精品解析：山东省威海乳山市（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 4. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 5. 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（    ）. A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 6. 如图，在平行四边形中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 7. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 8. 如图，在中，点，，分别为，，的中点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，等边中，，点O在上，且，点P在上，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到，要使点D落在边上，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 分解因式：___________． 12. 学生体育成绩的计算方法是将日常、期中、期末三项成绩，分别按的比例计算出学期的最终成绩．若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育最终成绩为______分． 13. 如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为_____． 14. 若代数式 值为零，则x的取值应为_____． 15. 一个多边形的外角和比内角和的多，则这个多边形是____边形． 16. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 先化简再求值：，已知． 18. 水果店购进甲、乙两种水果．已知甲种水果的进价比乙种水果的进价低，水果店用1000元购进的甲种水果比用1200元购进的乙种水果多10千克．求甲、乙两种水果每千克的进价． 19. 【信息一】为了解学生的课业负担，甲、乙两所学校各自随机抽取了200名学生，针对完成作业的时间统计如下表： 学生完成作业时间频数分布表 完成作业时间（x/小时） 甲校频数（人） 乙校频数（人） 18 24 32 40 48 76 86 40 16 20 依据“信息一”解决下列两个问题： （1）甲校学生完成作业时间的中位数所处的范围是 ，乙校学生完成作业时间的中位数所处的范围是 ；（直接写结果） （2）计算完成作业时间的平均值时，可以将各组时间上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，如甲校学生作业完成时间的平均值为： ． 依据上述方法求乙校学生作业完成时间的平均值； 【信息二】经过两个月完成作业的时间观测后，甲、乙校统计了上述400名学生之后的某次测试成绩，统计情况如下表：（单位：分） 平均成绩 方差 众数 最高成绩 最低成绩 甲 校 401.8 156.2 335 682 223 乙 校 408.8 154.5 346 682 235 （3）依据“信息一”和“信息二”，小明认为：完成作业时间的多少与成绩高低没有明显的关系．你同意小明的观点吗？请结合数据，从三个方面说明理由． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点O中心对称的； （2）将向上平移3个单位得到，直接写出顶点的坐标； （3）点P是某条边上的一点，直接写出点P在边上的对应点的坐标． 21. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 【材料阅读】在因式分解中，把多项式中某些部分看作整体，并用新字母代替，可以简化多项式的结构，便于进行因式分解．这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小明用换元法对进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ∴（第四步） 【学习评价】对于上述问题： （1）小明在第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）请对小明因式分解的结果进行评价； 【问题解决】 （3）用换元法进行因式分解：． 23. 如图，在中，E边上一点，、分别平分、． （1）求证：E为的中点； （2）如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，A是y轴上一动点，点B，C在x轴上，点D在y轴正半轴上，是等边三角形，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接，． （1）若点A在y轴负半轴上，求证：； （2）连接，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项分析即可得解． 【详解】解：A、属于多项式乘法，不是因式分解，故不符合题意； B、，右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、是因式分解，故符合题意； D、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C. 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 【答案】C 【解析】 【分析】由每个数都减去，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少，方差不变，据此可得答案． 【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去， 易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少， 而根据方差公式可知，每个数和平均数的差不变，方差不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的定义是解题的关键． 4. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D (a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C． 考点：因式分解. 5. 某校有35名同学参加眉山市三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（    ）. A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选B． 点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数 6. 如图，在平行四边形中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长是（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】由在平行四边形中，过两条对角线的交点，证得，则可得，，继而求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴AD//BC，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形的周长是： ， 故选：C． 【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，点，，分别为，，的中点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，根据三角形中线的性质以及平行四边形的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接， 点，，分别为，，的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即与的面积之比为， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，三角形中线的性质，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可. 【详解】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程. 10. 如图，在等边中，，点O在上，且，点P在上，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到，要使点D落在边上，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，连接，由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得：，，得出为等边三角形，从而得出，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵为等边三角形， ∴，， 由旋转性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，利用完全平方公式即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 12. 学生体育成绩的计算方法是将日常、期中、期末三项成绩，分别按的比例计算出学期的最终成绩．若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育最终成绩为______分． 【答案】93 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的求法列式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：小明本学期的体育最终成绩为（分）， 故答案为：93． 13. 如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若代数式 的值为零，则x的取值应为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可． 【详解】解：若代数式的值为零， 则（x﹣2）=0或（x﹣1）=0，即x=2或1， ∵|x|﹣1≠0，x≠1，∴x的取值应为2， 故代数式的值为零，则x的取值应为2． 【点睛】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 15. 一个多边形的外角和比内角和的多，则这个多边形是____边形． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，设这个多边形的边数为，根据题意得出，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， 即这个多边形是5边形， 故答案为：5． 16. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 先化简再求值：，已知． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、非负数的性质，根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， 解得：，， 当，时，原式． 18. 水果店购进甲、乙两种水果．已知甲种水果的进价比乙种水果的进价低，水果店用1000元购进的甲种水果比用1200元购进的乙种水果多10千克．求甲、乙两种水果每千克的进价． 【答案】甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲种水果的进价比乙种水果的进价低，水果店用1000元购进的甲种水果比用1200元购进的乙种水果多10千克”列出分式方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得． 经检验，是分式方程的解． ． 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克． 19. 【信息一】为了解学生的课业负担，甲、乙两所学校各自随机抽取了200名学生，针对完成作业的时间统计如下表： 学生完成作业时间频数分布表 完成作业时间（x/小时） 甲校频数（人） 乙校频数（人） 18 24 32 40 48 76 86 40 16 20 依据“信息一”解决下列两个问题： （1）甲校学生完成作业时间的中位数所处的范围是 ，乙校学生完成作业时间的中位数所处的范围是 ；（直接写结果） （2）计算完成作业时间的平均值时，可以将各组时间上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，如甲校学生作业完成时间的平均值为： ． 依据上述方法求乙校学生作业完成时间的平均值； 【信息二】经过两个月完成作业的时间观测后，甲、乙校统计了上述400名学生之后的某次测试成绩，统计情况如下表：（单位：分） 平均成绩 方差 众数 最高成绩 最低成绩 甲 校 401.8 156.2 335 682 223 乙 校 408.8 154.5 346 682 235 （3）依据“信息一”和“信息二”，小明认为：完成作业时间的多少与成绩高低没有明显的关系．你同意小明的观点吗？请结合数据，从三个方面说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）同意，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据题意列式计算即可得解； （3）根据平均数和方差分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴甲校学生完成作业时间的中位数所处的范围是， ∵，， ∴乙校学生完成作业时间的中位数所处的范围是； （2）； （3）同意，理由如下： ①从两所学校的平均成绩来看，乙校学生的平均成绩高，②乙校学生成绩的方差小，学生成绩两极分化小，③乙校学生作业的完成平均时间比甲校短，故完成作业时间的多少与成绩高低没有明显的关系． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点O中心对称的； （2）将向上平移3个单位得到，直接写出顶点的坐标； （3）点P是某条边上的一点，直接写出点P在边上的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-平移变换，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据平移的特点，直接写出顶点的坐标即可； （3）点P，得出上的对应点坐标为，然后再根据平移得出的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：∵，，，与关于原点对称， ∴，，， ∵将向上平移3个单位得到， ∴，，； 【小问3详解】 解：∵点P在上对应点的坐标为， 又∵将向上平移3个单位得到， ∴点P在边上的对应点的坐标为． 21. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 22. 【材料阅读】在因式分解中，把多项式中某些部分看作整体，并用新的字母代替，可以简化多项式的结构，便于进行因式分解．这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小明用换元法对进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ∴（第四步） 【学习评价】对于上述问题： （1）小明在第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）请对小明因式分解结果进行评价； 【问题解决】 （3）用换元法进行因式分解：． 【答案】（1）C （2）小明分解因式的结果不彻底（或没有分解到最后） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—换元法、完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式即可得解； （2）根据小明的解答过程即可得解； （3）根据材料，利用换元法进行分解即可得解． 【详解】解：（1）小明在第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C； （2）∵ 故由小明的解答过程可得：小明分解因式的结果不彻底； （3）设， 原式， ， ∴． 23. 如图，在中，E为边上一点，、分别平分、． （1）求证：E为的中点； （2）如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证； （2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出． 【小问1详解】 证明：如图， ∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． 同理得． ， ，即E为的中点． 【小问2详解】 解：． 取的中点H，联结． 、H分别是、的中点， 是的中位线， ∴，． 是CD中点， ， ， ． ∵，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，A是y轴上一动点，点B，C在x轴上，点D在y轴正半轴上，是等边三角形，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接，． （1）若点A在y轴负半轴上，求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，证明得出，即可得证； （2）分三种情况：若点A在y轴负半轴上；②若点A在点D上方；③若点A在点D，O之间；分别利用等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：若点A在y轴负半轴上（如图①）： ∵，， ∴． ∴． ∴． 由，可得． ． ∴． ∵， ∴． ． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． ． ∴ ②若点A在点D上方（如图②）： 可得． ∴，． 由（1）可得，． ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ． ∵， ∴． ∴ ③若点A在点D，O之间（如图③）： 可得． 由于， 所以不可能是，与条件矛盾 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $