专练09 三角函数的定义与运算-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题09 三角函数的定义与运算 一、核心知识 （一）任意角与弧度制 1.角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2.弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 （二）任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 （三）同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1;（2）商数关系：＝tan α. 2、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 （四）三角恒等变换公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3.辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 二、热门考点 考点一：任意角与弧度制 经典基础题： 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（多选）下列弧度与角度的转化正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）与终边相同且满足的角可以是（ ）. A． B． C． D． 5．（多选）下列表示中正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在第二象限的角的集合为 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线上的角的集合是 6．如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1． 用弧度制表示为 ． 2（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 3．角3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 4．在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）与终边相同且适合不等式的元素可以是（ ）. A． B． C． D． 6．（多选）下列各说法，正确的是（       ） A．半圆所对的圆心角是rad B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．是第一象限角 D．若是第四象限角，则 7．若把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 ；若把分针拨慢5分钟，则分针转过的角度为 . 8．（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（   ） A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．” B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．” C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．” D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．” 考点二：弧长与扇形面积计算 经典基础题： 1．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（    ） A． B． C． D． 5．折扇是我国传统文化的延续，它常为字画的载体，深受人们的喜爱，如图1所示.图2是某折扇的结构简化图，若厘米，弧和弧的长度之和为40厘米，则该扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）的面积是（    ） A．300平方厘米 B．320平方厘米 C．400平方厘米 D．480平方厘米 强化训练： 1．半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A．15 B．30 C． D． 5．设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 6．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 7．半径为1，圆心角为的扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：）   A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 9．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（    ）     A． B． C． D． 10．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）   A．960 B．480 C．320 D．240 考点三：三角函数的定义与求值 经典基础题： 1．已知角的终边经过点，则 ． 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（     ） A． B． C． D． 3．已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5．若点在角的终边上，且，则（ ） A．25 B． C．24 D． 强化训练： 1．设角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 5．已知是角终边上的一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 8．（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 考点四：特殊角求值 经典基础题： 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算： . 3．计算： . 4．计算： . 5．计算：＝ ． 6．的值为（ ） A. B. C. D. 7．计算：_________. 8．计算：cos15°＋sin15°＝________. 9．计算：_____. 10．计算：________. 强化训练： 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．求值：________. 4．计算： . 5．的值为 ． 6．计算： ． 7．计算：______. 8．计算：_____. 9． 计算：（    ） A． B．1 C． D． 10．（多选）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 考点五：同角求值 经典基础题： 1．若为锐角，，则=（ ） A． B． C． D． 2．已知，且x为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．已知,则 (1); (2); (3). 4.若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则 . 6．已知，则( ) A. B. C. D. 7．若，且，则 ． 8．若，，则的值为 . 强化训练： 1．若，且是第二象限角，则的值等于（ ） A． B． C． D． 2．若，则= ． 3．已知，则 . 4．若，则 5．若角终边经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A．0 B．1 C． D． 9．已知，则 ． 10．（多选）已知，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 考点六：变角求值 经典基础题： 1.已知为钝角，且，则 ． 2．已知，则 _______ ． 3.已知，则 . 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则 . 6．已知，则 ． 7.已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 9．若，则 ． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若 . 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，其中，则 . 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若，则 ． 8．已知，则的值为_____． 9．设为锐角，若 . 考点七：解答题 经典基础题： 1．在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点.求:(1)的值；(2)的值. 2．已知角是第二象限角，.(1)求和的值；(2)求的值. 3．（1）已知，求的值；（2）求的值. 4．已知. (1)求的值；(2)若为钝角，且，求的值． 强化训练： 1．已知．(1)求的值；(2)求的值． 2．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 3．已知.(1)求的值；(2)求的值. 4．已知，且为第三象限角．(1)求，的值；(2)求的值． 5．(1)已知是第三象限角，且 ，求的值； (2)已知，求的值． 6．已知.(1)求的值；(2)求的值． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角函数的定义与运算 一、核心知识 （一）任意角与弧度制 1.角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2.弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 （二）任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 （三）同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1;（2）商数关系：＝tan α. 2、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 （四）三角恒等变换公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3.辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 二、热门考点 考点一：任意角与弧度制 经典基础题： 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.故选：A． 2．（多选）下列弧度与角度的转化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，A对；对于B，，B错；对于C，，C对； 对于D，，D错.故选：AC 3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，故与的终边相同的角的集合即选项B正确；选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.故选：B. 4．（多选）与终边相同且满足的角可以是（ ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为与终边相同角为，由，可得， 当时，，当时，，当时，. 所以，适合不等式的元素为、、. 5．（多选）下列表示中正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在第二象限的角的集合为 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】ABC 【详解】A，B中表示显然正确；对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确；对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确．故选：ABC 6．如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】150分钟后是7：00整，时针指向9，分针指向12，所以．故选：B． 强化训练： 1． 用弧度制表示为 ． 【答案】 【详解】因为弧度，所以（弧度）．故答案为： 2（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【详解】对于A, 化成弧度是,故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 3．角3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】，为第二象限角.故选：B 4．在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，所以与 终边相同.故选：B 5.（多选）与终边相同且适合不等式的元素可以是（ ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】与终边相同角为，由，可得， 当时，，当时，，当时，， 所以，适合不等式的元素为、、.故选ABC. 6．（多选）下列各说法，正确的是（       ） A．半圆所对的圆心角是rad B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．是第一象限角 D．若是第四象限角，则 【答案】AB 【详解】对A,根据角度制和弧度制的定义可知，半圆所对的圆心角是，即rad,所以A正确；对B,由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；对C,是第四象限角，故C错误；对D,若是第四象限角，则,故D错误.故选：AB． 7．若把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 ；若把分针拨慢5分钟，则分针转过的角度为 . 【答案】， 【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为；分针拨慢5分钟，则分针转过的角度为.故答案为：，. 8．（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（   ） A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．” B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．” C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．” D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．” 【答案】ACD 【详解】经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为，故A正确． 经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为，故B错误． 时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为，故C正确． 分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n次和时针重合，则，得，故，故D正确． 故选：ACD 考点二：弧长与扇形面积计算 经典基础题： 1．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为，所以该扇形的面积为.故选：B 2．已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得，所以该扇形的面积．故选：B． 3．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，所以，扇形的面积，解得或（舍去），所以，则该扇形的周长为.故选：C 4．《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取弧的中点，连接交于，则是的中点，且，在等腰中，，则，圆半径，，，因此，而扇形弧长的实际值为，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为.故选：B 5．折扇是我国传统文化的延续，它常为字画的载体，深受人们的喜爱，如图1所示.图2是某折扇的结构简化图，若厘米，弧和弧的长度之和为40厘米，则该扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）的面积是（    ） A．300平方厘米 B．320平方厘米 C．400平方厘米 D．480平方厘米 【答案】C 【详解】设厘米，则弧的长度，弧的长度， 从而，即，故该扇形环面的面积（平方厘米）.故选：C. 强化训练： 1．半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，扇形的面积为.故选：B. 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设该扇形的半径为，则由题意得，解得.故选：A 3．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.由题可得：. 故选：A 4．若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A．15 B．30 C． D． 【答案】C 【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为.故选：C. 5．设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，因为扇形的周长为，所以，解得，则，故扇形的面积为.故选：D. 6．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 【答案】B 【详解】半径为的圆上，弧长为的圆弧所对的圆心角的弧度数为.故选：B. 7．半径为1，圆心角为的扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为，所以扇形的面积为.故选：D. 8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：）   A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 【答案】D 【详解】依题意，圆弧所对圆心角为，所以，“矢”等于，“弦”等于，所以弧田面积约为平方米.故选：D 9．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（    ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，该扇面的面积为.故选：B 10．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）   A．960 B．480 C．320 D．240 【答案】B 【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为. 故选：B 考点三：三角函数的定义与求值 经典基础题： 1．已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，则. 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】角的终边过点，．故选：D． 3．已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】∵点是第三象限的点，∴，，由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；由可得，的终边位于第一象限或第三象限，综上所述，的终边位于第三象限．故选:C 4．已知角顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选：A 5．若点在角的终边上，且，则（ ） A．25 B． C．24 D． 【答案】D 【详解】因为点在角的终边上，所以，则. 强化训练： 1．设角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，所以.故选：D. 2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：B 3．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：角的终边经过点，故.故选：A. 4．已知角的终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由点的坐标有：，结合三角函数的定义可知：，则：. 5．已知是角终边上的一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点是角终边上的一点，可得，又由.故选：C. 6．已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即点，由三角函数的定义可得，解得.故选：A. 7．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，所以，，， 所以，，所以.故选：C 8．（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以， 所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD 考点四：特殊角求值 经典基础题： 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 2．计算： . 【答案】 【详解】 3．计算： . 【答案】 【详解】. 4．计算： . 【答案】 【详解】原式=. 5．计算：＝ ． 【答案】 【详解】，， ，， 所以.故答案为：. 6．的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】===，选A. 7．计算：_________. 【答案】 【详解】， . 8．计算：cos15°＋sin15°＝________. 【答案】 【详解】cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15＝. 9．计算：_____. 【答案】 【详解】． 10．计算：________. 【答案】1 【详解】. 强化训练： 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据诱导公式得：，故选：D. 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 3．求值：________. 【答案】1 【详解】 4．计算： . 【答案】 【详解】. 5．的值为 ． 【答案】0 【详解】. 6．计算： ． 【答案】 【详解】． 7．计算：______. 【答案】 【详解】. 8．计算：_____. 【答案】 【详解】． 9． 计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 10．（多选）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，原式，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC． 考点五：同角求值 经典基础题： 1．若为锐角，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】且为锐角，本题正确选项. 2．已知，且x为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 x为第二象限角，，所以，解得（负舍），故选：D. 3．已知,则 (1); (2); (3). 【答案】(1)-1 (2) (3)1 【详解】（1）.，原式. （2）.，原式. （3）. ，原式. 4.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式可化为，解得． 5．已知，则 . 【答案】或 【详解】显然，， 整理得，解得或.故答案为：或 6．已知，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意知，则， 可得，即， 解得，故选A. 7．若，且，则 ． 【答案】2 【详解】因为，两边平方可得，解得，且，可得，，则，又因为，可得，联立方程，解得，所以.故答案为：2. 8．若，，则的值为 . 【答案】 【详解】由 ，因此，于是，故答案为： 强化训练： 1．若，且是第二象限角，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由及是第二象限角，得，所以. 2．若，则= ． 【答案】 【详解】． 3．已知，则 . 【答案】 【详解】.故答案为： 4．若，则 【答案】 【详解】由，因，故.故答案为：. 5．若角终边经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为角终边经过点，所以，所以，故选：C. 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得.所以，故选B. 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以得 则，故选：C 8．已知，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由所求知，故有：，解得：故选：C. 9．已知，则 ． 【答案】 【详解】由得将其代入 解得或；又因为，，所以． 10．（多选）已知，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，所以，故D错误. 故选：ABC. 11．（多选）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】将两边同时平方，整理得，所以，故D正确．又，所以，所以由，解得，故C正确，所以，，故A正确，B错误，故选：ACD． 考点六：变角求值 经典基础题： 1.已知为钝角，且，则 ． 【答案】 【详解】由，得，又因为为钝角，所以，所以．故答案为： 2．已知，则 _______ ． 【答案】 【详解】. 3.已知，则 . 【答案】 【详解】由题可得.故答案为： 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以.故选：C 5．已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，因为，所以，故,故答案为：. 6．已知，则 ． 【答案】-1 【详解】 ． 另法：∵ ． 7.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故，又，故，，.故选D. 8．若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，且为第三象限角，故，，则.故选：D 9．若，则 ． 【答案】 【详解】，而． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，， 所以..故选：A. 强化训练： 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二倍角的余弦公式可得：.故选：D 2．若 . 【答案】 【详解】因为， 所以，所以． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，解得. 4．已知，其中，则 . 【答案】 【详解】因，则，，所以. 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，又，，,所以.故选：C 6．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：.故选：D. 7．若，则 ． 【答案】 【详解】 8．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】 9．设为锐角，若 . 【答案】 【详解】因为为锐角，所以，所以； 则. 考点七：解答题 经典基础题： 1．在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点.求:(1)的值；(2)的值. 【详解】(1)由三角函数定义可得:， 所以，.又. 所以，原式. (2). 由.所以原式. 2．已知角是第二象限角，.(1)求和的值；(2)求的值. 【详解】（1）因为角是第二象限角，，所以， 所以. （2）由（1）知，，所以，. 3．（1）已知，求的值；（2）求的值. 【详解】（1），则， 故. （2） . 4．已知. (1)求的值；(2)若为钝角，且，求的值． 【详解】（1）因为，所以 . （2）因为为钝角，由，得，   则，  ，   又因为,所以. 强化训练： 1．已知．(1)求的值；(2)求的值． 【详解】（1）因为，由，解得，. （2）由（1）知，，所以， 则. 2．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且，， 则，而，则， 故， 3．已知.(1)求的值；(2)求的值. 【详解】（1）由可得：，即， （2） 4．已知，且为第三象限角．(1)求，的值；(2)求的值． 【详解】（1）因为，，所以， 又为第三象限角，所以，所以； （2）由诱导公式化简得： ． 5．(1)已知是第三象限角，且 ，求的值； (2)已知，求的值． 【详解】（1）因为是第三象限角，且， 所以， 又，所以. （2）因为①，得到，即， 又，所以，由， 得到②，联立①②得到， 所以. 6．已知.(1)求的值；(2)求的值． 【详解】（1）由题意得. 得，即; （2）由，知，则为第一象限角或第三象限角， 代入，得， 当为第一象限角时，，， 所以 当为第三象限角时，，， 所以 综上所述，或 24 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$