河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

邯郸市2024一2025学年第一学期高二年级期末质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 岸 一项是符合题目要求的 樊 1.抛物线y2=2024x的准线方程为 A.y=506 B.x=506 C.x=-506 D.y=-506 2.已知空间向量m=(2,1,1),n=(0,2,1),则m与n的夹角的余弦值为 A.30 B.30 30 10 C 5 D 3.已知直线1过原点0，将直线L绕点0顺时针旋转需后，恰与y轴重合，则直线1的 方程为 A.y=3 2 B.y=√3x Cy= 3 D.y=-/3x 4.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，则2A+B+2C的值为 A平 B餐 c D.2x 5.一个容积为2升的瓶中装满某种水溶液，从中倒出1升后用水添满摇匀，再倒出1 升混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的 10%,则至少需要倒 A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 6.已知R,R分别是椭圆C专+芳-10>6>0)的左，右焦点，点P是C上一点，若 |PF|-|PFz=2b,则C的离心率的取值范围是 A.(o,2) B[2 c() D[竖 高二数学第1页（共4页） 7.过圆x2十y2=4内一点P(1,1)作互相垂直的两条直线AB,CD,与圆分别交于A, B,C,D四点，则|AB|+|CD的最大值是 A.45 B.4+2√3 C.4+2√2 D.8 8.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA=OB=2,OC=4,且OA,O克，OC两两所成 的角均为60°.若空间中的点D,E满足(OA-O)·(O克-Od)=0, O-(OA+O心)·O克+OA·O心=0，则1DE1的最大值为 A.23+1 B.4+3 C.2+3 D.2√3+2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平面直角坐标系xOy中，过圆x2十y2=1外的动点P作圆的两条切线，切点为 A,B,则下列结论正确的有 A.若点P(3,4),则四边形OAPB的面积是2√6 B.若点P(6,8),则四边形OAPB的外接圆方程是(x-3)2+(y-4)2=10 C,若点P在直线4x+3y-12=0上，则O,A,P,B所在圆的直径的最小值是号 D.当PA·P取得最小值时，点P到圆心O的距离为√2 10.已知数列{a,}满足a1=1,1一1=2.若b,=0·a+1,记数列(b.)的前n项和 an+l an 为Tn,则 A.a .1 2n-1 B.a.2n+1 C.Tw=2n十1 D}<I< 11.如图，四面体A一BCD由矩形ABCD沿对角线AC折叠而成，其中AC=4,AB= CD=2,当向量AC和B予所成的角为45°时，下列结论正确的有 A.折叠过程中四面体A一BCD外接球的表面积恒等于16π B.棱BD的长度为4 C.CD⊥平面ABD D.四面体A一BCD的四个面都是直角三角形，其内切球的半 径是√6-2 高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若椭圆号+苦-1的一条弦AB的中点为M-2,1,则直线AB的斜率为 13.已知数列{an}满足a1=3,当n≥2时，an一3am-1=3",则数列{an}的通项公式 an 14.如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点M为侧面 C BCC1B1内的动点，A1M=2√2，点N在对角线BD上且 B M B,N=号B,D,则MN的最小值为 D A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sm=2+1一2，数列{bn}满足bn=log2an. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)若dn=anbm,求数列{dn}的前n项和Dn· 16.(本小题满分15分) 已知平面直角坐标系xOy内的直线l1:y=√3x与直线l2:y=0,平面内点M向 直线l1,2作垂线，垂足分别为P,Q,记|MP|=p,MQ|=q,定义点M的“距离 坐标”为(p,q). (I)当p=q时，求点M的轨迹方程. (Ⅱ)“距离坐标”为(1,2)的点M共有几个？请写出其坐标. (Ⅲ)求“距离坐标”为(2,2)的点M到原点O的距离|OM. 高二数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知抛物线y2=2px(p>0)上的点P的纵坐标为√2，点P到焦点F和原点O的 距离相等， (I)求抛物线的方程， (Ⅱ)若AB,CD是抛物线的两条不同的弦，且满足OA·O=O心，O市=-4. (1)求证：直线AB,CD过同一个定点Q; (i)过原点O作AB,CD的垂线，垂足分别为M,N,求四边形OMQN面积 的最大值 18.(本小题满分17分) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4,AB=BC=2,AC=√6，点P是棱AA1 的中点，连接BP,B1P,CP=2,∠BAA1=60° (I)(i)求PC的长； (ⅱ)判断直线PB1和平面BCP是否垂直，并证明你的结论. (Ⅱ)求平面A1CP与平面B1CP夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线号-茶=1a>0,6>0)的左，右顶点分别为AB,左右焦点分别为 F1,F2,且焦点到渐近线的距离为2√3.点P是双曲线上不同于A,B的任意一 点，过点F作∠FPF2的平分线的垂线（垂足为MD交直线PF2于点Q,|FF2|= 4|OM(O为坐标原点).过右焦点F2的直线交双曲线的右支于C,D两点，记 △CFF2,△DF1F2的内切圆的圆心分别为O,O2. (I)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角0的取值范围. (Ⅱ)(1)证明：O,O2在一条定直线上 (ⅱ)求O,O2到右顶点B的距离之差的取值范围. 高二数学第4页（共4页）