模块02 函数与导数-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

模块02 函数与导数 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的定义域是（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间满足（为初始污染物含量，为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（   ） A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时 7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（   ）（参考数据：，，） A． B． C．3周后室内甲醛浓度为 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为的偶函数，满足，当时，．则（   ） A．的一个周期为2 B． C．的解集为（） D．（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 16．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，且不等式的解集为． (1)求函数图象的对称中心； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若方程有6个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18．（2024·云南·二模）已知常数，函数. (1)若，求的取值范围; (2)若、是的零点，且，证明:. 19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 . (1)若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗? 请举例说明. (2)已知函数 ，其中 . (i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界. (ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 . 试卷第4页，共4页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块02 函数与导数 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的定义域是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数中真数大于0，二次根式下被开方数非负，求出定义域. 【详解】要使有意义，则， 即，解得，所以函数的定义域为， 要使有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数满足且，，则是上的增函数， 因此，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可. 【详解】由题意得， 于是当时，曲线在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即. 故选:D. 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB. 【详解】由，可得，所以，所以， 解得或，定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故排除CD； 又，， 故B符合，A不符合. 故选：B. 5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为余弦函数在上为减函数，且， 则，即， 对数函数为增函数，则，即， 又因为，故. 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间满足（为初始污染物含量，为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（   ） A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时 【答案】B 【分析】根据条件建立方程，求出过滤过程中废气的污染物含量，进而得出达到排放标准至少所需的时间. 【详解】由题意，当时，废气的污染物含量， ，则， 所以． 设达到排放标准至少所需的时间为， 则，化简得， 即，所以，解得． 故选：B． 7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 【答案】D 【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值. 【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：， 又，所以， ，，，…，， 以上式子相加得， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 【答案】ABD 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（   ）（参考数据：，，） A． B． C．3周后室内甲醛浓度为 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 【答案】ACD 【分析】根据题意列式求解得，，即可求出，即可判断选项ABC，令，利用指对互化解不等式即可判断选项D. 【详解】由题意可得， 解得，， 所以A正确，B错误； 所以， ，故C正确； 令，得， 两边取对数得， 即， 所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准， 至少需要放置的时间为6周，故D正确. 故选：ACD 11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为的偶函数，满足，当时，．则（   ） A．的一个周期为2 B． C．的解集为（） D．（） 【答案】ABD 【分析】根据条件推得的一个周期为2判断A项，利用函数的周期性和对称性，化简计算即可判断B项，结合函数的图象即可判断C，D两项. 【详解】对于A，因是定义域为的偶函数，则， 由可知：的图象对称轴为直线，且， 即得，则的一个周期为2，故A正确； 对于B，因，而， 因为，所以，故B正确； 对于C，根据题意，可以作出函数的图象如下： 由上分析知，函数的最小正周期为2，当时，，则由可得； 而当时，，则由可得， 综上可得时，由可得， 故对于，则的解集为，故C错误； 对于D，由图知对于，必有，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解. 【详解】由题意得，解得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得， 故答案为： 14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先由题设数形结合得和，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】由题，当时，；当时，； 故作出的图象如图所示： 因为存在实数，，且，使得， 所以直线与图象有三个交点， 所以，且，， 所以， 设，则恒成立， 所以函数在单调递增，所以函数， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到和，从而将问题转化成求函数的最大值，简化了问题的难度. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出导数，分三种情况讨论的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处切线的方程为. （2）当时，，， 令，得或， 当即时，对，，即函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 当即时，，，即函数在上单调递减， ，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值. 求出导数，，分析发现导数正负取决于的正负，抓住零点与区间的关系讨论，得到函数在上的单调性，求出最小值进行判断求解. 16．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，且不等式的解集为． (1)求函数图象的对称中心； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若方程有6个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）结合一元二次不等式解集求参，进而求出对称中心； （2）应用单调性定义证明函数的单调性； （3）根据方程根的个数列不等式组计算参数范围. 【详解】（1）由的解集为知，方程有两个不相等的实数根，且，则故，因此． 因为为奇函数，故函数图象的对称中心为点， 将的图象向上平移1个单位长度可得的图象， 所以函数图象的对称中心为点． （2）任取，且，则， 因为，又，即， 则，故，即， 所以函数在区间上单调递增． （3）因为，所以由（1）知，，从而直线与曲线共有6个公共点． 又函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故解得，所以实数的取值范围为． 18．（2024·云南·二模）已知常数，函数. (1)若，求的取值范围; (2)若、是的零点，且，证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围； （2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明. 【详解】（1）由已知得的定义域为， 且 ， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值， ， ， ，即的取值范围为. （2）由（1）知，的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点. 、是的零点，且， 、分别在、上，不妨设， 设， 则 当时，，即在上单调递减. ， ，即， ， ， ， ， 又，在上单调递增， ，即. 【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小； （2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足: 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 . (1)若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗? 请举例说明. (2)已知函数 ，其中 . (i) 若 ，证明: 有下确界，没有上确界. (ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 . 【答案】(1) 不一定是 的最小值，如； (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（i）举例，根据下确界的定义即可判断； （ii）直接求导得，得到其最小值即可得，再通过反证法假设其有上确界，根据上确界定义即可得到相反的结论； （ii）设，再利用导数证明，再利用反证法得其没有下确界，再利用隐零点法得的最小值为，结合（i）中结论即可证明. 【详解】（1）不一定是的最小值．如的下确界， 但0不是的最小值． （2）（i）证明：当时，，定义域， 所以． 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 所以函数有下确界，． 假设函数有上确界，设，则， . 因为，这与是的上确界相矛盾，故假设不成立，函数无上确界． （ii）：先证明． 令函数，则， 设，则， 当，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，所以，即． 若，当时，． 假设有下确界，则一定存在负数恒成立． 当时，有，矛盾， 故假设不成立，即时，没有下确界． 若，因为， 设，则， 所以在上单调递增． 当时，，所以． 因为连续函数满足， 所以函数在上有零点． 因为在上单调递增，所以在上只有一个零点，设为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的最小值为． 结合（i），若函数有下确界，则实数的取值范围为． 又时，， 由（i）知，故的下确界． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用反证法，假设其有上确界，再得到相反结论从而得到其无上确界. 试卷第2页，共17页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$