江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径为5，点P在外，则OP的长可能是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为(    ) A. 倾斜直线 B. 抛物线 C. 圆弧 D. 水平直线 3.如图，P是内一点.若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.如图，半径为5的中，弦BC，ED所对的圆心角分别是，，若，，则弦BC的长等于     A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 5.如图，在同圆中，若，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 不能确定 6.如图，在矩形ABCD中，，，AD、AB、BC分别与相切于E、F、G三点，过点D作的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是______. 8.如图，为，则弦AB所对的圆心角度数为______. 9.如图，A、B、C在上，若，则______ 10.如图，点A在上，射线CB切于点C，若，则______ 11.边长为3、4、5的三角形的内切圆半径长为______. 12.若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则______. 13.如图，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连接CE，若，则______ 14.如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为、，的度数为，则、和之间的数量关系为______. 15.如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为______. 16.在中，AB是直径，，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是          . 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 如图，AB、CD是的直径，弦求证：B是弧DE的中点. 18.本小题8分 如图，已知▱ABCD内接于圆.求证：四边形ABCD是矩形. 19.本小题8分 如图，PA和相切于A点，PB和有公共点B，且，求证：PB是的切线. 20.本小题8分 如图，在中，是的外接圆.求的半径. 21.本小题8分 如图，在中，， 求作，使圆心P在BC上，且与AC、AB都相切； 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，求的半径. 22.本小题8分 如图，中，AB为弦，半径，弦CD交AB于 求证：∽； 若，，则CA的长为______. 23.本小题8分 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为，拱高CD为 求拱桥的半径； 现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？ 24.本小题8分 已知：BC是的直径，A是上一点，，垂足为D，，BE交AD的延长线于点F，延长BE、AC交于点求证： 25.本小题8分 如图，在中，将沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接 若点D恰好与点O重合，则______； 判断的形状，并说明理由； 若，且，则______. 26.本小题8分 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在BC的上方画，尝试操作后思考： 这样的点A唯一吗？ 点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上点B、C除外，…小华同学画出了符合要求的一条圆弧如图 该弧所在圆的半径长为______； 经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； 如图3，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； 如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接AP，则AP的最小值为______. 27.本小题8分 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论. 如图，已知，，是的外接圆，点D在上，连接AD、BD、 【特殊化感知】 如图1，若，点D在AO延长线上，则与CD的数量关系为______； 【一般化探究】 如图2，若，点C、D在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：的半径为5，点P在外， ， 故选： 根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2.【答案】C  【解析】解：重物由A点摆动到B点，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧， 此重物移动路径的形状为圆弧， 故选： 根据圆弧的定义进行判断． 本题考查了圆的基本性质，圆可以定义为在一个平面内，线段绕着它固定的一个端点即圆心旋转一周，另一个端点所形成的图形．圆上任意两点间的部分叫做圆弧． 3.【答案】A  【解析】解：连接OP，过P作弦，此时AB是过P的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过P的最长的弦是圆的直径是10， 经过点P的弦的长， 经过点P的弦的长度不可能是 故选： 连接OP，过P作弦，此时AB是过P的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过P的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点P的弦长的取值范围，即可得到答案． 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过P与OP垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦． 4.【答案】A  【解析】【分析】 此题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案． 【解答】 解：作直径CF，连结BF，如图， 则， ， 而， ， ， ， 故选： 5.【答案】C  【解析】解：作的角平分线OE， 平分， ， ， ， ， 故选： 根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系可直接求解． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 6.【答案】D  【解析】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ，， ，AB，BC分别与相切于E，F，G三点， ， 四边形AFOE，FBGO是正方形， ， ， 是的切线， ，， ， 在中，， ， ， 故选 连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到，，由于AD，AB，BC分别与相切于E，F，G三点，得到，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到，由勾股定理列方程即可求出结果． 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 7.【答案】相离  【解析】解：的半径为2，点O到直线l的距离为3， ， 与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解． 本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置与d和r之间的关系是解题的关键． 8.【答案】或  【解析】解：连接OA、OB， 为， ， 弦AB所对的圆心角度数为或， 故答案为：或 连接OA、OB，由AB为可得，据此即可求解． 本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 9.【答案】92  【解析】解：， ； 故答案为： 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10.【答案】65  【解析】解：射线CB切于点C， ， ， ， 点A在上， ， ； 故答案为： 根据切线的性质，角的和差关系求出，再根据等边对等角，得到即可． 本题考查切线的性质，等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点D、E、F，的半径为r，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC， ，，， ， ，，， ， 是直角三角形，， 的面积的面积的面积的面积， ， ， 解得， 它的内切圆半径是1， 故答案为： 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，的半径为r，利用等面积法进行计算即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12.【答案】4  【解析】解：、， 设直线AB的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， 当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为： 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C不在直线AB上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 本题考查确定圆的条件，坐标与图形性质，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 13.【答案】15  【解析】解：四边形ABCD是的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， ， 故答案为： 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接 ，， 又， ， 故答案为 连接求出，，再利用三角形的外角的性质求即可． 本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 15.【答案】  【解析】解：如图，取AB的中点，过点D作交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC， 根据题意得：，，，， ，， ， ， 解得：， 即圆心O到AB的距离为 故答案为： 取AB的中点D，过点D作交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC，根据题意可得，，，，再由勾股定理可得，即可求解． 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接OD，OE，OC，首先证明，求出DE，OM，再利用三角形三边关系定理即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接OD，OE，OC， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为 17.【答案】证明：如图，连接BC， ， ， ， ， ， 即， ， 是弧DE的中点．  【解析】连接BC，根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 本题考查了平行线的性质、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 18.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 又▱ABCD内接于圆， ， ， 四边形ABCD是矩形．  【解析】由平行四边形的性质可得，又由圆内接四边形的性质可得，即得，据此即可求证． 本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，矩形的判定，掌握平行四边形及圆内接四边形的性质是解题的关键． 19.【答案】证明：如图，连接OA、OB、 是的切线， ； 在和中， ， ≌， ，即， 又PB和有公共点B，即点B在上， 是的切线．  【解析】连接OA、OB、OP构建全等三角形≌，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得，即PB是的切线． 本题考查了切线的判定与性质．解答这类题目，常见的辅助线有： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 20.【答案】解：如图，过点A作，垂足为D，连接OB、OC， ，， 垂直平分BC， ， 点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ，即 解得， 即的半径为  【解析】过点A作，垂足为D，连接OB、OC，根据勾股定理即可求解 本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21.【答案】解：如图所示． 设的半径为R，与AB相切于点D，连接PD，则， 在中，， 与AC、AB都相切， ， ， 在中，， 解得：， 答：的半径为  【解析】作的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作即可． 设的半径为R，与AB相切于点D，连接PD，则，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】  【解析】证明：半径， ， ， ， ∽； 解：∽， ， ， ，， ， ， 故答案为： 垂径定理得到，得到，再结合，即可得证； 根据∽，列出比例式进行求解即可． 本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． 23.【答案】解：如图，连接OB， ， 为AB中点， ， 又， 设，则 在中，根据勾股定理得：， 解得 拱桥的半径为米； 连接ON， ，船舱顶部为长方形并高出水面， ， ， 在中，， 此货船不能顺利通过这座拱桥．  【解析】根据垂径定理和勾股定理求解； 连接ON，OB，通过求距离水面米高处即ED长为时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长． 此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 24.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ，   【解析】由BC是的直径可得，进而由余角性质可得，又由得，即得，即，最后再利用余角性质得到，即可证得 本题考查了圆周角定理，余角性质，等角对等边，掌握圆周角定理是解题的关键． 25.【答案】30  10  【解析】解：作出与相等的，当点D恰好与点O重合时，如图1所示， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即， ， 故答案为：30； 为等腰三角形，理由如下： 由可知，，如图2， 为等腰三角形； 如图3，过点C作于H，则，， 是的直径， ， ， ， ∽， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为： 作出与相等的，由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦相等可得，进而得，得到为等边三角形，即得，再根据圆周角定理即可求解； 根据即可判断求解； 过点C作于H，则，，证明∽，可得，再利用勾股定理求出AC，可得BC，最后再利用勾股定理即可求解． 本题考查了同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦相等，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 26.【答案】2   【解析】解：过点C作，交圆弧BAC于点D，连接BD，如图1， 则：BD为该弧所在圆直径，， ， 该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； 设与圆弧交点为E，连接BE，则：，如图2， 是的一个外角， ， ； 如图3：点，即为所求； 由作图可知：为等腰直角三角形， ， 由同弧所对的圆周角相等，得到； 以BC为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接AD，OB，OA，OP，则：，，，，，， ，， 点P在上， ， 等边三角形ABC ，， 垂直平分BC，， ， ，O，D三点共线， ， ， ， ， ， 的最小值为： 过点C作，交圆弧BAC于点D，连接BD，圆周角定理，得到BD为该弧所在圆直径，，进而求出BD的长即可； 设与圆弧交点为E，连接BE，圆周角定理，得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； 过点B作，在BC上截取，连接AD，作AD的中垂线，交AD于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，与直线l的交点，即为点P； 以BC为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接AD，OB，OA，OP，得到，证明点P在上，AD垂直平分BC，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出OA，OB的长，进一步求出的长，即可． 本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键． 27.【答案】  【解析】解：，， 为等边三角形， ， 是的外接圆，点D在AO延长线上， 垂直平分BC，AD为直径， ，，， ， ，， ， ； 故答案为：； ；理由如下： 如图2所示，在AD上截取， ， ， 是等边三角形， ，则， ， 四边形ACDB是圆内接四边形， ， ； ，， 是等边三角形，则， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ， ， 即； 或理由如下： ， 为的直径， ， ， ， 当点D在上时，如图3：在AD上截取， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， ； 当点D在上时，如图4，延长BD至点H，使， 为直径， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， 综上：或 先证明为等边三角形，根据三角形的外接圆，得到AD垂直平分BC，AD为直径，垂径定理得到，进而得到，圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到； 在AD上截取，证明≌，根据全等三角形的性质即得出结论； 分两种情况讨论，①当D在BC上时，在AD上截取，证明∽，得出，进而即可得出结论；②当D在上时，延长BD至H，使得，连接AH，证明∽，可得，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，以及截长补短的辅助线方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$