精品解析： 广东省深圳市南山区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024−2025学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 18 B. C. D. 2. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为（） A B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. ，2， C. 4，5，6 D. 1，2，3 4. 如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（ ） A B. C. D. 5. 《孙子算经》中有一道题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 6. 下列表达式中，与表格表示同一函数的是（ ） … 0 1 2 … … 5 3 1 … A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 甲、乙两支仪仗队队员的身高方差分别为和，则乙仪仗队队员的身高更为整齐 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 8. 在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（ ） A 50 B. 60 C. 70 D. 80 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 满足的整数x是_____________． 10. 如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为__________． 11. 海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为___． 12. 如图，直线、的交点坐标可以看作方程组______的解． 13. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 _________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）． 15. 解方程组：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴成轴对称，画出； （2）①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 17. 2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船−−神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析： 【数据收集】 七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95； 【数据整理】 七年级 0 1 a 6 4 八年级 1 1 3 5 5 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 b 85 八年级 83 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）a= ，b= ，c= ； （2）你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？ 18. 如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，且∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM. 19. 根据以下素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每1元可乘坐6公里；超过24公里，每1元可乘坐8公里．例如：单程6.8公里，普通车厢单人票价（不优惠）为元 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受5折优惠 素材3 某学校八年级（1）班共32名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从海上世界站到世界之窗站． 问题解决 任务1 乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站单程11.6公里，地铁普通车厢单人票价（不优惠） 元． 任务2 若全班同学乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费100元．求使用《深圳通学生卡》和原价乘坐地铁的学生人数分别为多少人？ 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从海上世界打车到世界之窗费用为每辆车36元，每辆车坐满4位同学．设有位同学打车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为W元，求与的函数关系式（不要求写自变量取值范围），并求在单程交通费预算200元时，最多有几位同学可以打车前往？ 20. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、18是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标．根据“创”“新”的坐标分别为，可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【详解】解：由“创”“新”的坐标分别为，可得如下图的坐标系， 则“技”的坐标为， 故选：C． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. ，2， C. 4，5，6 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理好三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，不符合题意； B、，内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意； C、，不能判断直线，不符合题意； D、，不能判断直线，不符合题意； 故选B． 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 6. 下列表达式中，与表格表示同一函数的是（ ） … 0 1 2 … … 5 3 1 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设表格表示的函数解析式为，从表格中提取数据求出函数解析式即可． 【详解】设表格表示的函数为， 将代入得， 解得， ∴表格表示的函数解析式为， 故选A． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 甲、乙两支仪仗队队员的身高方差分别为和，则乙仪仗队队员的身高更为整齐 D. 平行于同一条直线两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据点到坐标轴的距离、一次函数的性质、方差、平行线的判定逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，原命题是假命题； 、在一次函数中，随着的增大而减小，原命题是假命题； 、甲、乙两支仪仗队队员的身高方差分别为和，则甲仪仗队队员的身高更为整齐，原命题是假命题； 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 故选：． 8. 在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据可以计算出甲、乙的速度，从而可以得到b的值． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：40÷10=4米/秒， 乙的速度为：500÷100=5米/秒， a=5×100-（4×100+40）=60， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 满足的整数x是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据整数的平方值来确定两个无理数之间的整数值． 【详解】∵ 即， ∴满足的整数x只有2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了估计无理数的整数值，解题的关键是利用整数的平方数来确定无理数的取值范围． 10. 如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟记平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，从而得解． 【详解】解：在中，， 长方形中， ， 故答案为：． 11. 海伦一秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为5、6、7，那么这个三角形的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． 12. 如图，直线、的交点坐标可以看作方程组______的解． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两直线的解析式，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：设直线l1的解析式为y＝k1x＋b1，把点（2，3），（0，1）代入得， ， 解得， ∴直线l1的解析式为y＝x+1， 设直线l2的解析式为y＝k2x＋b2，把点（2，3），（0，﹣1）代入得， ， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝2x﹣1， 所以直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 13. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】设，由题意得， ，，， ∴四边形是长方形， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题9分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据二次根式的除法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）先化简每个二次根式，再合并同类项二次根式即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组把②代入①得出，求出，把的值代入②求出即可． 【详解】解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 所以原方程组的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． （1）若与关于x轴成轴对称，画出； （2）①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 【答案】（1）图见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）按照画轴对称图形的方法作图即可； （2）①由勾股定理及其逆定理即可得出结论；②利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由勾股定理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ②的面积， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，勾股定理与网格问题，在网格中判断直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称及画轴对称图形的方法是解题的关键． 17. 2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船−−神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析： 【数据收集】 七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95； 【数据整理】 七年级 0 1 a 6 4 八年级 1 1 3 5 5 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 b 85 八年级 83 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）a= ，b= ，c= ； （2）你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？ 【答案】（1）4；84；88 （2）八年级的成绩较好，理由见解析 （3）344 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，及其应用，用样本估计总体的数量， （1）根据频数的定义，中位数和众数的确定方法，求出a、b、c的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由表格知，七年级竞赛成绩在的人数是； 七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数. 故答案为：4，84，88； 【小问2详解】 解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． 【小问3详解】 解：（人）； 答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人． 18. 如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，且∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据题意证得∠AEF=∠CFM，再由∠AEP=∠CFQ，可得出∠PEM=∠QFM，PE∥QF，即能得出∠EPM=∠FQM． 【详解】解：∵AB∥CD ∴∠AEM=∠CFM ∵∠AEP=∠CFQ ∴∠MEP=∠MFQ ∴EP∥FQ ∴∠EPM=∠FQM 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 19. 根据以下素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每1元可乘坐6公里；超过24公里，每1元可乘坐8公里．例如：单程6.8公里，普通车厢单人票价（不优惠）为元 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受5折优惠 素材3 某学校八年级（1）班共32名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从海上世界站到世界之窗站． 问题解决 任务1 乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站单程11.6公里，地铁普通车厢单人票价（不优惠）为 元． 任务2 若全班同学乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费100元．求使用《深圳通学生卡》和原价乘坐地铁的学生人数分别为多少人？ 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从海上世界打车到世界之窗费用为每辆车36元，每辆车坐满4位同学．设有位同学打车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为W元，求与的函数关系式（不要求写自变量取值范围），并求在单程交通费预算200元时，最多有几位同学可以打车前往？ 【答案】任务1： 任务2：， 任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法在生活中的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的应用等知识点，理解题意，弄清数量关系并正确列出方程组或函数解析式是解题的关键． （1）任务1：根据“首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里”，可得出11.6公里需要的单人票价； （2）任务2：设有位同学使用了深圳通学生卡，位同学原价乘坐地铁，根据题意列出方程组求解即可； （3）任务3：根据“班级单程交通费打车的费用乘坐地铁的费用”列出函数解析式，再根据单程交通费预算200元和的取值范围即可得出的值． 【详解】解：（1）任务1： ∵首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里， ∴11.6公里需要：（元）， 故答案为：4； （2）任务2： 设有位同学使用了深圳通学生卡，位同学原价乘坐地铁， 根据题意得：， 解得：， 答：有14位同学使用了深圳通学生卡，18位同学原价乘坐地铁； （3）任务3： 根据题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，， ∵为4的正整数倍且， ∴， 答：在单程交通费预算200元时，最多有12位同学可以打车前往． 20. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点的坐标． 【答案】[问题探究]（1）见解析（2）；[学以致用]（1）；（2）P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积． [问题探究]（1）由，即可求解； （2）由，即可求解； [学以致用]（1）由待定系数法即可求解； （2）当在下方时，由，点到直线的距离为2，则，得到，即可求解；当在上方时，同理可解． 【详解】解：[问题探究] （1）作于点，则：， ∴， ∴； （2）连接，则， 则， 故答案为：； [学以致用] （1）把代入得：； ， 设直线解析式为，由点、的坐标得， ，解得：， 直线解析式为； （2）过作于，过作于，连接， 当在下方时，如图： ，令得， ， ，， ，，， ，点到直线的距离为2， ， 解得， 即点的纵坐标为：， 解得：， ； 当上方时，如图： ， ， 解得，同理可得：； 综上所述，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$