2＝OE2， 即（2﹣y）2+12＝y2， 解得y＝， 即半径OB＝， 综上所述，半径OB的长为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 11．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为 　15°或165°　． 【答案】15°或165°． 【分析】根据圆内接正方形，圆内接正六边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OG， ∵正方形AGDH是⊙O的内接正方形， ∴∠AOG＝＝90°， ∵正六边形ABCDEF是⊙O的正六边形， ∴∠AOB＝＝60°， ∴∠BOG＝90°﹣60°＝30°， ∴弦BG所对劣弧所对应圆周角的度数为∠BOG＝15°． 弦BG所对优弧所对应圆周角的度数为180°﹣15°＝165°． 故答案为：15°或165°． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆内接正方形，圆内接正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 12．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　20　米． 【答案】20． 【分析】根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题． 【解答】解：由题知， CD垂直平分AB， 所以圆弧所在圆的圆心在CD延长线上． 连接AO， 因为OC垂直平分AB， 所以AD＝（米）． 设⊙O的半径为r米， 则OD＝（r﹣4）米． 在Rt△AOD中， 122+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝20， 所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米． 故答案为：20． 【点评】本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 13．（2024•浙江模拟）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为A．将△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD（点C与点O对应），使点C落在⊙O上，边AD交⊙O于点E．若OA＝2，，则DE的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据切线的性质得到OA⊥AB，求得∠OAB＝90°，连接EC，如图，根据旋转的性质得到OA＝AC，AD＝AB＝3，∠EAC＝∠BAO＝90°，得到CE＝2OA＝4，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， 连接EC，如图， ∵△OAB绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD， ∴OA＝AC，AD＝AB＝3，∠EAC＝∠BAO＝90°， ∴EC是直径， ∴E，O，C共线， ∴CE＝2OA＝4， ∵OA＝OC， ∴OA＝AC＝OC＝2， ∴AE＝＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，旋转的性质，直角三角形 到现在，正确地找出辅助线是解题的关键． 14．（2024•普陀区二模）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为 　π　．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，则利用互余计算出∠A＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOD＝100°，然后根据弧长公式计算． 【解答】解：连接OD，如图， ∵BC切⊙O于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BOD＝2∠A＝100°， ∴的长＝＝π． 故答案为π． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和弧长公式． 15．（2024•温州三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　35°　． 【答案】35°． 【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB＝125°，再由切线长定理得到BD＝BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF＝90°，则∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°． 【解答】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°， ∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， 又∵OD＝OE， ∴OB是DE的垂直平分线， ∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°， ∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2024•诸暨市模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　（1，﹣2）　； （2）请通过计算判断点D（﹣3，﹣2）与⊙M的位置关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接AB，AC，过A，B，C三点的圆的圆心M为线段AB、AC的垂直平分线的交点，则M（1，﹣2），于是得到问题的答案； （2）连接MD、MA，可求得MD＝4，MA＝，则MD＞MA，所以点D（﹣3，﹣2）在⊙M外． 【解答】解：（1）连接AB，AC， 过A，B，C三点的圆的圆心M为线段AB、AC的垂直平分线的交点， 观察图形可知，点M的坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． （2）连接MD、MA， ∵M（1，﹣2），D（﹣3，﹣2），A（﹣2，﹣1）， ∴MD＝1﹣（﹣3）＝4，MA＝＝， ∵4＞， ∴MD＞MA， ∵点D到圆心M的距离大于⊙M的半径， ∴点D（﹣3，﹣2）在⊙M外． 【点评】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，正确求出点M的坐标是解题的关键． 17．（2024•杭州模拟）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β． （1）求∠ACB的大小（用α，β表示）； （2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC； （3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°， ①求证：GM∥BC，GM＝BC； ②请直接写出的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图1中，连接CF．利用圆周角定理求解； （2）证明∠BAC＝45°，∠AHC＝90°，可得结论； （3）①如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．证明△MHI≌△MCG，推出MI＝MG，HI＝CG，再证明HI＝IB，可得结论； ②连接FI，FB．设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论． 【解答】（1）解：如图1中，连接CF． ∵AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF＝α， ∴∠ACF＝∠AGF＝α， ∵∠∠FAB＝β， ∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝α+β； （2）证明：如图2中， ∵AF＝AG， ∴∠AFG＝∠G＝∠ACH＝45， ∵∠EAF＝∠FAC， ∴△EAF∽△FAC， ∴＝， ∴AE×CF＝EF×FA， ∵BC×EF＝AE×CF， ∴BC×EF＝EF×AF， ∴BC＝AF， ∴＝， ∴∠BAC＝∠AGF＝45°， ∴∠AHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠AHC＝2∠BAC； （3）①证明：如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I． ∵∠OGM＝2α﹣45°，∠AGF＝45°， ∴∠AGM＝2α， ∵∠FAG＝90°， ∴FG是直径， ∴∠FCG＝90°， ∵∠AHC＝90°， ∴∠AHC+∠GCH＝180°， ∴AB∥CG， ∴∠MHI＝∠MCG， ∵MH＝MC，∠HMI＝∠CMG， ∴△MHI≌△MCG（ASA）， ∴MI＝MG，HI＝CG， ∵BI∥CG，IG∥CB， ∴四边形BIGC是平行四边形， ∴∠ABC＝∠MGC，GM∥BC， ∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠GMC+∠MGC＝90°， ∴∠MGC+∠BCH＝90°， ∴∠BCH+∠FCG+∠MGC＝180°， ∴∠BCG+∠MGC＝180°， ∵BC∥IG，CM＝MH， ∴HI＝IB， ∴MI＝BC， ∴MG＝BC，MG∥BC； ②解：连接FI，FB． ∵＝＝， 又∵OF＝OG．MG＝MI， ∴OM＝FI， ∵△HMI≌△CMG， ∴HI＝CG， ∵∠AHC＝90°， ∴∠FHB＝90°， ∵∠ACF＝∠ABF＝45°， ∴FH＝BH， 设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n， ∴OM＝FI＝m，BC＝AF＝AG＝， ∴FG2＝8m2+2n2， ∵FG2＝CF2+CG2， ∴8m2+2n2＝（2m+n）2+m2， 整理得n2﹣4nm+3m2＝0， ∴n＝m或n＝3m， ∴＝＝＝或． 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 18．（2024•余姚市一模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD． （1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC； （2）求证：BF＝CD； （3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC． ①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长； ②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠ADB＝α，再由圆内接四边形的性质可得结论． （2）分别证明∠AFB＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，再证明△ABF≌△ACD（AAS）即可得到结论． （3）①连接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），得∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，tan∠DAC＝，得，，求得BP＝6，MP＝4，AP＝9，即可求得AF的长．②连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得，，求得MP＝2PF，证明△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形，可得四边形BMQF是菱形，进一步可求得结论． 【解答】（1）解：∵． ∴∠ABC＝∠ADB＝α． ∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC＝180°． ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α． （2）证明：∵AF＝AD． ∴∠AFD＝∠ADB＝α． ∴∠AFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣α． ∴∠AFB＝∠ADC． ∵∠ABD，∠ACD是所对的圆周角． ∴∠ABD＝∠ACD． 又AF＝AD． ∴△ABF≌△ACD（AAS）． ∴BF＝CD． （3）①解：如图2，连接BM，MC． ． ∵AM是直径． ∴∠ABM＝∠ACM＝90°． ∵△ABF≌△ACD（AAS）． ∴∠BAM＝∠CAD，AB＝AC． 又AM＝AM． ∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL）． ∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM． ∴∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM． ∵AB＝AC． ∴AM⊥BC且AM平分BC． ∵tan∠DAC＝，AM＝13． ∴，． ∴BP＝6，MP＝4，AP＝9． ∴PF＝MP＝4． ∴AF＝AP﹣PF＝9﹣4＝5． ②猜想：∠AFC＝90°． 如图，连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q． ． ∵AB＝AC，AF＝AD． ∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5＝∠7． ∵∠3，∠6是所对的圆周角． ∴∠3＝∠6． ∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP． ∴，． ∵FG＝2GD． ∴MP＝2PF． ∵∠2＝∠7． ∴BD∥MC． ∴△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形． ∴． ∵∠4＝∠5． ∴BM＝BF． ∴四边形BMQF是菱形． ∴BF＝MQ＝FQ． ∴MQ＝FQ＝QC． ∴∠7＝∠MFQ，∠MCF＝∠QFC． ∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC＝180°． ∴∠MFC＝90°． ∴∠AFC＝90°． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 19．（2024•台州模拟）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F． （1）求证：点D是的中点； （2）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G． ①当点G在线段AD上，求AC的长； ②当点G在线段AC上，求sin∠ABC的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①2； ②． 【分析】（1）根据AB为直径得出∠C＝90°，在根据平行线的性质得出OD垂直BC，再根据垂径定理得出结论即可； （2）①根据旋转的性质可得OF⊥AD，根据垂径定理可得AF＝DF，在根据平行线分线段成比例得出DE＝AC，再根据三角形中位线定理得出OE是AC的一半，最后根据OD＝3求解AC即可； ②根据旋转的性质得出△FCG和△OEF全等，从而得到CF＝OE，再根据（2）的结论，用OE表示出BE，最后根据勾股定理求解OE的长，即可求出∠ABC的正弦值． 【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠C＝90°，即OD⊥BC， ∴＝，即点D是的中点； （2）解：①连接OF，作FG＝OF， ∴∠OFG＝90°，即OF⊥AD， ∴AF＝DF， 又∵OD∥AC， ∴＝＝1， ∴AC＝DE， 又∵O是AB中点， ∴OE＝AC， ∴OD＝AC+AC＝AC＝3， ∴AC＝2； ②如图： 由（1）知，∠C＝∠OEF＝90°， 由旋转的性质可知，∠OFG＝90°，OF＝FG， ∴∠CFG+∠OFE＝90°， ∴∠DFG＝∠EOF， ∴△FCG≌△OEF（AAS）， ∴OE＝CF， 由①得：AC＝2OE， 设OE＝CF＝x，则AC＝2x，DE＝3﹣x， ∴＝， ∴EF＝， ∴CE＝BE＝CF+EF＝， 在Rt△BOE中，（）2+x2＝9， 解得：x＝1.8， ∴sin∠ABC＝＝． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． 20．（2024•瑞安市校级模拟）如图，已知线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，AE＝7BE＝7．延长CD至点F，使EF＝CE，连结AC，AF．G为线段DF上一点，分别延长CB，AG交于点H，连结FH． （1）求证：△ACF是直角三角形． （2）当线段FH与△AEC的一边平行时，求的值． （3）记AH与⊙O交于点P，当P为的中点时，求AH的长． 【答案】（1）证明见解析， （2）， （3）， 【分析】（1）∵AE＝7BE＝7，AE＝7，BE＝1，连接AD，AB＝CD，，△ADE≌△CBE（ASA），即可求解． （2）①当FH∥AB，证明△FGH∽△EGA，②当FH∥AC，延长FH交AB延长线于N，证明∴△HBN∽△CBA，即可求解， （3）连结OP交AB于M，作ON⊥CD于点N，连接OA，P为的中点，四边形OMEN为正方形，作HI⊥AB于AB延长线于I，设BI＝x，再利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AE＝7BE＝7， ∴AE＝7，BE＝1， ∵AB＝CD＝8， ∵EF＝CE，AE⊥CF， ∴AF＝CF， 连接AD， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴AD＝BC， ∵∠DAE＝∠BCE，∠ADE＝∠CBE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE＝7，BE＝DE＝1， ∴AE＝CE＝EF， ∵∠AEC＝∠AEF＝90°， ∴∠DAF＝∠DFA＝∠DCA＝∠DAC＝45°， ∴∠FAC＝90°， ∴△ACF为直角三角形． （2）解：由已知可得AE＝EC＝7，BE＝1 ①当FH∥AB， ∵E为CF中点， ∴B为CH中点， ∴FH＝2BE＝2， ∵FH∥AE， ∴△FGH∽△EGA， ∴， ∴FG＝， 又FG+EG＝EF＝7， ∴FG＝，EG＝， ∴CG＝ ∴． ②当FH∥AC， 延长FH交AB延长线于N， 则∠EFN＝∠ECA＝∠EAC＝∠ENF＝45°＝∠FAN． ∴AF＝FN， ∴EF＝EN＝7 ∵BE＝1， ∴BN＝6， ∵HN∥AC， ∴△HBN∽△CBA， ∴， ∴， ∴， ∵FH∥AC， ∴； 综上，， 故． （3）解：连结OP交AB于M，作ON⊥CD于点N，连接OA， ∵P为的中点， ∴OM⊥AB， ∴AM＝MB＝4， ∴OM＝ON＝ME＝3， ∵ON⊥CD， ∴CN＝DN＝4，EN＝3， ∴EN＝EM， ∵∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°， ∴四边形OMEN为正方形， ∴OM＝ON＝3， 可得半径OP＝OA＝5， ∴PM＝OP﹣OM＝2， 作HI⊥AB于AB延长线于I，设BI＝x， ∵∠CEB＝∠HIB＝90°，∠EBC＝∠IBH， ∴△EBC∽△IBH， ∴， ∴HI＝7x， ∵PM⊥AB，HI⊥AB， ∴PM∥HI， ∴△APM∽△AHI， ∴， ∴， 解得x＝， ∴HI＝，BI＝， AP＝2， ∵△APM∽△AHI， ∴， ∴AH＝＝， 故AH的长为． 【点评】本题考查了圆的综合应用，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质，相似三角形的性质与判定，正确作图． 21．（2024•温州模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是上一点，2＝，AD与BC的延长线交于点E，连接CD，OA＝5，． （1）求证：OC∥AE； （2）求sin∠EAO与BC的值； （3）若点P，Q分别是四边形ADCB相邻两条边上的点（包括端点），当P，Q，A，O四点组成的图形为平行四边形时（点P在点Q上方），求所有满足条件的OP的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）或或5． 【分析】（1）过点O作OF⊥BC交⊙O于F，交BC于G，由垂径定理可得＝＝，BG＝CG，则，再由三线合一定理得到AG⊥BC，进而推出A、O、G、F四点共线，则∠CAF＝∠CAD，再证明∠OCA＝∠CAD，即可证明OC∥AE； （2）先证明△OCG∽△AEG，根据相似三角形的性质求出OG＝4，则AG＝OA+OG＝9，利用勾股定理得到，则；由勾股定理得，则由垂径定理得BC＝2CG＝6； （3）先利用勾股定理求出；再分如图3﹣1所示，当四边形APOQ是平行四边形时，如图3﹣2所示，当四边形AOPQ是平行四边形时，如图3﹣3所示，当四边形AOPQ是平行四边形时，则此时点P与点C重合，三种情况通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图1所示，过点O作OF⊥BC交⊙O于F，交BC于G， ∴＝＝，BG＝CG， ∵2＝， ∴， ∵AB＝AC， ∴AG⊥BC， ∴A、O、G、F四点共线， ∴∠CAF＝∠CAD， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AE； （2）解：∵OC∥AE， ∴△OCG∽△AEG， ∴， ∵OA＝5， ∴OA＝OC＝5， 又∵， ∴， ∴OG＝4， ∴AG＝OA+OG＝9， ∴， ∴； 在Rt△COG中，由勾股定理得， ∴BC＝2CG＝6； （3）由（2）可知AG＝9，BG＝3，BC＝6，， ∴； 如图3﹣1所示，当四边形APOQ是平行四边形时， ∴OP＝AQ，OQ∥AE， ∵AE∥OC， ∴C、O、Q三点共线， ∴△BCQ∽△BEA， ∴，即， ∴， ∴； 如图3﹣2所示，当四边形AOPQ是平行四边形时， ∴OP＝AQ，PQ∥OA，PQ＝OA＝5， ∴△BPQ∽△BGA， ∴，即， ∴， ∴； 如图3﹣3所示，当四边形AOPQ是平行四边形时，则此时点P与点C重合， ∴OP＝5； 综上所述，OP的长为或或5． 【点评】本题主要考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，三线合一定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 22．（2024•镇海区校级三模）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接BO并延长交AD于点G，延长BC，AD交于点E，连接AC，BD，交于点F．已知BD＝AB，，． （1）求证：AC⊥BD． （2）若OB＝5，求DE的长． （3）求的值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）； （3）． 【分析】（1）连接OA，OD，证明△AOB≌△DOB，得到∠1＝∠2，结合BD＝AB可得AD⊥BG，由可推出∠1＝∠2＝∠DBC，由∠DBC＝∠DAC可得∠2＝∠DAC，可推出∠BFK＝∠AGK＝90°，即可证明； （2）延长BG交圆O于点H，连接OD，由，AD⊥BG，可得，得到tan∠1＝tan∠2＝tan∠DBC＝tan∠DAC，由可设KG＝x，则AG＝DG＝3x，得到BG＝9x，OG＝9x﹣5，在Rt△DOG中，根据勾股定理列方程求出x＝1，进而可求出，再根据等面积法求出，利用勾股定理和三角函数求出BC＝8，，证明△DBC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据勾股定理、三角函数和相似三角形的性质求出AF、CD的值，最后根据＝＝，即可求解． 【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OD， ∵BD＝AB，OA＝OD，OB＝OB， ∴△AOB≌△DOB（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∵BD＝AB， ∴AD⊥BG，∠AGK＝90°， ∵， ∴∠A B C＝3∠D B C， ∴， ∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠2＝∠DAC， 又∵∠AKG＝∠BKF， ∴∠BFK＝∠AGK＝90°， ∴AC⊥BD； （2）解：如图2，延长BG交圆O于点H，连接OD， ∵，AD⊥BG， ∴， 由（1）知∠1＝∠2＝∠DBC＝∠DAC， ∴tan∠1＝tan∠2＝tan∠DBC＝tan∠DAC， 在Rt△AKG中，∠AGK＝90°， ∴， 设KG＝x，则AG＝DG＝3x， 在Rt△BDG中，， ∴BG＝3DG＝9x， ∵OD＝OB＝5， ∴OG＝BG﹣OB＝9x﹣5， ∴在Rt△DOG中，OG2+DG2＝OD2，即（9x﹣5）2+（3x）2＝52， 解得：x＝1或x＝0（舍去）， ∴KG＝1，AG＝DG＝3，BG＝9，AD＝AG+DG＝3+3＝6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵∠E+∠CAE＝∠ACB，∠ACB＝∠ADB， ∴∠E+∠CAE＝∠ADB， ∵AB＝BD， ∴∠ADB＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠DAC+∠BAC， ∴∠BAC＝∠E， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠E， ∵∠DBC＝∠EBD，∠BDC＝∠E， ∴△DBC∽△EBD， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， 设KG＝x，则AG＝DG＝3x，， 在Rt△BDG中，， ∴BG＝3DG＝9x， ∴，BK＝BG﹣KG＝9x﹣x＝8x， ∵∠2＝∠GAK，∠AGK＝∠BFK＝90°， ∴△AGK∽△BFK， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵∠CBF＝∠DAF，∠BFC＝∠AFD＝90°， ∴△AFD∽△BFC， ∴，即， ∴， ∴＝＝＝， ∴＝． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关知识． 23．（2024•镇海区校级四模）如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成⊙O）的半径是4m，水面（看成直线）与⊙O交于A，B两点，水车的轴心O到AB的距离OH为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒5°的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动的时间为t秒，解决下列问题： （1）求AB的长以及扇形AOB的面积；（结果保留π） （2）当t＝3时，求点P到直线AB的距离； （3）若接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与射线AB交于点M，，当竹筒P第一次恰好在MN所在直线上时，求t的值． 【答案】（1）AB＝4m，扇形AOB的面积为4πm2；（2）（2﹣2）m；（3）t的值为42秒． 【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理解答即可求得AB，再利用扇形的面积公式解答即可； （2）过点P作PF⊥OH于点F，利用矩形的判定与性质得到PE＝FH，利用直角三角形的边角关系定理求得OF，则FH＝OH﹣OF； （3）设MN所在的直线与⊙O的切点为P′，连接OP′，利用圆的切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理求得∠P′OM，∠MOH，∠HOA的度数，进而求得点P旋转的角度即可． 【解答】解：（1）由题意得：OA＝OB＝4m，OH⊥BA，OH， ∵OH⊥BA， ∴AH＝BH＝AB． ∴AH＝＝2（m）， ∴AB＝2AH＝4（m）． ∵AH＝OH， ∴△OAH为等腰直角三角形， ∴∠OAH＝45°． ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAH＝45°， ∴∠AOB＝90°． ∴扇形AOB的面积＝＝4π（m2）． （2）过点P作PF⊥OH于点F，如图， ∵PE⊥AB，OH⊥AB， ∴四边形PEHF为矩形， ∴PE＝FH． 当t＝3时，∠AOP＝5×3＝15°， ∴∠HOP＝∠HOA+∠AOP＝45°+15°＝60°． ∵cos∠HOP＝， ∴OF＝OP•cos60°＝4×＝2（m）， ∴FH＝OH﹣OF＝（2﹣2）m， ∴点P到直线AB的距离PE＝（2﹣2）m． （3）设MN所在的直线与⊙O的切点为P′，连接OP′，如图， ∵MN所在的直线与⊙O相切于点P′， ∴OP′⊥MN， ∵OP′＝4m，OM＝4m， ∴MP′＝＝4（m）． ∴OP′＝MP′， ∴∠MOP′＝45°． ∵cos∠HOM＝， ∴∠MOH＝60°． 由（1）知：∠AOH＝45°， ∴∠P′OA＝∠P′OM+∠HOM+∠HOA＝45°+60°+45°＝150°， ∴从竹筒P刚露出水面开始计时，竹筒P第一次恰好在MN所在直线上，即点P运动到点P′位置，点P旋转的角度为360°﹣150°＝210°， ∵水车以每秒5°的速度逆时针转动， ∴t＝210÷5＝42（秒）． 答：竹筒P第一次恰好在MN所在直线上时，t的值为42秒． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝　30　°，∠B＝　60　°，∠C＝　90　°．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由． 【答案】（1）30；60；90；（2）∠B 的度数不变，且∠B＝60°，理由见解析；（3）△ABC一定为和谐三角形，理由见解析． 【分析】（1）依据题意，设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，从而，再设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，故可得，，进而可以得解； （2）依据题意，设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，从而可得，进而可以得解； （3）依据题意，结合所给和谐三角形的定义可分两种情况讨论：①当 S△ACF＝2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°，∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，从而，故，进而可得． 又∵S△ACF＝2S△ABF，则CF＝2BF，即，结合AF⊥BD，∠OBC＝30°，可得∠AFB＝60°＝∠BAC，又∠ABF＝∠CBA，故△ABF∽△CBA，进而AB2＝BF•BC，从而，解得AB＝r，则△AOB为等边三角形，可得，最后求出∠ABC＝90°，即可判断得解； ②当 S△ABF＝2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G，同理可得OA＝OB＝OC＝r，，∠BAC＝60°，从而，△ABF∽△CBA，故AB2＝BF•BC，．进而△AOB为等腰直角三角形，则，从而∠ABC＝75°，由45°：60°：75°＝3：4：5，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数， ∴． 可设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴ ． 故答案为：30；60；90． （2）∠B的度数不变．由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数， ∴． ∴∠B 的度数不变，且∠B＝60°． （3）△ABC一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论： ①当 S△ACF＝2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G． 由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°，∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵S△ACF＝2S△ABF， ∴CF＝2BF． ∴． ∵AF⊥BD，∠OBC＝30°， ∴∠AFB＝60°＝∠BAC． 又∵∠ABF＝∠CBA， ∴△ABF∽△CBA． ∴AB2＝BF•BC． ∴． ∴解得：AB＝r． ∴△AOB为等边三角形． ∵， ∴． ∴∠ABC＝90°． ∵30°：60°：90°＝1：2：3， ∴△ABC为和谐三角形． ②当 S△ABF＝2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G． 同理可得OA＝OB＝OC＝r，∠BAC＝60°， ，△ABF∽△CBA， ∴AB2＝BF•BC． ∴． ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴． ∴∠ABC＝75°． ∵45°：60°：75°＝3：4：5， ∴△ABC 为和谐三角形． 综上所述，△ABC一定为和谐三角形． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及三角形相似判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25．（2024•拱墅区校级二模）已知四边形ABCD内接于⊙O（∠ABC＜∠ADC），对角线BD⊥AC于点M，点N为线段AB上一点，且ON⊥AB．（1）如图1，若BD恰好经过圆心O，证明：； （2）如图2，若BD不经过圆心O，是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3所示，线段ON与BD交于点G，延长GO交AC于点F，连结OC，若AF2+DM2＝8，，设sin∠FCO＝x，tan∠ACD＝y，请直接写出FC的长（用x，y表示）． 【答案】（1）如解答所示； （2）仍成立，理由如解答所示； （3）CF＝． 【分析】（1）证明AD＝CD，再证明ON是△ABD的中位线，得ON＝AD，即可证明结论； （2）连接BO并延长，交⊙O于点E，连接AE，先证明AE＝CD，再证明ON是△ABE的中位线，即可证明结论； （3）过点O作OG⊥AC，垂足为点G，连接OA，证明△DCM∽△AFN，得，由，可得MD＝NA，CD＝AF，由ON＝CD，得AF＝ON，通过AF2+DM2＝8，得到OA＝OC＝2，在Rt△OCG中，由sin∠FCO＝x，得到OG、CF，在Rt△OFG中，由tan∠AFN＝y，得到GF，根据CF＝CG﹣GF即可得到结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，BD是直径， ∴， ∴AD＝CD， ∵ON⊥AB， ∴点N是AB中点， ∵点O是BD中点， ∴ON是△ABD的中位线， ∴ON＝AD， ∵AD＝CD， ∴ON＝CD； （2）ON＝CD仍成立，理由如下： 连接BO并延长，交⊙O于点E，连接AE， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠CAE+∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， ∴， ∴， 即， ∴AE＝CD， ∵ON⊥AB， ∴点N是AB的中点， ∵点O是BE的中点， ∴ON是△ABE的中位线， ∴ON＝AE， ∵AE＝CD， ∴ON＝CD； （3）过点O作OQ⊥AC，垂足为点Q，连接OA， ∵， ∴∠ABM＝∠DCM， ∵ON⊥AB，BD⊥AC， ∴∠ABM+∠BAC＝90°，∠AFN+∠BAC＝90°， ∴∠ABM＝∠AFN， ∴∠DCM＝∠AFN， ∵∠DMC＝∠ANF＝90°， ∴△DCM∽△AFN， ∴， ∵MC＝NF， ∴MD＝NA，CD＝AF， 由（2）得ON＝CD， ∴AF＝ON， ∵AF2+DM2＝8，DM＝NA， ∴＝8， 整理得ON2+NA2＝4， ∴OA2＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCQ中， ∵sin∠FCO＝x， ∴＝x， ∴OQ＝2x， ∴CQ＝＝， ∵∠AFN＝∠ACD， ∴tan∠AFN＝tan∠ACD＝y， 在Rt△OFQ中， ∵tan∠AFN＝y， ∴＝y， ∴QF＝， ∴CF＝CQ﹣QF＝． 【点评】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，中位线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是熟练运用中位线的性质，相似三角形的性质和锐角三角形解题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$