1.1—1.3 向量的线性运算（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.1—1.3 向量的线性运算 课程标准 学习目标 （1）通过对力、速度、位移等的分析, 了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义 （2）理解平面向量的几何表示和基本要素 （3）借助实例和平面向量的几何表示, 掌握平面向量加、减运算及运算规则, 理解其几何意义 (4)通过实例分析, 掌握平面向量数乘运算及运算规则, 理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义 （1）掌握向量及其常见的向量的概念； （2）掌握平面向量的线性运算；（难点) 知识点01 向量的概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. PS 平面向量在平面内是可以任意移动的. 2 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 PS (1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； (2) 平行向量无传递性！(因为有； (3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 【即学即练1】 （22-23高一下·海南·期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 【答案】C 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量. 故选：C. 知识点02 向量的加法与减法 1 向量的加法 ① 向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”) ② 向量加法的平行四边形法则 若， 则向量 叫做 与 的和，即； 作图 (是平行四边形) 2向量的减法 ① 向量减法的几何意义 已知向量在平面内任取一点，作，则， 即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量. 【即学即练2】 已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】作图见解析. 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 知识点03 向量的数乘 1 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 2 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【即学即练3】 （2023·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【详解】 ， 所以，所以. 故选：D. 【题型一：平面向量的概念与表示】 例1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 变式1-1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 变式1-2．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 变式1-3．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【方法技巧与总结】 1 既有大小又有方向的量，叫向量；只有大小的量叫标量； 2 向量常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. 【题型二：零向量与单位向量】 例2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．，都是单位向量，则 C．若，则 D．零向量方向任意 【答案】C 【分析】根据向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，A正确， 对于B, ，是单位向量，则，B正确， 对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，故C错误， 对于D，零向量是模长为0，方向任意的向量，D正确， 故选：C 变式2-1．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 变式2-2．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 变式2-3．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 零向量的方向是任意的，我们默认零向量是相等； 2 模为1的向量为单位向量，它们的方向是不确定的. 【题型三：相等向量与相反向量】 例3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确. 【详解】    对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 变式3-1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 变式3-2．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 【答案】A 【分析】举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D. 【详解】A.若，满足，， 但是不满足，所以该选项错误； B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确； C． 若与是非零向量且， 则与的方向相同或者相反，所以该选项正确； D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确． 故选：A 变式3-3．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 方向相同、长度相等的向量是相等向量；方向相反、长度相等的向量是相反向量； 2 向量是可以自由移动的，位置不能确定它们是否为相等向量. 【题型四：共线向量】 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 变式4-1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C． 变式4-2．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、 、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、 、、、、. 【方法技巧与总结】 1 向量是可以任意移动，共线向量即平行向量，要与平行线段的概念作好区分; 2 共线向量包括同向与反向. 【题型五：向量的加法与减法】 例5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 变式5-1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 变式5-2．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 变式5-3．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 掌握好向量的平行四边形法则与三角形法则； 2 理解向量的首尾相接. 【题型六：向量的数乘】 例6．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】 ，   故选：A.   变式6-1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 变式6-2．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 变式6-3．（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 【题型七：向量的线性运算的综合】 例7．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以 ， 所以. 故选：D. 变式7-1．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， ． 故选：D 变式7-2．（2023·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B.    变式7-3．（22-23高一下·福建福州·期中）在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：A. 变式7-4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【分析】取的中点D，的中点E，由向量关系可得为的中位线，再利用三角形面积关系求出面积比. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 【方法技巧与总结】 平面内一向量要用另外两不共线向量表示，多利用平行四边形法则或三角形法则进行求解. 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 2（22-23高一下·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案. 【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确. 故选：D 3（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 【答案】B 【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误. 【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定， 故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确； 对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点， 所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误； 故选：B. 4（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 5（23-24高一下·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用平行四边形法则化简为，然后可得. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以. 故选：C    6（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 7（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由、、分别为、、方向上的单位向量，分别考虑三个向量同向和两两夹角为的情况即可得解. 【详解】、、分别为、、方向上的单位向量， 则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，，当时，如图所示： 以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，，即， 综上所述，． 故选：D． 8（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 二、多选题 9．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同. 【详解】由题知，点是线段的三等分点， 所以，，， 对于A：且方向相同，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项错误； 对于C：，所以，C选项错误； 对于D：且方向相同，所以，D选项正确； 故选：AD. 10 （24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 11（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．如图，C，D将线段AB等分为三段，则 （1） ；         （2） ； （3） ． 【答案】 1 3 -2 【分析】（1）根据向量方向相同和模长相等求出相应的关系；（2）根据向量方向相同和模长的倍数关系求出相应的关系；（3）根据向量方向相反及模长的倍数关系求出相应的关系. 【详解】（1）因为方向相同，且，故， （2）由于方向相同，且，故， （3）由于方向相反，且，故. 13如图，已知，若，则 ， . 【答案】 【分析】根据向量的加减法运算以及共线向量的表示方法可求解. 【详解】如图，, 故答案为: ,. 14（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 16.（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 17.已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 18.（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 19. （22-23高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.3 向量的线性运算 课程标准 学习目标 （1）通过对力、速度、位移等的分析, 了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义 （2）理解平面向量的几何表示和基本要素 （3）借助实例和平面向量的几何表示, 掌握平面向量加、减运算及运算规则, 理解其几何意义 (4)通过实例分析, 掌握平面向量数乘运算及运算规则, 理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义 （1）掌握向量及其常见的向量的概念； （2）掌握平面向量的线性运算；（难点) 知识点01 向量的概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. PS 平面向量在平面内是可以任意移动的. 2 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作 PS (1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； (2) 平行向量无传递性！(因为有； (3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 【即学即练1】 （22-23高一下·海南·期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 知识点02 向量的加法与减法 1 向量的加法 ① 向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”) ② 向量加法的平行四边形法则 若， 则向量 叫做 与 的和，即； 作图 (是平行四边形) 2向量的减法 ① 向量减法的几何意义 已知向量在平面内任取一点，作，则， 即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量. 【即学即练2】 已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 知识点03 向量的数乘 1 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反； 2 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 【即学即练3】 （2023·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【题型一：平面向量的概念与表示】 例1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1-1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 变式1-2．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 变式1-3．（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【方法技巧与总结】 1 既有大小又有方向的量，叫向量；只有大小的量叫标量； 2 向量常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作. 【题型二：零向量与单位向量】 例2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．，都是单位向量，则 C．若，则 D．零向量方向任意 变式2-1．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 变式2-2．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 变式2-3．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【方法技巧与总结】 1 零向量的方向是任意的，我们默认零向量是相等； 2 模为1的向量为单位向量，它们的方向是不确定的. 【题型三：相等向量与相反向量】 例3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3-1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 变式3-3．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【方法技巧与总结】 1 方向相同、长度相等的向量是相等向量；方向相反、长度相等的向量是相反向量； 2 向量是可以自由移动的，位置不能确定它们是否为相等向量. 【题型四：共线向量】 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 变式4-1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4-2．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【方法技巧与总结】 1 向量是可以任意移动，共线向量即平行向量，要与平行线段的概念作好区分; 2 共线向量包括同向与反向. 【题型五：向量的加法与减法】 例5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 变式5-3．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【方法技巧与总结】 1 掌握好向量的平行四边形法则与三角形法则； 2 理解向量的首尾相接. 【题型六：向量的数乘】 例6．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 变式6-2．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【方法技巧与总结】 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 【题型七：向量的线性运算的综合】 例7．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（2023·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（22-23高一下·福建福州·期中）在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式7-4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 【方法技巧与总结】 平面内一向量要用另外两不共线向量表示，多利用平行四边形法则或三角形法则进行求解. 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2（22-23高一下·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 3（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 4（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5（23-24高一下·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 二、多选题 9．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 10 （24-25高三上·吉林·阶段练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．如图，C，D将线段AB等分为三段，则 （1） ；        （2） ；（3） ． 13如图，已知，若，则 ， . 14（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量；(2)分别找出与，相等的向量. 16.（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 17.已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)；(2)；(3)． 18.（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 19. （22-23高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$