专题11 三角函数综合应用（9大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题11 三角函数综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：三角函数图像求解析式 题型二：正余弦函数最值与值域 题型三：正切函数值域与最值 题型四：恒等变形恒成立求参 题型五：能成立（有解）求参 题型六：辅助角范围应用 题型七：零点型求参 题型八：零点“和”型求参 题型九：利用对称性重组构造求和型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 三角函数图像求解析式 ⭐技巧积累与运用 已知的部分图象求其解析式时 比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： (1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 1．函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式； （2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可. 【详解】（1）由最值得， 由相邻两零点距离得，则，即， 此时， 因为，则该函数一个最高点为， 代入点得：， 则，即， 又因为，所以， 故. （2）由题意得， 则， 因为 ，且其定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 2．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1)，对称轴 (2) 【分析】（1）由图象求出，进而，利用整体代换法求解对称轴即可； （2）根据三角函数图象的平移变换可得，求出在的值域即可. 【详解】（1）由图象可知，，得， 又，所以，将点代入， 得，即，所以， 即，又，故， 所以，令，得， 所以的对称轴方程为. （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为 ， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则，所以， 即， 因为在上有解，即在上有解， 所以，即的取值范围为. 3．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)周期 (3) 【分析】（1）结合最大值和最小值求出，根据图中点确定周期，进而确定，代入关键点求出，得到解析式； （2）根据三角函数周期公式和单调区间求法求解即可； （3）结合正弦图象求出解集. 【详解】（1）由图可知，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. （2）因为， 所以， 单调递增区间满足，， 即，， 即，， 所以单调递增区间为，. （3）因为， 所以，即， 所以，， 即，， 所以，， 所以解集为. 4．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域. 【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，得， 即，，而，则， 所以函数的解析式是. （2）将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 题型02 正余弦函数最值与值域 ⭐技巧积累与运用 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减 (－＋kπ，＋kπ) (k∈Z)上递增 1．已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)的最小正周期为； (2)最大值为，最小值为； (3) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式结合二倍角公式，辅助角公式化简，然后由最小正周期的公式求解即可； （2）由求出，然后利用正弦函数的性质求解的最值即可； （3）由，得，求出，将转化为，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以当时，； 当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. （3）因为， 所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若时，的最小值为，求的值. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）将函数利用诱导公式转化为，代入公式即可求得最小正周期及单调递减区间； （2）由，可以求得的范围，即可求得的范围，进而求解. 【详解】（1）函数的最小正周期为. ， 由， 得， 所以的单调递减区间为； （2）由，得， 所以， 即， 所以， 所以的最小值为， 所以. 2．已知函数，，且的最小值为. (1)求的值； (2)设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值. 【答案】(1) (2)当时，函数取最大值 【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，即可求得的值； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值及其对应的值. 【详解】（1）因为函数，，且的最小值为. 所以，函数的最小正周期为，则. （2）由（1）知，， 则 ， 当时，， 故当时，即当时，函数取最大值，即. 3．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间： (3)当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得最小正周期； （2）以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （3）以为整体，结合正弦函数有界性可得，进而可得，列式求解即可. 【详解】（1）由题意知 ， 所以函数的最小正周期. （2）令，，解得，， 所以的单调递增区间为. （3）当，则，可得， 则，解得， 所以， 由，即，可得，解得， 所以使成立时自变量的集合为. 题型03 正切函数值域与最值 ⭐技巧积累与运用 切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解 1．求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 2．求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 3．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【答案】答案见解析. 【分析】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【详解】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 4．设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心； (2)解不等式. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质，采用整体代换的方法，即可求得答案； （2）结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数， 令，则， 故的定义域为，最小正周期为; 令，即， 故渐近线为； 令， 故对称中心为； （2）由，得， 故， 即不等式的解集为 题型04 恒等变形恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 利用二倍角和降幂公式等进 1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开 2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”型恒等变形 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到的取值范围. 【详解】（1）解：由 可得函数的最小正周期. （2）因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （3）由（1）知，函数， 可得asinasin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 2．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 3．已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图像向左平移个单位长度得到的图像，图像关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求得，得到，结合三角函数的图象变换得到，根据图像关于轴对称，得出，即可求解； （2）根据的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，的最小值为， 所以， 可得， 将的图像向左平移个单位长度得到的图像， ，因为图像关于轴对称， ，， 由于，取，得． （2）由（1）得到， 由题意，当时，恒成立， 可以转化为，， 化简得到：， ，所以， ， ， 故且，又， 解得： 所以的取值范围为． 4．已知函数． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，求的值； (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可得： 可得函数的最小正周期. （2）因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （3）由（1）知，函数， 可得asin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问参变分离可得对于任意均有恒成立，利用二倍角公式整理可得，这里对倍角公式的理解不能局限于书本的与. 题型05 能成立（有解）求参 ⭐技巧积累与运用 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 1．若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据相邻对称轴距离可求出周期，进而求出，再根据求出.利用余弦函数的单调性求解单调递减区间即可. （2）先求出在上的最大值，然后解关于的不等式即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 综上，.    令. 得，即. 所以的单调减区间是. （2）当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 2．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 x m n p 0 2 0 0 (1)求实数m，n，p和函数的解析式. (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象. ①求的单调递减区间； ②若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】(1),,；； (2)①的单调递减区间；② 【分析】（1）根据表中已有数据，求得，再补充完整表格； （2）①根据（1）中所求，结合图像平移可得，再求单调递减区间；②将题意转化为即在有解，由三角函数的性质求出，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）根据表中已知数据可知：过点，且其最大值为， 故可得，， 解得，故， 所以，解得：， ，解得：， ，解得：. （2）①, 令，解得：， 即， 所以的单调递减区间. ②存在，使得不等式成立， 即在有解， 因为，所以， 所以当，即时，，所以， 所以，解得：. 故a的取值范围为：. 3．对于三个实数a，b，k，若成立，则称a，b具有“性质k”. (1)，判断x，0是否具有“性质2”？ (2)，判断，0是否具有“性质4”？ (3)若存在及，使得成立，，1具有“性质2”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)具有； (2)不具有； (3). 【分析】（1）判断不等式是否成立. （2）令，再判断不等式是否成立. （3）由，1具有“性质2”可得，由给定不等式可得，求得的最小值，及）的最大值，即可求出的范围. 【详解】（1）对，，当且仅当时取等号， 所以，0具有“性质2”. （2）令，而， 函数在上单调递减，， 即，，因此，不成立， 所以，0不具有“性质4”. （3）由，1具有“性质2”，得， 则，解得，而，则， 依题意，存在及，使得成立， 即存在及，使得， 令，，显然函数在上递增， 函数在上递增，因此函数在上递增，， 令，，函数在上递减，在上递增，， 因此，则， 所以实数m的取值范围是. 4．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）结合图象和，求得，再根据对称轴求得，即可得的解析式； （2）根据函数图象再结合与有两个交点运算求解. 【详解】（1）由函数图象可得，，∴，∴， 即，根据图象可得，，解得，， 因为，所以，所以； （2），∵，∴ 关于x的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点，结合函数图象可知． ∴实数m的取值范围为． 题型06 辅助角范围应用 ⭐技巧积累与运用 1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足： 2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。 1．已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，结合二次函数性质及对勾函数的单调性分段求出求出值域即可得解. （2）由给定条件，可得，再代入化简并结合辅助角公式及正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）当时，函数， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数的值域是. （2）当时，，由，得， 则，整理得， 而，，因此， 所以实数的取值范围. 2．已知函数. (1)若是三角形中一内角，且，求的值； (2)若函数在，有唯一零点，求的范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据差角公式、倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，利用题目条件及三角形内角的范围可得结果. （2）根据条件可得，令，问题转化为函数与直线有唯一交点，数形结合可解决问题. 【详解】（1）由题意得， ， ∴，∴， ∵，∴， ∴，解得. （2）由（1）得，， 由得， 令，由得， 问题转化为函数与直线有唯一交点，作出在上的函数图象， ∵，， ∴或，解得或. ∴的范围是或. 3．已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解即可. （2）利用正弦函数的性质求出函数在上的值域，再利用零点的意义求出范围. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的对称轴方程. （2）由（1）知，，当时，， 则，， 由函数有零点，得，解得. 所以的取值范围是. 4．已知函数的最大值为3． (1)若的定义域为，求的单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)单调递增区间为和 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果. 【详解】（1）将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． （2）由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 题型07 零点型求参 ⭐技巧积累与运用 零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，或者cos(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝++kπ可求得对称中心的横坐标； 正弦“第一零点”：； 正弦“第二零点”： 余弦“第一零点”：； 余弦“第二零点”： 1．已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 【答案】(1) (2)①或② 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】（1） ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； （2）①令，当时，，， 所以，    所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 2．已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用降幂升倍公式和二倍角公式，辅助角公式来进行恒等式变形，最后由三角函数的周期性质即可求解； （2）利用三角函数图象，结合一元二次方程根的分布即可求得取值范围. 【详解】（1）由题意知 ， 因为的最小正周期为，所以，又因为，所以． 即； （2）由（1）知， 由，可得 令，则， 即，， ∵函数在上有三个不同零点，，，且， ∴方程在区间有三个不相等的实数根， 根据正弦函数图象，原方程在区间要在上有三个不等的实根， 则关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根为1，另一个实根在上， ①当一个根在，另一个根在， ∴，即，解得， 当一个根为0时，即，∴，此时方程为，∴，故不合题意； 当一个根为，即，解得，此时方程为，解得，故不合题意， ②当一个根是1，另一个实根在， 由，得，此时方程为， 解得或，此时这两个根都不属于，故不合题意 综上，实数的取值范围为． 3．已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)求的单调减区间； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果； （2）由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （3）将函数零点转化为函数图像交点，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）， 的最小正周期. （2）令，， 解得，， 所以的单调减区间为 （3） 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点， 令， 做出的图像与直线，如图. 由图知，当时，的图像与直线有两个交点， 4．已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    题型08 零点“和”型 ⭐技巧积累与运用 零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解 对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． 对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； 1．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．   例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． (1)若切比雪夫多项式，结合，求实数，，，的值； (2)利用，结合（1）的结论，求的值； (3)已知函数在区间上有个不同的零点，分别记为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）结合定义可得，利用两角和余弦公式和二倍角余弦公式，平方关系将右侧化为的表达式，对比可求结论； （2）由（1），再结合二倍角正弦公式，平方关系化简方程可求结论； （3）令​，由条件结合（1）可得，由此可求，再结合诱导公式两角和余弦公式求结论. 【详解】（1）依题意，​ ​， 因此​，即​，则​． （2）因为​， 因为​，​， 即​， 因为​，解得​（​舍）． （3）函数​在区间​上有个不同的零点​， 即方程​在区间​上有个不同的实根， 令​，由​知​，而​，则​或​或​， 于是​， 则​， 而​， 所以​． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2．已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可； （2）根据正弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）由 ， 则，即， 又，即. （2）由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 3．已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 4．设. (1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值； (2)当时，函数正零点由小到大依次为，，，…，若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数最值构造方程计算内即可； （2）根据零点概念计算三角方程的根，再结合条件构造方程求出即可. 【详解】（1）由题设，可得. （2）令，则， 所以或且， 则或且， 由且正零点由小到大依次为，，，…， 所以、、，则，所以. 题型09 利用对称性重组构造求和型 1．已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】(1)，. (2) (3)92 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【详解】（1） . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. （2），即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 2．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式以及单调区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和. 【详解】（1）由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. 令，解得， 所以单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即，， 解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于结合图像以及对称性可得，进而分析求解. 3．已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期性及对称中心求出的解析式； （2）令，利用二次函数性质求解最小值即可； （3）根据三角函数图像变换求得，（法一）利用三角函数的性质直接求出即可. （法二）利用换元法，结合三角函数图象的对称性求得的值. 【详解】（1）由题意，函数， 因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以最小正周期，可得， 因为函数的图象关于点对称，所以图象过点，可得， 所以，因为，所以，所以函数. （2）， 令， 则，所以原函数可化为， 因为对称轴是直线，所以当时，， 当时，， 即的值域是. （3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， （法一）由方程，可得，所以或， 即或，因为，且， 所以符合题意， 所以 （法二）对于方程，方程的根可以转化成在区间上的零点，由的图象可知函数有6个零点，且相邻的两个零点关于对称轴对称. 令，得， 因为，所以这五条对称轴分别为， 所以 . 4．已知函数. (1)求函数在上的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用三角恒等变换的公式化简的解析式，利用正弦函数的性质求解即可； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，由方程，得，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）， ， 当时，可得，所以. 函数在上的取值范围为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 由方程，即，即， ，， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图，    可得方程在有6个解，即， 其中，，，，， 即，，，， ， 解得：，，，，， 所以． 能力培优 1．已知函数，且恒成立. (1)求a的值； (2)设，若，，使得，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据得，进而可求解， （2）将问题转化为，即可利用整体法求解，利用换元法以及二次函数的性质，分类讨论求解最值即可求解. 【详解】（1） ，其中为锐角且，       由于，，故，       所以，，故，，    ，，解得； （2）由（1）得，不妨取，故， ，，使得， 则只需，       当时，，故， 则，       令，则， 则，    其中， 因为，所以，，    若，此时在上单调递减， 故，故，       若，此时， 令，故，解得， 与取交集得，       若，此时在上单调递增， 故，       令，解得，与取交集得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：将、，，使得， 则只需.利用整体法求解三角函数的值域，利用换元法以及二次函数的性质求解的值域. 2．已知向量，，函数，. (1)求在上的值域； (2)求的值； (3)已知，讨论在上零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据数量积的坐标形式结合三角变换可得，根据正弦函数的性质可求其值域； （2）根据的周期性和特殊角的三角函数值可求的值； （3）先求出零点的一般形式，再就不同的取值分类讨论后可零点的个数. 【详解】（1）由题设 ， 故的值域为. （2）， 故的最小正周期为，而， ，， ，， ， 故， 故. （3）由（2）可得， 令可得， 故或，其中， 故或， 若，则， 此时在上零点的个数为2； 若，则， 此时在上零点的个数为1； 当，， 此时在上零点的个数为0； 当，此时， 此时在上零点的个数为1， 综上，，则： 当时，在上零点的个数为0； 当或时，在上零点的个数为1； 当时，在上零点的个数为2； 【点睛】思路点睛：对于三角函数的零点个数问题，应该根据先求出零点的一般形式，再根据零点是否在区间中分类讨论. 3．已知函数 (1)求方程在上的解集 (2)设函数，. ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明： 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可； （2）①借助函数单调性和零点存在定理证明；②利用三角函数二倍角公式化简，再换元，从而得证. 【详解】（1）依题意，得， 所以， 所以或， 当时，，则， 又，所以， 当，则， 又， 所以或，所以， 所以方程在上的解集为. （2）①设， 当时，则， 此时在上单调递增， 在上也单调递增，所以在上单调递增， ， 所以在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为， 所以，且，所以， 所以， 令，因为，所以， 又，则， 所以， 则. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问②的解决关键是，利用换元法，求得的值域. 4．已知函数． (1)求证：π是函数的一个周期； (2)若，求的值域； (3)是否存在正整数n，使得函数在区间内恰有12个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，8或9 【分析】 （1）根据周期函数的定义推理即得； （2）根据函数中的与，采取换元为，将函数化成关于的二次函数，借助于的范围求得的值域； （3）根据函数的周期性，先分析推理在一个周期上的零点个数为4，根据题设，只需使区间的右端点满足,,由之即可求得. 【详解】（1）由 ， ∴π是函数的一个周期． （2）若，则． ，，故 ∴设，又，则，， ∴，因，故 即，故所求值域为． （3）①当时，由（2）知，，． 令，得或，即或． ∴，或，或或，其中． ∴函数在内有4个零点． ②当时，． 设，，则， 于是， 令，解得或均不在区间内， ∴函数在内没有零点． ∴函数在内有4个零点． 假设存在正整数n，使得函数在区间内恰有12个零点， 则，且，∴或． ∴存在或时，函数在区间内恰有12个零点. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与三角函数有关的值域、零点问题，属于难题. 解题值域问题的思路在于发现与的内在联系，采用整体换元，将其转化成二次函数的值域求解；解决零点问题的思路是利用该函数的周期性，先考查其在一个周期上的零点个数，再推广到其它区间范围上即可求解. 高考真题 1．（全国高考重庆卷）设． (1)求的最大值及最小正周期； (2)若锐角满足，求的值． 【答案】(1)函数的最大值为，最小正周期 (2) 【分析】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，根据函数的性质即可求出结果； (2)根据(1)的解析式，将角求解出来，进而求出结果. 【详解】（1）因为函数 所以函数的最大值为，最小正周期. （2）因为锐角满足， 由（1）可知，所以， 又因为，所以，故，解得：， 所以. 2．（全国高考天津卷）已知函数的最小值正周期是． （1）求的值； （2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合． 【答案】（1）；（2）最大值为，此时. 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由即可求解. （2）由（1）知，，令，即可求解. 【详解】（1） ． 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以； （2）由（1）知，． 当，即时，取得最大值1， 所以函数的最大值为． 3．（全国高考湖北卷）已知函数f(x)= （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 【答案】, 【详解】解：(1)因为f(x)＝cos(＋x)cos(－x) ＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx) ＝cos2x－sin2x ＝－ ＝cos2x－， 所以f(x)的最小正周期为＝π． (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x ＝cos(2x＋)， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值． 所以h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}． 4．（全国高考山东卷）已知函数（）的最小正周期为， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值. 【答案】（Ⅰ）1，（Ⅱ）1 【详解】（Ⅰ） （Ⅱ） 因此1g（x），故 g（x）在此区间内的最小值为1. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 三角函数综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：三角函数图像求解析式 题型二：正余弦函数最值与值域 题型三：正切函数值域与最值 题型四：恒等变形恒成立求参 题型五：能成立（有解）求参 题型六：辅助角范围应用 题型七：零点型求参 题型八：零点“和”型求参 题型九：利用对称性重组构造求和型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 三角函数图像求解析式 ⭐技巧积累与运用 已知的部分图象求其解析式时 比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： (1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 1．函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 2．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 3．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)求不等式的解集. 4．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 题型02 正余弦函数最值与值域 ⭐技巧积累与运用 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减 (－＋kπ，＋kπ) (k∈Z)上递增 1．已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若，，求的值. 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若时，的最小值为，求的值. 2．已知函数，，且的最小值为. (1)求的值； (2)设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值. 3．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间： (3)当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 题型03 正切函数值域与最值 ⭐技巧积累与运用 切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解 1．求函数，的最大值与最小值． 2．求函数的最大值和最小值. 3．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 4．设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心； (2)解不等式. 题型04 恒等变形恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 利用二倍角和降幂公式等进 1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开 2. “重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”型恒等变形 1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 2．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 3．已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图像向左平移个单位长度得到的图像，图像关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，求的值； (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 题型05 能成立（有解）求参 ⭐技巧积累与运用 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 1．若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 2．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 x m n p 0 2 0 0 (1)求实数m，n，p和函数的解析式. (2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象. ①求的单调递减区间； ②若存在，使得不等式成立，求a的取值范围. 3．对于三个实数a，b，k，若成立，则称a，b具有“性质k”. (1)，判断x，0是否具有“性质2”？ (2)，判断，0是否具有“性质4”？ (3)若存在及，使得成立，，1具有“性质2”，求实数m的取值范围. 4．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 题型06 辅助角范围应用 ⭐技巧积累与运用 1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足： 2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。 1．已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 2．已知函数. (1)若是三角形中一内角，且，求的值； (2)若函数在，有唯一零点，求的范围. 3．已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 4．已知函数的最大值为3． (1)若的定义域为，求的单调递增区间； (2)若，，求的值． 题型07 零点型求参 ⭐技巧积累与运用 零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，或者cos(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝++kπ可求得对称中心的横坐标； 正弦“第一零点”：； 正弦“第二零点”： 余弦“第一零点”：； 余弦“第二零点”： 1．已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 2．已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 3．已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)求的单调减区间； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 4．已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 题型08 零点“和”型 ⭐技巧积累与运用 零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解 对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． 对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； 1．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．   例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． (1)若切比雪夫多项式，结合，求实数，，，的值； (2)利用，结合（1）的结论，求的值； (3)已知函数在区间上有个不同的零点，分别记为，求的值． 2．已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 3．已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 4．设. (1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值； (2)当时，函数正零点由小到大依次为，，，…，若，求的值. 题型09 利用对称性重组构造求和型 1．已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 2．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 3．已知函数的图象关于点对称，且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值. 4．已知函数. (1)求函数在上的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值. 能力培优 1．已知函数，且恒成立. (1)求a的值； (2)设，若，，使得，求实数b的取值范围. 2．已知向量，，函数，. (1)求在上的值域； (2)求的值； (3)已知，讨论在上零点的个数. 3．已知函数 (1)求方程在上的解集 (2)设函数，. ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明： 4．已知函数． (1)求证：π是函数的一个周期； (2)若，求的值域； (3)是否存在正整数n，使得函数在区间内恰有12个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由． 高考真题 1．（全国高考重庆卷）设． (1)求的最大值及最小正周期； (2)若锐角满足，求的值． 2．（全国高考天津卷）已知函数的最小值正周期是． （1）求的值； （2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合． 3．（全国高考湖北卷）已知函数f(x)= （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 4．（全国高考山东卷）已知函数（）的最小正周期为， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$