第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法 6．4．2向量在物理中的应用举例 课程标准 学习目标 ①.能用向量方法解决简单的几何问题。 ②.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题。 ③体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力。 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题； 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题； 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.； 知识点01：平面几何中的向量方法 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤求模：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】（24-25高一·上海·随堂练习）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】功、动量的计算 【分析】根据题意计算共点力的合力是，结合对物体做的功为计算出结果. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D． 知识点02：向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合 （4）利用向量法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题. ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 【即学即练2】（23-24高一下·全国·随堂练习）若向量分别表示两个力，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、力的合成、坐标计算向量的模 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的几何意义即可求解. 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故答案为： 题型01 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】B 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示 【分析】由结合向量的加减法法则可得，再由得，从而可判断出四边形的形状. 【详解】由得， 所以，∥， 所以四边形ABCD为平行四边形， 又，所以． 所以四边形ABCD为矩形 故选：B 【典例2】（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】相等向量、向量在几何中的其他应用、向量加法法则的几何应用 【详解】如图， 因为四边形为平行四边形， 所以. 又在直线上, 所以, 从而, 所以,即与平行且相等， 所以四边形是平行四边形. 【变式2】（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)证明：四边形ABCD是等腰梯形． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量夹角的坐标表示、用坐标表示平面向量、由坐标判断向量是否共线 【分析】（1）利用坐标表示出、，再应用向量夹角的坐标运算求向量与夹角的余弦值； （2）由题设得，结合坐标易知，由向量模长的坐标计算求、且不存在使，即可证结论. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以，即， 而，，故不存在使，即不平行， 又，，故， 综上，四边形ABCD是等腰梯形． 题型02 利用向量解决垂直问题 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】垂直关系的向量表示、用基底表示向量、用向量证明线段垂直 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 【变式1】（23-24高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直、用基底表示向量 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 【变式2】（23-24高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量证明线段垂直 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 题型03 利用向量求线段长度 【典例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、用向量解决线段的长度问题 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 【典例2】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】在等腰中，∵，， ∴； ∵、分别是边、的点， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， 其中，，即， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 【答案】(1)； (2)； 【知识点】用向量解决线段的长度问题、数量积的运算律、已知数量积求模、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 而， 所以. 题型04 向量在物理中的应用 【典例1】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、力的合成、向量夹角的计算 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 【典例2】（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积、力的合成 【分析】由题意可得，根据模长关系可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A 【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 【答案】该船的速度为千米/时，航向约为北偏东 【知识点】速度、位移的合成 【分析】利用勾股定理求出，再求即可. 【详解】如图，在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴该船的速度为千米/时，航向约为北偏东． 【变式1】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【知识点】力的合成、数量积的运算律 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 【变式2】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【知识点】速度、位移的合成、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 【答案】/ 【知识点】速度、位移的合成 【分析】若游船能到处，则有，即可求出. 【详解】若游船正好到达处，即和速度与同向， 则有， 所以， 故答案为： A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 2．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）平面向量有这样一个结论：已知O是内的一点，若，，的面积分别为，，，则.设O为内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、向量在几何中的其他应用 【分析】根据题意将等式右边化简，结合已知条件即可求解答案. 【详解】因为， 所以， 即，所以. 故选：C 3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【知识点】根据向量关系判断三角形的心 【分析】直接利用△ABC重心的性质，可知△ABC的重心与外心重合，可得△ABC为等边三角形. 【详解】依题意， 因为，所以O也是△ABC的重心， 又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°. 故选：C. 4．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】由向量加法的几何意义以及勾股定理即可求解. 【详解】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 故选：A. 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 【答案】A 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合具体实际意义可得. 【详解】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km， 根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km. 故选：A． 6．（23-24高一下·陕西商洛·期中）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、力的合成、功、动量的计算 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故选：A. 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【知识点】三角形的心的向量表示、垂直关系的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 8．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量与几何最值 【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，写出点、、和的坐标，设出点，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值. 【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，，， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D    二、多选题 9．（23-24高二下·湖南·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 【答案】ABC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、用向量解决夹角问题 【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】平面向量， 则，解得或，故A错误； 若，则，得，故B错误； 若，则，得，故C错误； 由（对应点在轴），， 可得或，故D正确. 故选：ABC 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、力的合成 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解，再逐项判断即得. 【详解】对于A，依题意，，又， 则， 解得，而时，单调递减， 因此越小越省力，越大越费力，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，当时,由，得，因此，C正确； 对于D，当时，由，得，因此，D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、速度、位移的合成 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 12．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量与几何最值 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模得坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以A为原点建立如图平面直角坐标系， 设，由， 得，所以， 故，又， 所以，则，即， 所以， 当时，. 故答案为： 四、解答题 13．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 【答案】 J 【知识点】用坐标表示平面向量、力的合成、功、动量的计算 【分析】 利用向量运算的坐标形式，结合向量的数量积公式即可求得. 【详解】 如图所示，以物体的重心为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，, , 又因为位移， ∴合力所做的功(J). ∴合力所做的功为 J． 14．（23-24高一下·上海普陀·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)6 (2) (3)时，取最小值 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、向量与几何最值、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）由于为边的中点， 所以， 故. 由于， 故. 因此. （2）由于， 故. 由于为线段上一点，设， 有. 由向量基本定理得，解得，因此. （3）记，， 由得. 设，其中， 则，. 进而有 ，. 当且仅当即时， 取最小值. B能力提升 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【知识点】力的合成、速度、位移的合成、功、动量的计算 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、向量与几何最值、条件等式求最值 【分析】（1）根据及即可求解； （2）设，可得，根据三点共线可求，又根据，即可得实数的值； （3）设，可得是的中心，故，根据三点共线，得.由，，可得，根据及基本不等式求出的最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以 . （2）设，由（1）得， 所以, 即. 因为三点共线，所以，解得, 所以， 又. 所以，解得. （3）设， 因为分别是的中点，所以是的重心， 所以. 因为三点共线，所以，即. 所以，， 所以. 因为，所以，即, 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 17．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，今有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为，设P，Q在s时分别在，处，当时所需的时间t为多少秒? 【答案】2 秒. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、速度、位移的合成、利用坐标求向量的模 【分析】由题意知，，，可求出经过t秒后点P和点Q坐标，再根据得，建立等式，解之即可得解. 【详解】，， ，，其单位向量为； ，，其单位向量为， 依题意知，，， ∴，， 由，，得，， ∴，， ∵，∴，即，解得：. 即当时所需的时间为2 秒. \【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量的数量积运算和向量的垂直关系，解题的关键是根据题意知，，，求出经过t秒后点P和点Q坐标，考查学生的分析能力与运算求解能力，属于中档题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法 6．4．2向量在物理中的应用举例 课程标准 学习目标 ①.能用向量方法解决简单的几何问题。 ②.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题。 ③体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力。 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题； 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题； 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.； 知识点01：平面几何中的向量方法 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤求模：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】（24-25高一·上海·随堂练习）共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 知识点02：向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合 （4）利用向量法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题. ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 【即学即练2】（23-24高一下·全国·随堂练习）若向量分别表示两个力，则 . 题型01 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【典例2】（2024高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 【变式2】（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)证明：四边形ABCD是等腰梯形． 题型02 利用向量解决垂直问题 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【变式1】（23-24高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【变式2】（23-24高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 题型03 利用向量求线段长度 【典例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是 ． 【变式1】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 题型04 向量在物理中的应用 【典例1】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 【变式1】（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）平面向量有这样一个结论：已知O是内的一点，若，，的面积分别为，，，则.设O为内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 6．（23-24高一下·陕西商洛·期中）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 8．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 三、填空题 11．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 12．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 四、解答题 13．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 14．（23-24高一下·上海普陀·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. B能力提升 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 17．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，今有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为，设P，Q在s时分别在，处，当时所需的时间t为多少秒? / 学科网（北京）股份有限公司 $$