第8章 整式乘法（单元复习 5大易错+7大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第8章 整式乘法 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用单项式乘多项式求字母的值 1 易错题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 易错题型三　完全平方式中的字母参数问题 8 易错题型四　乘法公式中简便运算变换 10 易错题型五　乘法公式中项数的变换 14 【压轴题型】 18 压轴题型一　平方差公式中连续相乘应用 18 压轴题型二　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 24 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 31 压轴题型四　平方差公式在几何图形中的应用 34 压轴题型五　完全平方公式在几何图形中的应用 39 压轴题型六　利用完全平方式求代数式的最值问题 45 压轴题型七　整式的运算中的新定义型问题 49 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用单项式乘多项式求字母的值 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 易错题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 巩固训练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 易错题型三　完全平方式中的字母参数问题 例题：（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 2．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 5．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 易错题型四　乘法公式中简便运算变换 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）简便计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 易错题型五　乘法公式中项数的变换 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算：． 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平方差公式中连续相乘应用 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 5．（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 压轴题型二　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 压轴题型四　平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 压轴题型五　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 压轴题型六　利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 压轴题型七　整式的运算中的新定义型问题 例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用单项式乘多项式求字母的值 1 易错题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 易错题型三　完全平方式中的字母参数问题 8 易错题型四　乘法公式中简便运算变换 10 易错题型五　乘法公式中项数的变换 14 【压轴题型】 18 压轴题型一　平方差公式中连续相乘应用 18 压轴题型二　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 24 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 31 压轴题型四　平方差公式在几何图形中的应用 34 压轴题型五　完全平方公式在几何图形中的应用 39 压轴题型六　利用完全平方式求代数式的最值问题 45 压轴题型七　整式的运算中的新定义型问题 49 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用单项式乘多项式求字母的值 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 易错题型二　已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 巩固训练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 【详解】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】幂的混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、负整数指数幂 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，负整数指数幂的含义，积的乘方运算的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算多项式的乘法，再合并同类项，再根据积中不含x项与项，建立方程求解即可； （2）先计算积的乘方，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． ∵积中不含项与项， ∴，， 解得，． （2）∵，， ∴ ． 易错题型三　完全平方式中的字母参数问题 例题：（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 故答案是：． 3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 易错题型四　乘法公式中简便运算变换 例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)8800 (2)12.1 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用， 对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式及完全平方公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式及完全平方公式． （1）把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式计算即可． （2）把原式化为完全平方公式的形式，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错题型五　乘法公式中项数的变换 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 巩固训练 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的运用，首先将原式进行适当变形，然后应用平方差公式，再应用完全平方公式进行展开和化简． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，先将看成整体运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行运算，将看作整体，根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平方差公式中连续相乘应用 例题：（23-24七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 先对原式进行变形，然后利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 5．（24-25八年级上·海南·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 压轴题型二　多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 【答案】(1) (2)影A的周长为，阴影B的周长为，说明见解析 (3)阴影A的面积阴影B的面积 【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数式即可； （2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与的取值无关； （3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知： 阴影A的长为：，宽为：， ∴阴影A的周长为：， 阴影B的长为：，宽为：， ∴阴影B的周长为：， ∴阴影与阴影的周长差， ∴阴影与阴影的周长差与的取值无关； （3）解：阴影A的面积为：， 阴影B的面积为：， ∴ 把代入得：， ∴阴影A的面积阴影B的面积． 【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m； （2）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x无关可得． 【详解】（1）解： ， 其值与x的取值无关， ， 解得：， 答：当时，多项式的值与x的取值无关； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， ． 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）令 ， 原式= ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 压轴题型三　多项式乘法中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）①根据（1）中发现的规律即可解决问题．②根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，能根据题意得出为正整数）是解题的关键． 【详解】（1）解：因为； ； ； ， 所以． 故答案为：． （2）①由（1）中结论可知， ， 所以， 则， 所以， 则． ②由（1）中结论可知， ， 所以． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 压轴题型四　平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 压轴题型五　完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 压轴题型六　利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 压轴题型七　整式的运算中的新定义型问题 例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式的项、项数或次数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料： 在学习多项式乘以多项式时，我们知道的展开结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为． 那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)求展开所得多项式中的一次项系数； (2)已知展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可； （2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次项系数为． （2）解：由题意，得二次项系数为： ， 解得， 即a的值为2． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴和谐值为； （2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．． （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （4）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）29是“完美数”，即 故答案为：； （2）解：， ，， ， 故答案为：； （3）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， （4）， ， ， ， ， ， 的最大值． 5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把10拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）首先表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）已知10是“完美数”， 将它写成（、是整数）的形式为． 故答案为：； （2）∵ ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， ∵、是整数， ∴、也是整数， ∴当时，为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$