2024年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷

2024年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个标志中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是(    ) A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.六名同学的数学成绩分别为73，91，91，68，95，这组数据的中位数是(    ) A. 89 B. 90 C. 91 D. 95 5.中国的探月、登月计划受到世人的关注.月球与地球之间的平均距离约为384000公里，用科学记数法表示数据384000应该为(    ) A. B. C. D. 6.《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观.请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，▱ABCD中，的平分线AE交CD于E，，，则EC的长(    ) A. 1 B. C. 2 D. 3 8.如图，抛物线与x轴的交于点，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.的相反数是______. 10.已知，，则多项式的值为______. 11.若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是______. 12.要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出米，则AB的长是______米． 13.如图，在中，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得______度. 14.如图，以直线AB为轴，将边长为3cm的正方形ABCD旋转一周，所得一个几何体.这个几何体的左视图的面积为______. 15.化简：______. 16.如图，周长为12的的三边都与半径为1的相切.若向的内部随机地抛掷黄豆，则黄豆落入阴影区域的概率为______. 17.新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为______. 18.如图，在中，，以AC为斜边作等腰直角，连接BD，则BD的最大值为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算：； 解不等式组： 20.本小题8分 小明对九年一班同学参加锻炼的情况进行了统计，每人只能选其中一项并绘制了下面的图1和图2两幅统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： 小明这次一共调查了多少名学生？ 通过计算补全条形统计图； 若该校有2000名学生，请估计该校喜欢足球的学生比喜欢乒乓球的学生大约多多少人？ 21.本小题8分 如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.参考数据：，， 22.本小题10分 如图，在，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且BF是的切线. 求证：； 若的半径为5，，求CD的长. 23.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 求该反比例函数的表达式； 将直线沿y轴向上平移b个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，求b的值； 在的条件下，若直线OA上有一点且不与O重合，使∽，求点P的坐标. 24.本小题8分 端午节吃粽子，是中国传统习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题： 该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ 如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点连接设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交AB于点 若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求QN的最大值，并求QN取最大值时点N的坐标； 我们发现：当QN取最大值时，点N恰好是AB的中点.请你说明理由. 26.本小题12分 如图，菱形ABCD中，于点E，点F在AB上，于点H，分别交AE、AD于点G、点 求证：； 若，求证：； 若，且，，求菱形ABCD的边长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据轴对称图形的定义，选项A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； 选项C中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2.【答案】C  【解析】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意； B、缘木求鱼是不可能事件，不符合题意； C、水涨船高是必然事件，符合题意； D、拔苗助长是不可能事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】D  【解析】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选： 利用单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：将这组数据重新排列为：68，73，89，91，91，95， 所以这组数据的中位数为， 故选： 将这组数据重新排列，再依据中位数的定义求解即可． 本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6.【答案】B  【解析】解：设有x只小船，则有大船只，由题意得： ， 故选： 设有x只小船，则有大船只，由题意得等量关系：大船坐的总人数+小船坐的总人数，然后再列出方程即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 7.【答案】C  【解析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，求出，则根据角平分线的性质求出，得出，即可求出答案． 【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选 8.【答案】A  【解析】解：①抛物线开口向上， ，结论①正确； ②二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，结论②正确； ③抛物线对称轴为直线， ，，结论③正确； ④二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ，结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选： 由抛物线开口向上，即可判断①；由抛物线与x轴的交点即可判断②；由对称轴为直线，得出即可判断③；由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，即可判断④． 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：的相反数是 故答案为： 直接根据相反数的定义解答即可． 本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 10.【答案】42  【解析】解： 把，代入上式：原式 故答案为： 本题应先提公因式，把分解因式，再把条件代入即可求值． 此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解． 11.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 得： 故答案为： 由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟记“时，图象位于一、三象限；时，图象位于二、四象限”是解题关键． 12.【答案】20  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 由AB、ED均垂直于BD，即可得出，结合、即可证出≌，由此即可得出，此题得解． 【解答】 解：，， ， 在和中， ， ≌， 米 故答案为： 13.【答案】25  【解析】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分， ，， ， ， ， ， 故答案为： 利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分，则，，所以，再利用三角形内角和计算出，则，从而得到 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 14.【答案】  【解析】解：正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体， 该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两邻边长分别为3cm和6cm，故矩形的面积为 故答案为： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力和计算能力，属于基础题． 15.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 16.【答案】  【解析】解：的面积是：， 圆的面积是：， 则黄豆落入影区域的概率是： 故答案为： 首先求得三角形的面积与圆的面积，圆面积与三角形的面积的比就是概率． 本题考查了几何概率和切线长的性质，正确求得的面积是关键． 17.【答案】或  【解析】解：①直线经过得，则， ②解得或， ， 代入得，， 解得， ③直线与抛物线相切时，则，即， 则 ， 解得： 故答案为：或 求得A、B点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解． 本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：， 点A在以BC为直径的圆上， 取的中点为点E，连结BE、CE，以EC为直径作半圆 当点A从B点运动到C点的时候，D点是从B点运动到C点，且始终为， 点在以EC为直径作圆F上， 在变化过程中BF和FD的大小始终不变， ， 的最大值为：， 即为图中长， 在等腰直角中，，， 即， 在中，， 的最大值为： 故答案为： 取的中点为点E，连结BE、CE，以EC为直径作半圆得出BD的最大值为：，由勾股定理求出BF的长，则可得出答案． 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19.【答案】解：原式 ； 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为  【解析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项开平方化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂的意义化简，然后计算即可得到结果； 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、三角函数值、绝对值的性质及不等式的性质． 20.【答案】解：名， 答：小明这次一共调查了50名学生． 名， 比较喜欢乒乓球的有5名学生，    补图如下： 名 估计该校喜欢足球的学生比喜欢乒乓球的学生大约多200名．  【解析】根据篮球的人数以及百分比计算即可． 利用总人数=各个组的人数之和即可解决问题，再根据喜欢乒乓球人数喝茶条形图即可． 利用样本估计总体的思想解决问题． 本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21.【答案】解：在中，，海里， 则海里， 在中，， ， 海里， 答：还需航行的距离BD的长约为30海里．  【解析】根据含角的直角三角形的性质求出CD，再根据正切的定义求出 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22.【答案】如图1，证明；连接AE， 为的直径， ， ， ， 是的切线， ， ； 解：如图2，连接BD， ， ， ， ， ， 设，则， 是的直径， ， ， ， 解得：，   【解析】连接AD，根据圆周角的性质求得，根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出，然后根据弦切角定理得出； 连接BD，由的半径为5，解出，根据勾股定理求出，在根据勾股定理列方程求解． 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理弦切角定理，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形． 23.【答案】解：在直线图象上， ， ， 在反比例函数图象上， ， 该反比例函数的表达式为： 连接AC， 根据题意，直线BC解析式为：， ，即， ，且， ， 解得 如图所示，由可知，直线BC的解析式为：， 联立方程组，解得，， ，， ，，， ， ，即， ∽，， ，， ，， 解得， ， ， 点P在直线上， 设点P的坐标为， ， 解得：不符合题意舍去， 点 当P在AO的延长线上时， ∽， ，即， ， ， ， 综上所述，当∽时点P的坐标为：或  【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可； 连接AC，根据题意可知，利用面积建立关于b的方程，解出b值即可； 根据可得到直线BC解析式及点A、B坐标，利用勾股定理逆定理判定，再根据相似三角形的两种情况进行解答点P坐标即可． 本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论是解答本题的关键． 24.【答案】解：设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元； 设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元， 由题意得：， ， 随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值， 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．  【解析】设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； 设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，由题意列出w与m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 25.【答案】解：①点A、点B在直线上时，则点A、B的坐标分别为：、 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； ②设点，则点， 则， ， 故NQ有最大值， 当时，NQ的最大值为，此时点； 设直线AB的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 故QN有最大值，此时， 即， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或， 则AB的中点坐标得横坐标为：， 点N恰好是AB的中点．  【解析】①由待定系数法即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； 求出，QN有最大值，此时，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 26.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ， ， ，， ，， ； 证明：作于M，于N， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：，，， ≌， ，， 设，，则，， ， ， ， ，，， ≌， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即， ，，， 连接AC，BD相交于O，则，， ， ， 即， ， 即菱形的边长为  【解析】根据菱形的性质得出，进而利用垂直解答即可； 作于M，于N，根据等腰直角三角形的性质解答即可； 根据AAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质得出比例解答即可． 本题是四边形综合题，考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 第1页，共1页 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