精品解析：陕西省汉中市宁强县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

宁强县2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （卷） 温馨提示： 1．全卷共6页， 总分120分， 试题117分， 卷面3分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的信息和答案． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 数“20242205”中，数字“2”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 对顶角相等 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ，垂直平分， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 8. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：_____． 10. 计算：__________． 11. 如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为________． 12. 如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要__________米． 13. 长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ________________． 三、解答题（共13小题，计78分，需要写出必要的解答过程） 14. 计算：． 15. 因式分解： 16 先化简再求值：，其中，． 17. 尺规作图： 已知， 在上找一点D， 使点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图， 已知若 ， 求的长． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，求这个正数的平方． 20. 如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． （2）若，，求出绿化的总面积． 21. 如图，，，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查 （每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有多少人？ 23. 如下图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为a，宽为b的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）观察图2的面积可知，代数式 和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； （2）根据（1）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为 求这个长方形长与宽的差． 24. 如图图形，每个小正方形的边长为1． （1）求图中阴影部分的面积和边长； （2）已知为阴影正方形边长小数部分，为的整数部分，求： ①，的值； ②的算术平方根． 25. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 26. 【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ． 变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁强县2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （卷） 温馨提示： 1．全卷共6页， 总分120分， 试题117分， 卷面3分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的信息和答案． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘除法、合并同类项，根据单项式乘单项式，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则，合并同类项法则进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 数“20242205”中，数字“2”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查频数和频率，根据一组数据中某个数据出现的次数叫做这个数据的频数，由频率频数总数，进行求解即可． 【详解】解：在整数20242205中，共有8个数字，数字“2”出现的频数是4， 则数字“2”出现的频率是， 故选：B． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 6. 如图， ，垂直平分， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．已知可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求． 【详解】解：， ， 又垂直平分， ， ． 故选：A． 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 8. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 11. 如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 12. 如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要__________米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 13. 长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 三、解答题（共13小题，计78分，需要写出必要的解答过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，乘方，化简绝对值，算术平方根，立方根的知识点，根据乘方，化简绝对值，算术平方根，立方根的运算法则及定义求解即可得到答案，熟知定义及运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 15. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式与公式法因式分解，先提取公因式4，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 16. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值，掌握平方差公式以及多项式乘多项式的法则是解题的关键． 原式利用平方差公式，以及多项式乘多项式的法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 ， ∵， ∴原式 ． 17. 尺规作图： 已知， 在上找一点D， 使点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理及角平分线的尺规作图法是解题的关键． 利用尺规作出的角平分线交于点D，则点D即为所求作． 【详解】解：如图，利用尺规作出的角平分线交于点D，则点D即为所求作， 由角平分线的性质定理可知，点D到、的距离相等． 18. 如图， 已知若 ， 求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知一个正数的平方根分别是和，求这个正数的平方． 【答案】 【解析】 【分析】考查了平方根的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数，即可求得此正数的平方． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故， ∴这个正数， 这个正数的平方． 20. 如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． （2）若，，求出绿化的总面积． 【答案】（1）绿化的总面积为平方米 （2）绿化的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是多项式乘多项式和完全平方公式． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化的总面积 平方米， 答：绿化的总面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， 原式， 答：绿化的总面积为13200平方米． 21. 如图，，，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质． （1）由“”可证；即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，据此即可求解． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴． 22. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查 （每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有多少人？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）该校最喜欢“科普书籍”的学生约有人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息． （1）利用“科普书籍”出现的频率为其它的百分比文艺的百分比体育的百分比，利用喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数喜欢“科普书籍”的百分比求解； （2）根据文艺或体育或其他的人数和站的百分比即可求总人数，用总人数减去文艺、体育、其他的人数，即可知科普的人数，补全图形即可； （3）利用该校最喜欢“科普”书籍的学生数该校学生数喜欢“科普书籍”的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为， 则喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数为， 故答案为：． 【小问2详解】 （人）， 科普的人数为：（人）， 条形统计图为： 【小问3详解】 估计该校最喜欢“科普”书籍的学生数为（人）， 答：该校最喜欢“科普书籍”的学生约有人． 23. 如下图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为a，宽为b的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． （1）观察图2的面积可知，代数式 和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； （2）根据（1）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为 求这个长方形长与宽的差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系是正确解答的关键． （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （2）设这个长方形的长为a，宽为b（），则，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 阴影部分的面积：， ∴代数式和之间的数量关系是：； 【小问2详解】 设这个长方形的长为a，宽为b（），则， ， 由可得：， ∴这个长方形长与宽的差为． 24. 如图图形，每个小正方形的边长为1． （1）求图中阴影部分面积和边长； （2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求： ①，的值； ②的算术平方根． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可算出边长； （2）①根据估算无理数大小的方法，可得，，即可得得出和的值；②代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 则阴影部分正方形的边长为：． 故答案为：13，； 【小问2详解】 ①，， ，， ，， ②∵， ， 即的算术平方根为． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小及算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小及算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 25. 如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时， （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）t值为8或 【解析】 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，从而得出结论； （3）根据题意得，则，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设点P的运动时间为， 根据题意得：，则， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得：，则， ， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∴当时，， ， 当时，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 26. 【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ． 【变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【答案】； 详见解析； ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，外角的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造三角形全等． 利用证明，根据全等三角形对应边相等可得； 利用证明，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 在上截取，构造，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可求，根据等腰三角形的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； 证明：是的外角， ， 又，， ， 又，， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，在上截取， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$