5.1 从实际问题到方程 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

5.1 从实际问题到方程 一、从实际问题到方程 找出实际问题里的等量关系，然后设未知数，可以列出符合题意的方程。列方程时要善于找出题目里的等量关系，常见的表示等量关系的关键词语是“比”、“等于”、“同时”、“…是…的…倍”等。 二、方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 三、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。检验某数是否方程的解时，要将此数代入方程的两边分别计算，如果两边的值相等，这个数就是方程的解，否则不是。要注意代入时不能将左右两边直接用等号连接。 四、用尝试法求方程的解 将一个方程的未知数分别换为1、2、3、……，依次看方程的左右两边是否相等，就可以尝试、检验得到方程的解。 巩固课内例1:“猜年龄”问题 1．女儿现在的年龄是父亲现在年龄的，9年前父亲和女儿年龄之和是45岁．求父亲现在的年龄．设父亲现在的年龄为岁，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 3．已知小明的年龄是岁，小红的年龄比小明的年龄的倍少岁，小华的年龄比小红的年龄的还多岁． (1)请用含的式子表示这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为岁，请你求出这三人的年龄． 巩固课内例2:“学校跑道”问题 1．学校运动场环形跑道周长为，王五跑步的速度比李四的1.2倍多，他们从同一起点沿跑道的相反方向同时出发，后李四第一次与王五相遇．求李四和王五跑步的速度各是多少？若设李四的速度为，则根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．小明和小斌每天早上坚持跑步，小斌每秒跑，小明每秒跑．如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，设后两人相遇，根据题意可列方程为 ；如果小明站在百米跑道的起跑处，小斌站在他前面处，两人同时同向起跑，设后小明能追上小斌，根据题意可列方程为 ． 3．王力和李刚相约去学校400米的椭圆形跑道上练习跑步，两人站在同一起跑线上，已知王力每秒钟跑8米，李刚每秒钟跑6米（选择其中一个，列方程解决问题） (1)逆向而行起跑后，多少秒时王力会与李刚再次相迎？ (2)同向而行起跑后，多少秒时王力比李刚多跑一圈？ 类型一、方程的定义 1．下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦．其中 是方程， 是一元一次方程． 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 类型二、方程的解 1．若是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．4 C．2 D． 2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值：则关于的方程的解为 0 1 2 4 2 0 3．检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 类型一、列方程——年龄问题 1．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为，可得方程 ． 3．小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 类型二、列方程——古代问题 1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少”？其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍问他每天各读多少个字．已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则列方程为 ． 3．根据实际问题，设未知数，列出方程，利用等式的性质求解． 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年亩钱，第二年亩1钱，第三年亩钱．三年共得钱．问：出租的田有多少亩？ 类型三、列方程——和差倍分问题 1．根据“比的倍少”的数量关系可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程 ． 3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 类型四、列方程——分配问题 1．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 3．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 类型一、列方程——行程问题 1．李聪早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问李聪家到学校有多远？设李聪家与学校相距千米，那么列出的方程应是（） A． B． C． D． 2．数学刘老师根据《算学启蒙》中记载的良马与驽马的追及问题，改编了一道数学练习题，“跑得快的马每天比跑得慢的马多走里．慢马先走6天，快马天可以追上慢马．求快马每天走多少里？”如果设快马每天走x里，那么根据题意可列方程为 ． 3．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明和小华同时同向开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 类型二、列方程——图形问题 1．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，则下列所列方程正确的是（   ） A． y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝(5﹣x)(3﹣x) B． C．y＝3x+5x D．y＝(5﹣x)(3﹣x)+5x2 2．一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 3．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 类型三、列方程——销售问题 1．一件商品按成本价提高后，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设这种商品成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某商店以每件200元购进一种商品，如果将该商品按标价的八折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是元，则可列方程为 ． 3．红星超市将某种商品按成本价提高后标价，端午期间答谢顾客，这种商品打八折销售，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？（列方程解决问题） 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 4．下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有 ，是一元一次方程的有 （填序号）． 5．已知是关于x的方程的解，则代数式的值为 ． 6．根据“的2倍比的大6”，可列出方程为 7．冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，求★处的数字． 8．关于的方程有一个解是，求的值． 9．根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 10．一题多变 (1)改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发日后甲乙相逢，则可列方程为________________； (2)改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距米的点和点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以米秒的平均速度出发，秒后小晨出发，最终用时s完成比赛，则小晨的平均速度为________米秒； (3)改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以千米时的速度步行前往，分钟后，爸爸骑共享单车以千米时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 从实际问题到方程 一、从实际问题到方程 找出实际问题里的等量关系，然后设未知数，可以列出符合题意的方程。列方程时要善于找出题目里的等量关系，常见的表示等量关系的关键词语是“比”、“等于”、“同时”、“…是…的…倍”等。 二、方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 三、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。检验某数是否方程的解时，要将此数代入方程的两边分别计算，如果两边的值相等，这个数就是方程的解，否则不是。要注意代入时不能将左右两边直接用等号连接。 四、用尝试法求方程的解 将一个方程的未知数分别换为1、2、3、……，依次看方程的左右两边是否相等，就可以尝试、检验得到方程的解。 巩固课内例1:“猜年龄”问题 1．女儿现在的年龄是父亲现在年龄的，9年前父亲和女儿年龄之和是45岁．求父亲现在的年龄．设父亲现在的年龄为岁，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设父亲现在的年龄为岁，根据题意，正确列方程求解即可． 【详解】解：设父亲现在的年龄为岁，则女儿现在的年龄为岁， 根据题意，得， 故选：A． 2．今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得妈妈的年龄为岁，6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁，列出方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小王同学的年龄是岁，妈妈的年龄为岁， 6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁， 根据题意，得． 故答案为：． 3．已知小明的年龄是岁，小红的年龄比小明的年龄的倍少岁，小华的年龄比小红的年龄的还多岁． (1)请用含的式子表示这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为岁，请你求出这三人的年龄． 【答案】(1) (2)小明的年龄是岁，小红的年龄是岁，小华的年龄是岁 【分析】（1）根据题意分别列出小明、小红和小华的年龄，再相加，去括号，合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和； （2）根据题意可得关于的方程，解方程求出的值，再分别求出各自的年龄即可． 【详解】（1）解：∵小明的年龄是岁， ∴小红的年龄为岁，小华的年龄为 岁， ∴， ∴三人的年龄和为：． （2）解：根据题意得：，解得：， ∴，， 答：小明的年龄是岁，小红的年龄是岁，小华的年龄是岁． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键． 巩固课内例2:“学校跑道”问题 1．学校运动场环形跑道周长为，王五跑步的速度比李四的1.2倍多，他们从同一起点沿跑道的相反方向同时出发，后李四第一次与王五相遇．求李四和王五跑步的速度各是多少？若设李四的速度为，则根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设李四的速度为， 根据题意可得，． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 2．小明和小斌每天早上坚持跑步，小斌每秒跑，小明每秒跑．如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，设后两人相遇，根据题意可列方程为 ；如果小明站在百米跑道的起跑处，小斌站在他前面处，两人同时同向起跑，设后小明能追上小斌，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】小斌和小明同时相向而行，相遇问题，路程和是总路程，列方程即可；两人同时同向起跑，追及问题，路程差即为，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，相向而行，两人的路程之和等于，列方程为：；同向而行，追及问题中，小明的路程-小斌的路程，列方程为：． 【点睛】本题考查一元一次方程在相遇问题和追及问题中的应用，根据题意列出方程是关键 3．王力和李刚相约去学校400米的椭圆形跑道上练习跑步，两人站在同一起跑线上，已知王力每秒钟跑8米，李刚每秒钟跑6米（选择其中一个，列方程解决问题） (1)逆向而行起跑后，多少秒时王力会与李刚再次相迎？ (2)同向而行起跑后，多少秒时王力比李刚多跑一圈？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． （1）根据题意列方程计算即可． （2）根据题意列方程计算即可． 【详解】（1）解：设x秒时王力会与李刚再次相迎． ， 解得， 答：秒时王力会与李刚再次相迎． （2）解：设x秒时王力比李刚多跑一圈． ， 解得， 答：秒时王力比李刚多跑一圈． 类型一、方程的定义 1．下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可． 【详解】解：A、不是等式，故A选项不符合题意； B、不含有未知数，故B选项不符合题意； C、不是等式，故C选项不符合题意； D、是方程，故D选项符合题意， 故选：D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦．其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤⑦ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查了方程的定义以及一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键．含有未知数的等式叫方程；若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【详解】解：根据方程的定义得：②④⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：④⑤是一元一次方程. 故答案为：②④⑤⑦；④⑤． 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 【答案】①、④、⑤、⑦、⑧． 【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断即可． 【详解】②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【点睛】此题考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 类型二、方程的解 1．若是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， 故选：B． 2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值：则关于的方程的解为 0 1 2 4 2 0 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：由， 得：， 由表可知：当时，， ∴方程的解为， 故答案为：． 3．检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解． （1）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （2）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （3）将代入，看左边是否等于右边，即可判断． 【详解】（1）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以是方程的解； （3）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解． 类型一、列方程——年龄问题 1．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x 则这个两位数十位上的数字为 由题意可列方程： 故选：． 2．今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为，可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为岁，进而根据年前父亲的年龄是儿子年龄的倍列出方程即可． 【详解】解：设今年儿子的年龄为，列方程为， 故答案为：． 3．小华今年13岁，爷爷今年60岁，求经过几年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 分析：本题的相等关系为： 解：设： 根据题意，得方程为： 解方程： 答： 【答案】爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁；设经过x年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁；；解方程见解析；经过3年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握年龄问题是解本题的关键． 根据题意可知等量关系为爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁；设经过x年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设经过x年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁， 由等量关系：“爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁”可得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1： 答：经过3年后，爷爷的年龄比小华年龄的4倍少1岁． 类型二、列方程——古代问题 1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：设物价是钱，则根据可得： 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 2．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少”？其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍问他每天各读多少个字．已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则列方程为 ． 【答案】 【分析】先根据“每天阅读的字数是前一天的两倍”可得他第二天和第三天阅读的字数，再根据“书共有34685个字”列方程即可． 【详解】由题意得：他第二天阅读的字数为个字，他第三天阅读的字数为个字， 则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，正确求出他第二天和第三天阅读的字数是解题关键． 3．根据实际问题，设未知数，列出方程，利用等式的性质求解． 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年亩钱，第二年亩1钱，第三年亩钱．三年共得钱．问：出租的田有多少亩？ 【答案】亩 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并正确列出等量关系．设出租的田有亩，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设出租的田有亩， 根据题意得： 答：出租的田有亩． 类型三、列方程——和差倍分问题 1．根据“比的倍少”的数量关系可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先要理解题意，根据文字表述“比的倍少”列出方程即可． 【详解】解：由文字表述列方程得，． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，比较简单，注意审清题意即可． 2．由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，依据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”即可列出一元一次方程. 【详解】解：由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列得： 故答案为： ． 3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力． 类型四、列方程——分配问题 1．在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关键语句：“实践组的人数是宣传组的两倍”列出方程即可． 【详解】解：设从宣传组调x人到实践组， 由题意得： 故选：D 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程；关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数． 2．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个班学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的增加了组，根据此列方程即可． 【详解】解：设这个班学生共有人， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组． 3．【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 类型一、列方程——行程问题 1．李聪早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问李聪家到学校有多远？设李聪家与学校相距千米，那么列出的方程应是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，进而找到等量关系是解题的关键．设李聪家与学校相距千米，那么李聪早晨上学所用的时间为小时，回家所用的时间为小时，根据回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟”得出等量关系：回家所用的时间上学所用的时间时，由此列出方程即可． 【详解】解：设李聪家与学校相距千米，根据题意得 故选：B． 2．数学刘老师根据《算学启蒙》中记载的良马与驽马的追及问题，改编了一道数学练习题，“跑得快的马每天比跑得慢的马多走里．慢马先走6天，快马天可以追上慢马．求快马每天走多少里？”如果设快马每天走x里，那么根据题意可列方程为 ． 【答案】（其他形式正确也可） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马每天走x里，则慢马每天走里，由题意得慢马天的路程等于快马天的路程，即可求解； 【详解】解：设快马每天走x里，则慢马每天走里， ∵慢马先走6天，快马天可以追上慢马． ∴慢马天的路程等于快马天的路程， ∴， 故答案为： 3．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明和小华同时同向开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 【答案】(1)小华用能追上小明； (2)小华用能追上小明． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设小华用能追上小明，根据两人跑步的距离相等得，解方程求出x的值即可； （2）设小华用能追上小明，根据两人跑步的距离之差等于列方程，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明． 类型二、列方程——图形问题 1．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，则下列所列方程正确的是（   ） A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝(5﹣x)(3﹣x) C．y＝3x+5x D．y＝(5﹣x)(3﹣x)+5x2 【答案】B 【分析】设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y， 根据题意可得：y=（5-x）（3-x）， 故选：B． 【点睛】此题考查列方程，关键是根据面积公式得出方程解答． 2．一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 3．根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 类型三、列方程——销售问题 1．一件商品按成本价提高后，再打8折（标价的）销售，售价为240元．设这种商品成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程解决实际问题．设这种商品成本价为x元，根据题中存在的等量关系：成本价售价240元，列方程即可． 【详解】解：设这种商品成本价为x元，根据题意得 故选：B 2．某商店以每件200元购进一种商品，如果将该商品按标价的八折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 设这种商品的标价是元，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】设这种商品的标价是元， 根据题意得，． 故答案为：． 3．红星超市将某种商品按成本价提高后标价，端午期间答谢顾客，这种商品打八折销售，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？（列方程解决问题） 【答案】200元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意：标价乘以折扣等于售价，设这件商品的成本价是x元，列方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的成本价是x元， 由题意得，， 解得， 答：这件商品的成本价是200元． 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，解题的关键是掌握：含有未知数的等式叫方程．据此分析即可． 【详解】解：A．是方程，故此选项符合题意； B．是代数式，不是方程，故此选项不符合题意； C．不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； D．不是等式，不是方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的概念．将代入方程能够使得左右两边相等即可． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故本选项不合题意； B、将代入，左边右边，故本选项不合题意； C、将代入，左边右边，故本选项不合题意； D、将代入，左边右边，故本选项符合题意． 故选：D． 3．一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的长为xcm，得到长方形的宽，结合题意列方程，即可得到答案． 【详解】∵长方形的长为xcm ∴长方形的宽为：cm 根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有 ，是一元一次方程的有 （填序号）． 【答案】 ①④⑤⑥⑦ ⑤⑦ 【分析】含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数，含未知数的项的次数都是1，两边都是整式的方程，叫做一元一次方程，根据方程的定义和一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：按照方程的定义，可知，①，④，⑤，⑥，⑦是方程，⑤，⑦是一元一次方程， ∴是方程的有①④⑤⑥⑦，是一元一次方程的有⑤⑦， 故答案为：①④⑤⑥⑦，⑤⑦ 【点睛】此题考查了方程和一元一次方程，熟练掌握定义是解题的关键． 5．已知是关于x的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】根据题意，是关于x的方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．根据“的2倍比的大6”，可列出方程为 【答案】 【分析】根据描述，直接列出等式即可. 【详解】根据“的2倍比的大6”，可列出方程为： 故答案为： 【点睛】考核知识点：列方程.理解题意，把关系用等式表示是关键. 7．冉冉解方程时，发现★处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，求★处的数字． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得★， 即★处的数字是1． 8．关于的方程有一个解是，求的值． 【答案】0 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 9．根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程； （2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程； （3）根据长方形周长公式即可得方程； （4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程． 【详解】（1）根据题意，得：， 故答案为：； （2）根据题意，得：， 故答案为：； （3）根据题意，得：， 故答案为：； （4）根据题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出方程，建立方程要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的相等关系关系． 10．一题多变 (1)改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发日后甲乙相逢，则可列方程为________________； (2)改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距米的点和点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以米秒的平均速度出发，秒后小晨出发，最终用时s完成比赛，则小晨的平均速度为________米秒； (3)改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以千米时的速度步行前往，分钟后，爸爸骑共享单车以千米时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 【答案】(1)； (2)； (3)小时． 【分析】（）设乙出发日，甲乙相逢，则甲出发日，根据题意列出方程即可； （）设小晨的平均速度为米秒，列出方程，然后求解即可； （）设爸爸追上小明所用的时间为小时，则小明走的路程为米，爸爸走的路程为米，列出方程，然后求解即可； 此题考查了一元一次方程和实际应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】（1）解：设乙出发日，甲乙相逢，则甲出发日， 可列方程为， 故答案为：； （2）解：设小晨的平均速度为米秒， 根据题意，得， 解得， ∴小晨的平均速度为米秒． 故答案为：； （3）解：设爸爸追上小明所用的时间为小时，则小明走的路程为米，爸爸走的路程为米， 由题意，得， 解得：， 答：爸爸追上小明需要小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$