模块03 三角函数与解三角形-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

模块03 三角函数与解三角形 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由正弦定理求得，即可求解. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以或， 结合内角和定理，所以或， 故选：C 2．（2024·海南·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由已知可得，可求得，利用二倍角的正余弦公式可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 因为的终边过点，所以，解得， ， 当时，， 当时，， 综上所述：或. 故选：C. 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为 【答案】D 【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 由，得，所以函数的， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当当时，的一条对称轴为，故D正确. 故选：D. 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在区间上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π 【答案】C 【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误； 当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确； 因为，故是函数的一个周期，故D错误. 故选：C 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 10．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上有最小值 D．在上有两个极值点 【答案】ABD 【分析】根据对称可得，即可得，根据周期的计算公式求解A，代入即可求解B，根据整体法即可求解CD. 【详解】，即， 而，故．故， 对于选项A：最小正周期，正确． 对于选项B：时，为的对称中心，正确． 对于选项C：时，，无最小值，错误． 对于选项D：时，，结合的图象可知，有两个极值点，正确． 故选：ABD 11．（24-25高三上·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7 以下选项正确的有（    ） A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为， B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口 C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口 D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00 【答案】ABD 【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组，即可判断B；求出19时水的深度，即可判断C；求出函数与的图象的交点，即可判断D. 【详解】解：依题意，，，解得， 显然函数的图象过点， 即，又，因此， 所以函数表达式为，，故A对； 依题意，，整理得， 即有， 即, 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对； 该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5， 19时水深为，故C错； 该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后， 该船符合安全条例的最小水深为 函数与的图象交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 下次水深为7米时刻为11点， 故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式得的值，再结合两个角的取值范围得到的取值，即可得到结果. 【详解】依题意，， 因为，， 即， 所以，又， 所以，， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，表达出，，利用三角恒等变换得到，求出最大值，得到答案. 【详解】设，， 则， 故， 则，则， 则 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 14．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，，从而有，构造函数，，利用导数，求出的单调区间，即可求解. 【详解】由，则由正弦定理可得，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，所以， 当时，，则在上递增； 当时，，则在上递减； 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·黑龙江·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可； （2）运用余弦定理和正弦定理计算即可. 【详解】（1）因为， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为， 所以，， 故. （2）由（1）可知：， 在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则， 由正弦定理可得：，即， 所以. 16．（24-25高三上·山东德州·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中． (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解； （2）用诱导公式化简后可得； （3）已知条件代入得，由同角三角函数关系得，再由诱导公式化简后可得． 【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角， 可得，，则，   所以，且为锐角，可得； （2） ； （3）由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以． 所以 ． 17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，再结合余弦定理分析证明； （2）设，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，，成等差数列，则， 又因为，由余弦定理可得， 即，解得， 所以为等边三角形. （2）设，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，即， 由正弦定理可得. 18．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域. 【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，得， 即，，而，则， 所以函数的解析式是. （2）将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 19．（24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)仅有1个，理由见解析. 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可； （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明； （3）易得，再证明当时，即可. 【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得： . （2）左边 . 右边 . 因为，所以， 故. （3）仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 所以， 所以当时，. 综上，仅有1个零点. 【点睛】本题第三问的关键利用放缩法证明当时，. 试卷第2页，共16页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块03 三角函数与解三角形 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·海南·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．一个对称中心为 D．一条对称轴为 5．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在区间上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·吉林·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上有最小值 D．在上有两个极值点 11．（24-25高三上·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7 以下选项正确的有（    ） A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为， B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口 C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口 D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 . 13．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）如图，OPQ是以O为圆心，半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，AB在线段OP上，ABCD是扇形的内接矩形，则的最大值为 . 14．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·黑龙江·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求和的值. 16．（24-25高三上·山东德州·期末）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中． (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 18．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 19．（24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 试卷第2页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$