第三单元《函数》综合复习反馈测试卷 2025年广东省中考数学一轮复习

第三单元《函数》综合复习反馈测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.当m为任意实数时，点A（－m2－1，2）所在的象限是 （　 　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是 （　 　） A.变量是V，R；常量是，π B.变量是R，π；常量是 C.变量是V，R，π；常量是 D.变量是V，R3；常量是π 3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax－b和y＝bx＋a的图象可能是 （　 　） A B C D 4.已知反比例函数y＝－，则下列描述正确的是 （　 　） A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大 C.图象不可能与坐标轴相交 D.图象必经过点 5.关于二次函数y＝（x－1）2＋5，下列说法正确的是 （　 　） A.函数图象的开口向下　　 B.函数图象的对称轴为直线x＝－1 C.该函数有最大值，最大值是5　 D.当x＞1时，y随x的增大而增大 6.已知点M（－2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，则a的值为 （　D　） A.－2 B.2 C.－3 D.3 7.一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的图象如图所示.下列说法错误的是（　 　） A.小球的初始速度为6 m/s B.小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动 C.当3≤t≤6时，小球的速度每秒增加2 m/s D.小球在整个滚动过程中，当t＝3时，到达斜坡的最低处　　 8.如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（　 　） A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b与y2＝（m＞0）的函数图象交于A（－2，a）和B（1，b）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是 （　 　） A.x＜－2或x＞1 B.－2＜x＜1 C.x＜－2或0＜x＜1 D.－2＜x＜0或x＞1 10.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，有如下结论： ①abc＞0；②a＋b＋c＜0；③4a＋b＜0；④4a＞c. 其中正确的结论有 （　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.函数y＝的自变量x的取值范围是 . 12.如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点.当△AEC的面积为时，k的值为 . 13.如图，直线y＝x＋4交两坐标轴于A，B两点，点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 　. 14.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系式是h＝－5t2＋20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点. 15.如图，直线l：y＝x过点A1（1，0），作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…；按此作法进行下去，则点An的坐标为 . 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16.物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系. x 0 2 5 y 15 19 25 （1）求y与x的函数关系式； （2）当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量. 17.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（3，a），与x轴交于点C. （1）求一次函数表达式； （2）连接OA，求△OAC的面积. 18.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线从甲港到乙港行驶过程中路程y随时间x变化的图象（直线）. （1）轮船的速度是　 　千米/时，快艇的速度是　 　千米/时. （2）分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数表达式. （3）快艇出发多长时间赶上轮船？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（4，1），B（1，a）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D. （1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）把一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象有且只有一个交点时，求t的值. 20.在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，跳跃时的空中运动路线可看作抛物线的一部分.建立如图所示的直角坐标系. （1）通过对野兔甲一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/m 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 根据以上数据，解答问题： ①野兔甲本次跳跃的最远水平距离为　 　m，最大竖直高度为　 　m； ②求满足条件的抛物线的表达式. （2）野兔乙在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3 m，最大竖直高度为1 m.若起跳点前方2 m处有高为0.8 m的篱笆，它能跃过吗？说明理由. 21.如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（－3，n）两点.过点B作BC⊥x轴，垂足为C. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞的解集； （3）一次函数y＝kx＋b的图象上是否存在一点P，使得＝2.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a＞0）与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式. （2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N.求线段PM的最大值和此时点P的坐标. （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 23.综合与实践： 洒水车是城市绿化的主力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行.如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH＝1.5 m.把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝3 m，竖直高度EF＝0.5 m.那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示. ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2.上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，求上边缘抛物线y1的函数表达式，并求洒水车喷出水的最大射程OC. ②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变.请求出下边缘抛物线y2 与x轴的正半轴交点B的坐标. （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围. （3）【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1 m，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知y1与y2的开口方向与大小不变，请直接写出OH的最小值：　　. 1.B　2.A　3.D　4.C　5.D　6.D　7.D　8.C　9.D 10.B　解析：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴ a＞0，c＞0.∵抛物线对称轴为x＝－＞0，∴b＜0，∴abc＜0，∴①错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴为x＝－＜2，a＞0，∴b＞－4a，∴4a＋b＞0，∴③错误；又∵a＋b＋c＜0，∴a－4a＋c＜0，∴－3a＋c＜0，∴3a＞c.∵a＞0，∴4a＞c，∴④正确. 11.x≠3 12.－2　解析：∵点E为OC的中点，∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝.∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，∴＝，∴S△AEO＝S四边形BECD＝.∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，∴△OEB∽△OCD，∴＝，∴＝，即＝，∴＝1，则xy＝－1，∴k＝xy＝－2.故答案为－2. 13.　14.2 15.（2n－1，0）　解析：∵直线l：y＝x过点A1（1，0），A1B1⊥x轴，∴当x＝1时，y＝，即B1（1，），∴tan∠A1OB1＝，∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，∴OB1＝2OA1＝2.∵以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，∴A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，∴点An的坐标为（，0），故答案为（，0）. 16.解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15中， 得19＝2k＋15，解得k＝2， 所以y与x的函数关系式为y＝2x＋15（x≥0）. （2）把y＝20代入y＝2x＋15中， 得20＝2x＋15，解得x＝2.5. 所以所挂物体的质量为2.5 kg. 17.解：（1）∵一次函数y＝kx＋b 的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3）、点B（3，a）， ∴将A（1，3）的坐标代入y＝，得3＝，解得 m＝3. 将B（3，a）的坐标代入y＝，得a＝1. ∵点A（1，3）、点B（3，1）在直线y＝kx＋b上， ∴解得 ∴一次函数表达式为y＝－x＋4. （2）连接OA，如图所示. ∵一次函数y＝－x＋4的图象与x轴交于点C， ∴C（4，0），∴OC＝4， ∴＝OC·yA＝×4×3＝6. 18.解：（1）20　40　解析：由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米.快艇在4小时内行驶了160千米，故轮船的速度为160÷8＝20（千米/时），快艇的速度为160÷4＝40（千米/时）.故答案为20，40. （2）设表示轮船行驶过程的函数表达式为y＝kx.由图象知： 当x＝8时，y＝160. ∴8k＝160，解得k＝20， ∴表示轮船行驶过程的函数表达式为y＝20x. 设表示快艇行驶过程的函数表达式为y＝ax＋b. 由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160， ∴解得 ∴表示快艇行驶过程的函数表达式为y＝40x－80. （3）设轮船出发x小时后快艇追上轮船. 20x＝40x－80，x＝4，则x－2＝2. 答：快艇出发2小时后赶上轮船. 19.解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A（4，1）， ∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝. 把B（1，a）的坐标代入y＝，得a＝＝4， ∴点B（1，4），把A，B的坐标代入y＝kx＋b（k≠0），得 解得故一次函数的表达式为y＝－x＋5. （2）把一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象向下平移t个单位得直线y＝－x＋5－t， 根据题意可得只有一组解，即－x＋5－t＝只有一个解， ∴x2＋（t－5）x＋4＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即（t－5）2－4×1×4＝0， 解得t＝1或t＝9（因反比例函数图象在第一象限，故舍去）， ∴t的值为1. 20.解：（1）①2.8　0.98　解析：由x＝0，y＝0和x＝2.8，y＝0可知，野兔甲本次跳跃的最远水平距离为2.8－0＝2.8（m），对称轴为直线x＝＝1.4，∴当x＝1.4时，y有最大值0.98，∴野兔甲本次跳跃的最大竖直高度为0.98 m，故答案为2.8，0.98. ②设抛物线的表达式为y＝a（x－1.4）2＋0.98， 把x＝1，y＝0.9代入y＝a（x－1.4）2＋0.98得， a（1－1.4）2＋0.98＝0.9，解得a＝－0.5， ∴抛物线的表达式为y＝－0.5（x－1.4）2＋0.98. （2）能，理由： 设野兔乙在某次跳跃时抛物线的表达式为y＝mx2＋nx， 根据题意得解得 ∴野兔乙在某次跳跃时抛物线的表达式为y＝－x2＋x， 当x＝2时，y＝－×22＋×2＝－＋＝， ∵＞0.8，∴野兔乙能跃过篱笆. 21.解：（1）∵A（2，3），B（－3，n）两点都在反比例函数图象上， ∴m＝2×3＝－3×n，∴m＝6，n＝－2， ∴反比例函数解析式为y＝，B（－3，－2）. ∵A（2，3），B（－3，－2）两点都在一次函数图象上， ∴解得∴一次函数解析式为y＝x＋1. （2）根据图象和所给条件，不等式kx＋b＞的解集为x＞2或－3＜x＜0； （3）在一次函数y＝x＋1中，令y＝0，则x＝－1，设直线AB与x轴交于点D，则D（－1，0）， ∴CD＝－1－（－3）＝2， ∴＝＋＝×2×2＋×2×3＝5. ∵＝2.∴＝10. 设点P的坐标为（m，m＋1），则＝×2×｜m＋3｜＝10， ∴m＋3＝10或m＋3＝－10，∴m＝7或m＝－13，∴P（7，8）或（－13，－12）. 22.解：（1）将A（－1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2＋bx－3（a＞0）中， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. （2）当x＝0时，y＝－3，∴C（0，－3）. ∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°. ∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°. ∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大. 设直线BC的表达式为y＝mx＋n， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝x－3. 设P（x，x2－2x－3），N（x，x－3）， ∴PN＝x－3－（x2－2x－3）＝－＋， 当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝， ∴P， 故PM的最大值为，P点坐标为. （3）存在，点E的坐标为（－5，0）或或（0，0）或. 解析：∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2－2x－3）. ①如图1，过点E作x轴的垂线l，再分别过点Q和点C作垂线l的垂线，分别交于点M和点N. 图1 ∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM＋∠CEN＝90°.∵∠QEM＋∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN.∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2－2x－3，MQ＝EN＝3，∵｜xQ｜＋MQ＝CN，即－x＋3＝x2－2x－3，解得x＝－2（x＝3舍去），∴OE＝CN＝2＋3＝5，E（－5，0）. ②如图2，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N， 图2 同理△EMC≌△QNE（AAS）， ∴CM＝EN＝x2－2x－3，NQ＝EM＝3，∴－x＋x2－2x－3＝3， 解得x＝， ∴OE＝CM＝，E. ③如图3，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）. 图3 ④如图4，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N， 图4 同理：△EMC≌△QNE（AAS）， ∴CM＝EN＝x2－2x－3，NQ＝EM＝3，∴x＋3＝x2－2x－3， 解得x＝， ∴OE＝CM＝，E. 综上所述，点E的坐标为（－5，0）或或（0，0）或. 23.解：（1）①由题意得A（2，2），H（0，1.5）. ∵A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，∴可设y1＝a（x－2）2＋2. 又∵抛物线过点H（0，1.5），∴1.5＝4a＋2，∴a＝－， ∴上边缘抛物线的函数表达式为y1＝－（x－2）2＋2. 令y1＝0，则0＝－（x－2）2＋2，解得x＝6或x＝－2（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程OC为6 m. ②∵y1的对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）关于对称轴的对称点为（4，1.5）. ∵平移后y2仍过点（0，1.5），∴y2是由y1向左平移4 m得到的， ∵C（6，0），点B是由点C向左平移4 m得到的，∴点B的坐标为（2，0）. （2）∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴－（x－2）2＋2＝0.5， 解得x＝2＋2或x＝2－2（舍去），∴x＝2＋2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2＋2. ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2＋2. ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴OD的最大值为2＋2－3＝2－1. ∵下边缘抛物线喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是OD≥2， ∴OD的取值范围为2≤OD≤2－1. （3）　解析：设OH＝h，由（1）②可知y2＝－（x＋2）2＋2，当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设点D，F，则有－（m＋3－2）2＋h＋0.5－＝1，解得m＝2.5，∴点D的纵坐标为h－.∵h－＝0，∴h的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$